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期末复习 专项训练
二次根式的有关计算、平行四边形的证明与计算、一次函数的实际应用
二次根式的有关计算
类型一 二次根式的混合运算
1.计算:
类型二 二次根式的化简求值
2.已知 求：
的值；
的值.
平行四边形的证明与计算
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 交于点O,E,F 分别是OB,OD 的中点,连接AE 并延长至点G,使 EG=AE,连接CG,CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当线段 AB 与线段AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF是矩形 请说明理由.
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,E 是AD的中点,过点 A 作AF∥BC,交 BE 的延长线于点 F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)求证:四边形 ADCF 是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形 ADCF 的面积.
5.如图1，已知在正方形 ABCD 中，E为CB 延长线上一点，且BE=AB,M,N 分别为AE,BC 的中点,连接 DE 交 AB 于点O,连接 MN 交 DE 于点 H.
(1)求证:AO=BO;
(2)求证:∠HEB=∠HNB;
(3)如图 2,过点 A 作AP⊥DE 于点 P,连接 BP,求 的值.
一次函数的实际应用
类型一 一次函数与行程问题
6.已知A，B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去 A地(客、货车在 A，C两地间沿同一条路行驶)，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的 .客车、货车距C地的路程y ,y (km)与行驶时间x(h)的函数关系图象如图所示.
(1)求客车的速度及 A，B两地间的路程；
(2)求货车距C地的路程y 与x的函数解析式；
(3)出发多长时间时两车相距160 km
类型二 一次函数与方案问题
7.为推进美丽乡村建设，改善居住环境，创建美丽家园，某市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800t，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少 100 t，这批建设物资将运往 A 地 420 t，B地380 t,运费(元/t)如表所示:
工厂 目的地
A B
甲 25 20
乙 15 24
(1)甲、乙两工厂各生产了这批建设物资多少吨
(2)设这批物资从甲工厂运往 A 地 x t，全部运往 A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数解析式，写出x 的取值范围并设计使总运费最少的调运方案.
(3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m 元(0类型三 一次函数与销售问题
8.生活中的“一次函数模型”
【发现问题】
为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买 A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生 1个(班级共有40名学生).购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买数量的变化而变化.
【提出问题】
在文具店购买两种书挂袋的总费用y(元)与购买 A 型书挂袋的数量x(x为正整数)(个)有怎样的函数关系
【分析问题】
李老师对文具店销售 A，B两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息：
信息一：购买1个A 型书挂袋、1个B型书挂袋共需要 45元；购买3个 A型书挂袋、2个B型书挂袋共需115元.
信息二：A型书挂袋每个进价 18 元，B型书挂袋每个进价16元.
经过分析，李老师得到购买两种书挂袋的总费用 y(元)与购买弥A型书挂袋的数量x(个)是一次函数关系.
【解决问题】
(1)设文具店 A 型书挂袋每个售价是a 元，B型书挂袋每个售价是b元，求文具店每个 A 型书挂袋和 B 型书挂袋的售价各是多少.
(2)求 y 与x的函数解析式.
(3)李老师到该文具店购买 A 型和 B 型两种书挂袋，文具店正在推广 A型书挂袋，每个 A 型书挂袋降价 m 元，B型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则 m 的值是多少 文具店所获利润是多少
1.解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)原式
2.解:
= xy(x-y)
=36-3=33.
3.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵E,F分别是OB,OD 的中点,
∴BE=DF.
在△ABE 和△CDF 中
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形 EGCF 是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB;
∴AB=OA.
∵E 是OB 的中点,
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°.
同理可得,CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF.
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE 是△ACG 的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形 EGCF 是平行四边形.
∵∠OEG=90°,
∴四边形 EGCF 是矩形.
4.解:(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△AEF 和△DEB 中,
∴△AEF≌△DEB(AAS).
(2)证明:由(1),知△AEF≌△DEB,则AF=DB.
∵D 是BC 的中点,
∴DB=DC,
∴AF=DC.
∵AF∥BC,
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D 是BC 的中点,
∴四边形 ADCF 是菱形.
(3)如图,连接 DF.
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形 ABDF 是平行四边形，
∴DF=AB=5,
5.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,AD∥BC,
∴∠DAB=∠ABE,∠ADO=∠BEO.
∵AB=BE,
∴AD=BE,
∴△ADO≌△BEO(ASA),
∴AO=BO.
(2)证明:如图1,延长 BC 至点 F,使 CF=BC,连接AF,则 BF=CE.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=DC,AD∥BC,∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°.
在△ABF 和△DCE 中,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠DEC=∠AFB.
∵EB=CF,BN=CN,
∴N 为EF 的中点.
∵M为AE 的中点,
∴MN 为△AEF 的中位线,
∴MN∥AF,
∴∠HNB=∠AFB=∠HEB.
(3)如图2,过点 B 作 BQ⊥BP 交 DE 于点 Q,则∠PBQ=90°.
∵∠ABE=180°-∠ABC=90°,
∴∠EBQ=∠ABP.
∵AD∥BC,
∴∠ADP=∠BEQ.
∵AP⊥DE,∠BAD=90°,
∴∠BAP=∠ADP,
∴∠BEQ=∠BAP.
在△BEQ 和△BAP 中,
∴△BEQ≌△BAP(ASA),
∴PA=QE,QB=PB,
∴△PBQ 是等腰直角三角形，
6.解：(1)由题中图象可得，
客车的速度是1000÷10=100(km/h),
则货车的速度是
A,B两地间的路程为80×3+1000=1 240(km).
(2)当 0≤x≤3时,设 y 与 x 的函数解析式是 ax+c,
∵货车的速度是80 km/h,80×3=240(km),
∴该函数的图象过点(0,240),(3,0),
解得
即当 0≤x≤3 时,y 与 x 的函数解析式是 -80x+240.
货车到达 A 地用时1 240÷80=15.5(h).
当3∵点(3,0),(15.5,1 000)在该函数图象上,
解得
即当3综上，货车距 C 地的路程 y 与 x 的函数解析式是
(3)设 y 与x 的函数解析式是
解得
即 y 与x 的函数解析式是
当x=3时,y =-100×3+1000=700,y =0,
∴当两车相遇前相距160 km时，(-100x+1000)-(80x-240)=160,解得x=6;
当两车相遇后相距160 km时，(80x-240)-(-100x+1 000)=160,解得
综上所述，出发6 h或 h时,两车相距160 km.
7.解：(1)设这批建设物资甲工厂生产了a t，乙工厂生产了b t.
由题意，得 解得
答:甲、乙两工厂分别生产了这批建设物资 500 t,300 t.
(2)由题意,得 y=25x+20(500-x)+15(420-x)+24[380-(500-x)]=14x+13 420(120≤x≤420).
∵14>0,
∴y随x的增大而增大，
∴当x=120时,运费最少,
此时500-x=380,420-x=300,380-(500-x)=0,故总运费最少的调运方案是甲工厂物资运往 A 地 120 t，运往 B地 380t;乙工厂物资运往 A 地 300t,运往 B地0t.
(3)由题意,得 y=14x+13 420-mx=(14-m)x+13 420,
①当14-m>0 时,y 随x 的增大而增大,此时 0∴当x=120 时,y 取得最小值,此时 y=(14-m)×120+13 420≥14 140,
解得 m≤8,
∴0②当14-m=0时,m=14,y=13 420<14 140,不合题意，舍去；
③当14-m<0 时,y 随x 的增大而减小,此时14∴当x=420 时,y 取得最小值,此时 y=(14-m)×420+13 420≥14 140,
解得 (舍去).
综上所述，m的取值范围是08.解:(1)依题意,得 解得
答：文具店 A 型书挂袋每个售价是25元，B型书挂袋每个售价是20元.
(2)由题意,得y=25x+20(40-x).
整理,得y=5x+800,
∴y与x的函数解析式是y=5x+800.
(3)设文具店所获利润是ω元.
依题意,得w=(25-18-m)x+(20-16)(40-x).
整理,得w=(3-m)x+160.
∵文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，
∴3-m=0,解得m=3,此时w=160.
答：m的值是3，文具店所获利润是160元.

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