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24.1-24.4数据的集中趋势&数据的离散程度&数据的四分位数 &数据的分组
基础测·教材变式
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.若样本数据3,6,a,4,2的平均数是5,则a 的值为 ( )
A.5 B.8 C.10 D.12
2. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图.根据图中提供的信息，红包金额的中位数和众数分别是 ( )
A.25,19
B.20,30
C.40,40
D.40,19
3.某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差s 分别为 那么这四名同学跑步成绩最稳定的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.求一组数据方差的算式为 由算式提供的信息，下列说法错误的是 ( )
A. n 的值是 5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7，7，则新的方差变小
二、填空题(每小题3分，共12分)
5.某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”演讲比赛中，有15 名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15 名学生成绩的 (填“平均数”“中位数”或“众数”).
6.如图，农科院将甲、乙两种甜玉米种子在自然条件相同的试验田进行试验，根据得到的每公顷产量绘制出如图所示的统计图.观察统计图可知，农科院应该选 种甜玉米种子，使得产量更稳定.(填“甲”或“乙”)
7.已已知五个正数a，b，c，d，e，平均数是m，则 3a+1,3b+1,3c+1,3d+1,3e+1这五个数的平均数是 .
8.某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图)，若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高(填“甲”“乙”或“丙”).
三、解答题(共25分)
9.(12分)某公司需要经常通过快递邮寄物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家合作.该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分(单位：分)，其中对平台 A的服务态度评分为86,88,89,91,92,95,96;对平台B的服务态度评分为86,86,89,90,91,93,95.现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表：
物品完好度 服务态度 物流时长
平台 A 92 m 90
平台B 95 n 88
(1)求表格中m，n的值，并以此为依据，判断哪家平台服务态度更好；
(2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按5：3：2的比确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问：该公司会选择哪家平台
10.(13分)甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法。
能力测·迁移运用
一、选择题(每小题3分，共6分)
11设a，b，c的平均数为M，a和b的平均数为N，N 和c的平均数为P，若M>P，则( )
A. a+b>2c B. a+b<2c C. a+b>c D. a+b12.小新同学参加某次诗朗诵比赛,七位评委的打分分别是7.0,7.0,8.8,9.0,9.3,9.4,10.0,工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计.如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中，一定不发生变化的是 ( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
二、填空题(共3分)
13.已知5个数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数是3,方差是4;另5个数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数也是3,方差是6.把这两组数据合在一起得到10个数据x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,则这10个数据的方差是
三、解答题(共42分)
14.(13分)校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩(单位：s)的数据进行整理、描述和分析.下面给出部分信息.
a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图如图所示：
b.丙运动员10次测试成绩:12.4,12.4,12.5,12.7,12.8,12.8,12.8,12.8,12.9,12.9.
c.四名运动员 10次测试成绩的平均数、中位数、方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中 m 的值为 .
(2)表中 n 0.056(填“>”“=”或“<”).
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱.首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强.评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 .
15.(14分)在跳绳测试中，5名同学跳的次数分别为7，10，5，6，12.根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学跳绳的次数分为两组，应该如何分 (计算结果保留小数点后两位)
思维测·拓展创新
16. (15分)学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于 60分，用x 表示，共分四组：A.90≤x≤100;B.80≤x<90;C.70≤x<80;D.60≤x<70),下面给出了部分信息:
七年级20名学生竞赛成绩在 B组中的数据是 83,84,84,84,85,87,88.
八年级20名学生竞赛成绩是62,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形图
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 a 83
众数 84 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中(
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的航天知识竞赛成绩较好 请说明理由(写出一条理由即可).
(3)该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于 90分的学生共多少人.
1. C ∵样本数据3,6,a,4,2的平均数是5,
∴3+6+a+4+2=5×5,
解得a=10.
2. C根据题中条形图可得，红包金额为40元的数量最多，为19人，故红包金额的众数是40.
按照从小到大的顺序排列后，排在第 25 位和第 26位的数据分别为40,40,
故红包金额的中位数是
3. A ∵s =3.8,s =5.5,s =10,s =6,
∴这四名同学跑步成绩最稳定的是甲.
4. CA.算式中离差的平方的项数为5，对应数据个数n=5,正确.
B.平均数 正确.
C.数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误.
D.加入两个数7，7后，数据更集中，方差由 减小为 正确.
综上，说法错误的是C.
5.中位数 由题意可得，一名学生想要知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数.
6.乙 观察题中统计图可知，乙种甜玉米种子产量的数据点相对更集中，甲种甜玉米种子产量的数据点相对更分散.乙种甜玉米种子产量数据的离散程度小，农科院应该选乙种甜玉米种子，使得产量更稳定.
7.3m+1 因为五个正数a,b,c,d,e,平均数是m,
所以3a+1,3b+1,3c+1,3d+1,3e+1这五个数的平均数是3m+1.
8.丙 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班.
9.解: n= (86+86+89+90+91+93+95)=90. 4分
∵91>90,
∴平台 A的服务态度更好. 6分
(2)平台 A 的最终得分为 (分), 8分
平台 B的最终得分为 (分) 10分
∵92.1>91.3,
∴该公司会选择平台 B. 12分
10.解:(1)将甲组的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,所以 96. 4分
(2)如图所示. 10分
(3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大.(答案不唯一，合理即可) 13分
11. A
∵a,b,c的平均数为M,a 和b 的平均数为N,N 和c的平均数为P，
整理,得a+b>2c.
12. D 原数据去掉最高分10.0 和最低分7.0后,剩余数据为7.0,8.8,9.0,9.3,9.4.
原数总和为7.0+7.0+8.8+9.0+9.3+9.4+10.0=60.5,平均数为
去掉后总和为60.5-7.0-10.0=43.5,平均数为43.5÷5=8.7，则平均数变化，故 A 选项不符合题意.
方差与每个数据与平均数的差值有关.因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故 B选项不符合题意.
原众数为7.0(出现2次).去掉一个最低分后，剩余数据中所有数均出现1次，众数变化，故C选项不符合题意.原数据中位数为9.0.去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数仍为9.0，故中位数不变.
13.5 【解析】由题意,得
14.解:(1)甲的10次测试成绩从小到大排列为12.1,12.1,12.5,12.5,12.5,12.5,12.5,12.7,12.7,12.9,
∴中位数
故答案为 12.5. 4分
(2)∵乙的10次测试成绩的平均数为12.5，
∴方差
∴n<0.056.
故答案为<. 8分
(3)丙的平均数 p=
=12.7,
∴丙的平均数最大，则实力最弱.
∵方差0.024<0.034<0.056,
∴乙实力最强.
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴将10次测试成绩按从小到大排列，第5，6个数据的和为24.9,
∴丁测试成绩小于平均数的次数至少有5次.
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为乙、丁、甲、丙.故答案为乙、丁、甲、丙、 13分
15.解：将数据按从小到大排列可得，
5,6,7,10,12. 2分
将它们分成两组有4种情况，分别计算组内离差平方和(结果保留两位小数)，如表所示. 12分
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第 1 个间隔 0 22.75 22.75
第 2 个间隔 0.5 12.67 13.17
第 3 个间隔 2 2 4
第 4 个间隔 14 0 14
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按照第3个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{5,6,7},{10,12}. 14分
16.解:(1)七年级 C,D 组的人数和为 20×(10%+25%)=7.
由题意可得，把七年级 20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是 84，84，故中位数 a=
八年级20名学生的竞赛成绩的众数b=86，
即m=30.
故答案为84,86,30. 6分
(2)七年级学生的航天知识竞赛成绩较好.理由：因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级，所以七年级学生的航天知识竞赛成绩较好.(答案不唯一，合理即可) 12分
(人).
答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于 90分的学生共293人. 15分

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