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2026年哥伦比亚数学奥林匹克
第一天
题1.11名学生参加一场锦标赛.锦标赛包含从22个可选项目中选出的11个比赛项目.这11个选定
的项目仅在比赛当天才会公布，且每名学生必须恰好参加其中一个项目.
要赢得比赛，学生们必须赢下全部11个选定的项目.为确保能赢得锦标赛，学生们决定提前准
备.已知每名学生花1小时准备就能精通一个项目，从而保证在该项目中获胜.每名学生各自准
备，但他们会提前商定好每个人练习哪些项目.
求无论比赛当天需要参加哪些项目，都能保证赢得锦标赛所需的最少总准备时长.
题2.设ABC是锐角三角形，满足ABDB=DC,E是三角形ABM的外接圆与直线BD的交点（异于B),设P、Q分别是直线BC与
直线EM、AE的交点.证明P是线段BQ的中点，
题3.设a≥2为正整数.对于正整数m,定义c(m)为整除m的最大平方数.称序列ao,a1,.…为哥
伦比亚序列，若它满足a0=a,且对任意n≥0，有
∫van
若√an为整数，
a2+1=
lan十c(an)否则.
求所有属于每一个哥伦比亚序列的整数
第二天
题4.设a和是两个正实数，且b≠1.费利佩执行如下操作：
第一步，他在一张纸上写下数字.之后每一步，他都将上一步写下的数字乘以b,再写在纸上
当纸上出现大于100的数，或者出现非整数时，费利佩停止书写.求这张纸上最多能写下多少个
数字？
题5.求所有实数1，x2,·,x100,使得
00
x1+2
甲花2十3
c
=g8十rgg
100
=Cg9+x100
=x100+C1
题6.设为正整数.初始时，一个n×n棋盘的所有格子均为白色.每一步操作允许将棋盘上的一
个格子涂成黑色，前提是操作完成后，每一个白色格子都至少与另外两个白色格子有公共边.求
最多可以将多少个格子涂成黑色，

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