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第二章 机械振动
4 单摆
知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源。
01
知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。
02
重难点
重点
单摆及其回复力
01
秋千
摆钟
海盗船
上面是生活中常见的摆动现象，摆动现象有什么规律？
接下来我们学习最简单的摆动—单摆
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A'间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
答案　小球受重力和细线的拉力作用。
G
FT
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
答案　细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案　小球经过平衡位置时还有向心力，其合外力不为零。
G
FT
G1
G2
单 摆
(1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略。
(2)单摆是实际摆的理想化模型。
PK
有弹力
无弹力
单摆的回复力
来源：摆球的重力沿 方向的分力，即F= 。
圆弧切线
mgsin θ
1.单摆的振动是否为简谐运动，可通过回复力与位移是否成正比并且方向相反分析。请结合回复力的来源进行探究。(在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等)
答案　单摆的回复力大小为F=mgsin θ，由数学知识可知sin θ≈θ≈，其中x表示摆球偏离平衡位置的位移(圆弧近似看成直线)，l表示单摆的摆长，且回复力F指向平衡位置，与位移x反向，那么单摆的回复力可表示为F=-x，若比例系数用常量k表示，则可写为F=-kx，说明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
2.如图，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。你能得出什么结论？
答案　匀速拖动木板，观察到墨汁呈现正弦式图样，可说明单摆位移与时间的关系满足正弦关系，单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
1.当摆角小于5°时，单摆的运动可看成为简谐运动。
2.单摆在平衡位置时，回复力为零，速度最大，但合外力(加速度)并不为零。
3.采用双线悬挂小球，更易控制小球在同一平面上做简谐运动。
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(　　)
(2)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。(　　)
(3)摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比。
(　　)
×
×
×
1.(2025·遂宁市高二检测)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大
C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，
但回复力最大
D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
√
摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误；
单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；
摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；
摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。
单摆的周期
02
结论：单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，
但与摆长有关，摆长越长，周期越大。
单摆的周期与哪些因素有关呢
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T= 2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
单摆周期公式
①单摆的周期公式在摆角很小时成立。
②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l=l线+，d为摆球的直径。
③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
公式说明：T= 2π
2. (2025·上海市育才中学高二期中)摆长为l的单摆在竖直平面内做小角度(小于5°)摆动，振动周期为T，为使该单摆的周期变为2T，正确的做法是
A.将单摆的振幅增大为原来的2倍
B.将单摆的摆长调整为l
C.将单摆的摆长调整为4l
D.将摆球的质量增大为原来的2倍
√
由单摆周期公式T=2π可知，使单摆周期变为原来的2倍，应将摆长调整为原来的4倍，与振幅和摆球质量无关。故A、B、D错误，C正确。
3. 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
答案　1 m　175 s
根据单摆周期公式T=2π可得l=
代入数据解得l= m=1 m
秒摆拿到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为=
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t=50T'=50T=50×2× s=175 s。
单摆模型拓展
03
1.等效摆长及等效重力加速度
(1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，
甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T=2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向
摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
2.几种常见的类单摆模型
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
双线摆 不变，lsin α+r 不变，g T=2π
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T=π+π
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
圆弧摆 不变，R-r 不变，g T=2π
斜面摆 不变，l+r 不变，gsin α T=2π
说明：若小球可视为质点，以上各式中的r为0。
4. (2025·汨罗市第一中学高二检测)右列图中的几个相同的单摆处在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁
D.T甲√
根据单摆的周期公式T=2π可知，单摆的周期与摆球质量无关，与摆长和等效重力加速度有关；甲中沿斜面的加速度为a=gsin θ，即等效重力
加速度为gsin θ，所以周期为T甲=2π，乙中加速度为a=g，所以周期
为T乙=2π，丙中的周期为T丙=2π，丁中的等效重力加速度为a'=g+a，
所以周期为T丁=2π，故T甲>T乙=T丙>T丁，故选C。
单 摆
回复力：F = x
理想化模型：简谐运动
周 期
公式： T= 2π，(l = l线 + )
单摆周期与振幅、摆球质量无关
类单摆模型
特点：受力与单摆相似的简谐运动

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