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第二章 机械振动
5 实验：用单摆测量重力加速度
High school physics
熟练掌握用图像处理实验数据的方法。
学会利用单摆的周期公式测量重力加速度。
进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。
重点
重难点
01
02
03
3.周期：
1.单摆：忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和
质量，且线长比球的直径大得多的装置。
2.在摆角小于5°时，单摆的振动是简谐运动。
回复力：
θ很小时：
惠更斯
利用惠更斯的方法测量当地的重力加速度。
需要测量哪些物理量？
应该如何设计实验装置、选择实验器材？
怎样才能减小实验误差？
惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。
一、实验思路
1.实验原理：单摆做简谐运动时，由周期公式
2.物理量的测量
测出摆长l和振动周期T，
就可以求出当地的重力加速度g的值。
偏角小于5°
二、实验装置及操作设计
长约1 m的细线
开有小孔的金属小球
带有铁夹的铁架台
停 表
游标卡尺
毫米刻度尺
标记
1.应该如何选择摆线和摆球？为什么？
答案　为保证单摆运动过程中摆长不变，应选择细且不易被拉长的线，长度一般不应短于1 m，这样可使周期的测量更加准确；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球，可减少摆球在运动过程中所受空气阻力的影响。
PK
PK
有弹力
无弹力
2.如何准确测量出所需要的摆长l，操作时需要注意什么？
要悬挂好摆球后再测摆长
①用刻度尺量出悬线长
②用游标卡尺测小球的直径d。
测摆线长度
测摆球的直径
注意：刻度尺要估读、游标卡尺不估读
3.从哪个位置开始计时？如何准确地测量出单摆的周期？为什么？
答案　当摆球摆动稳定后，经过最低位置，即平衡位置(摆动前先记录该位置)时开始计时，在该位置小球速度最大，在平衡位置附近时间间隔较短，正确操作时带来的相对误差较小；
用停表或数字计时器测出单摆完成30次(或50次)
全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单
摆的振动周期，这样可以减小测量的偶然误差。
0
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改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
三、数据获取及分析
1.获得多组摆长l和周期T数据后，通过什么方法可以进一步得出重力加速度？
公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。
图像法：
斜率
图像是一条过原点的直线
2.如果测量摆长过程中漏加了小球的半径？以上方法会对测量结果带来怎样的影响？
答案　如果采用公式法，由g=可知，漏加小球半径会使重力加速度
的测量值偏小；若采用T2-l图像法，漏加小球半径对图像斜率k=没有
影响，由此测得的重力加速度仍然是准确的。
实验中，某个物理量的测量是否准确，对采用不同方法处理实验数据时所带来的影响是不同的。一般情况下，采用图像法来分析处理实验数据所带来的误差较小。
四、误差来源及其他注意事项
1.误差来源
本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求(即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等)；偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
2.误差分析
(1)测量摆长时引起的误差
①若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大。
l
公式法：
②若在未悬挂摆球前测量了摆长；测量了摆线长漏加了摆球半径。
l
公式法：
少算半径
r
r
当少算半径时，实际上：
当多算半径时，实际上：
多算半径
r
r
对应图像分析
斜率不变
没有误差
③悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使测量的摆长偏小。
l
摆长测量值偏小，则g的测量值偏小
1.用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的橡皮绳
C.直径为2 cm左右的塑料球
D.直径为2 cm左右的铁球
AD
甲
O
(2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用　　 图(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
乙 丙
夹子
(3)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用停表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，
可得到当地的重力加速度g=　　　　　 (用d，l0，N，t，π表示)。
(4)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图丁所示的图像。你认为横坐标所表示的物理量应为　 　(选填“l2”“l”或“”)。
(1)单摆的摆角小于5°，所以摆线的长度要适当大些，这样摆幅较大，便于观察和计时，所以选择长度为1 m左右的细线，A正确，B错误；为了减小空气阻力的影响，应选择体积较小，密度较大的铁球，C错误，D正确。
(2)为了保证摆球的摆长一定，单摆的悬点处需要固定，所以应采用题图丙所示的固定方式。
(3)根据单摆的周期公式T=2π可知g==
(4)根据单摆的周期公式T=2π可知T∝，所以横轴表示的物理量为。
2. (2025·岳阳市高二检测)单摆是能够产生往复摆动的一种装置。将轻质细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端连接一个重小球即可构成单摆。甲、乙两位同学利用
如图甲所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
(1)关于实验操作，下列说法正确的是　 　。
A.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
B.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
C.用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长
D.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用
的时间t，则单摆周期T=50t
A
(2)如图乙所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径d=　　　 cm。
2.06
(3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=65时秒表的示数如图丙所示，该单摆的周期是T=　　 s(结果保留3位有效数字)
2.11
(4)为了提高实验精确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出一组对应的L与T的数据，并作出L-T2图线如图丁所示。图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则可以得
重力加速度g=　　　　 　。
(5)同学乙发现用g=计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是　　　　。
A.测摆长时，摆线拉得过紧
B.误将29次全振动记为30次
C.将摆线长度当作摆长来计算
D.摆动的摆角偏小
E.摆球的质量偏大
AB
(1)为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故A正确；
单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，实验时摆角不能太大，故B错误；
摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，用刻度尺测量摆线的长度不是摆长，故C错误；
单摆完成一次全振动需要的时间是周期，记下摆球做50次全振动所用的
时间t，则单摆周期为T=，故D错误。
(2)由题图乙可知，摆球的直径为d=2 cm+6×0.1 mm=2.06 cm
(3)单摆全振动的次数为N=次=32次
由题图丙可知秒表的示数为t=67.5 s，则该单摆的周期为T== s≈2.11 s
(4)根据题意，由单摆周期公式T=2π
整理可得L=·T2
结合题图丁可得=
解得g=
(5)根据题意可知，由公式计算可得重力加速度为g=，测摆长时，摆线拉得过紧，摆长偏大，则重力加速度偏大，故A正确；
误将29次全振动记为30次，周期偏小，则重力加速度偏大，故B正确；
将摆线长度当作摆长来计算，摆长偏小，则重力加速度偏小，故C错误；
摆角偏小、质量偏大，不影响实验结果，故D、E错误。
1.测量摆长时引起的误差
(1)若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大。
(2)若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动；测量了摆线长漏加了摆球半径等，会使测量的摆长偏小。
2.测量周期时引起的误差
(1)由于测量全振动次数错误造成误差。
(2)开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。
(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
3.若使用公式法测重力加速度，由g=可知，当摆长测量值偏大，
周期测量值偏小时，重力加速度g的测量值将偏大，反之将偏小。
3. (2025·浙江6月选考改编)在用单摆测重力加速度的实验中，
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为 s
(结果保留3位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光
的时刻t，则单摆的周期为T=　　　。
1.31
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g=　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h=　 　(结果均用k、b表示)。
4π2k
kb
(1)单摆摆动过程中，在最低点摆线的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt=7.653 0 s-1.127 7 s=6.525 3 s，则有Δt=10×，解得T≈1.31 s。
由题可得(n-1)=t，解得周期为T=。
(2)摆长为L=h+l，根据单摆周期公式有T=2π，解得l=T2-h，可得l-T2图像的斜率为k=，解得g=4π2k；当T2=b时l=0，则有0=·b-h，解得h=kb。

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