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高三下适应性测试（二）数学答案 b4 b10 2b7 b1 b8 b12 3b7
1．B【详解】原命题 p 为 x 0,ln(x 3) 0 ，则 p 为 x 0,ln(x 3) 0
2a
. 4
3a8 a a 4 8
2b7 3b7 b7
2．D【详解】因为 i2 1,i3 i,i4 1,i5 i ，所以 i2026 i4 506 2 i2 1， 2a{an} a4 a 2a
6
8 6
b7
4i 2 4i 2
所以 z 1 2i ，所以 2 2 . A n 4
i2026
z 1 ( 2) 5 n
1 1 1 An kn(n 4) Bn kn(3n 1) k R k 0
Bn 3n 1
3．C【详解】因为 (a b) (a b)，则 (a b) (a b) 0， n
a6 A6 A5 6k 6 4 5k 5 4 60k 45k 15k b7 B7 B6 7k 3 7 1 6k 3 6 1 38k
则 1 ， 1 0, 2 0，解得 1 .
2a 30k 15
2a6 30k b7 38k
6
π 3 3 1 3 3 b7 38k 19
4．B【详解】由题知 sin sin cos cos sin sin cos 3 cos
3 2 3 3 2 2 2 2 3
f (x) sin x 1 f (x) (3,1) f (x) f (6 x) 2
x 3
1 3 3 π 3
所以 sin cos ，即 sin ， F (x) f (x) 2 f x
2 2 2 3 2
2 f (x) Z F(x) 2 f (x) Z f (x) k m k Z m （0，1）
2π π 2 π 3 1所以 cos 2 cos2 1 2sin 1 2 .
3 3 3 2 2 F(x) k m 2 k m k 1 k 1
故选：B.
5．A【详解】解：已知 x 0，y 0，且3x y xy 9 ，
9 3x 9 3x 3(x 1) 12
则 y ，3x y 3(x 1) 3 3(x 1) 3 0.75 10 7.5 18
x 1 x 1 x 1
12 12 12
3(x 1) 6 2 3(x 1) 6 6，当且仅当3 x 1 , x 1时取等号，
x 1 x 1 x 1 x=2 y
故 3x y 的最小值为 6.
A,B P AB P A P B
故选：A
2 3 3 P AB P B P AB P B P A P B 1 P A P B
6. C【详解】解：设直线OA方程为 y kx，联立： y 3x ；有： x A ， yA ；
k 2 k
1
同理，设直线 方程为 2 2
P AB 1 P A P B P AB 1 P A P B P B P A P B
OB y x，联立： y 3x ，有： xB 3k ， yB 3k；

k
3 1 P A P B P B P AB P AB P AB P A P B A B
x ( k
2 )
2 2
设 AB 中点M (x, y)，由中点坐标公式，有： k ，
3 1 P AB 1 P A y ( k) P B
2 k
3
消 k ，有： y2 （x 3），故选 C
2
2 2x y 2 P(x, y) A(0,2)
7．C【详解】由等差数列的性质得b4 b10 2b7 ，b1 b8 b12 3b7 ，
p x 0,ln(x 3) 0 p x 0,ln(x 3) 0 2a4 3a8 a a∴原式可化为 4 8
2b7 3b7 b7
i2 1,i3 i,i4 1,i5 i i2026 i4 506 2 i2 1 2a∵ {an}为等差数列，∴ a4 a
6
8 2a6，原式进一步化简为 。
b7
4i 2 4i 2
z 1 2i 2 2 A n 4
i2026
z 1 ( 2) 5 n
1 1 1 ∵ ，∴ 可设 An kn(n 4) ， Bn kn(3n 1)（ k R且 k 0）
Bn 3n 1
(a b) (a b) (a b) (a b) 0 由等差数列通项与前 n项和的关系：
a6 A6 A5 6k 6 4 5k 5 4 60k 45k 15k ，b7 B7 B6 7k 3 7 1 6k 3 6 1 38k 1 ， 1 0, 2 0 1
2a6 30k 15将 2a6 30k ，b7 38k 代入化简后的原式得
π 3 3 1 3 3 b7 38k 19
sin sin cos cos sin sin cos 3 cos
3 2 3 3 2 2 2 2 3
8. B【详解】解： f (x) sin x 1，可知函数 f (x) 关于 (3,1) 对称，有： f (x) f (6 x) 2 ，
x 3
1 3 3 π 3
sin cos sin F (x) f (x) 2 f x
2 2 2 3 2
2 当 f (x) Z 时，此时 F(x) 2；当 f (x) Z 时，设 f (x) k m ； k Z ，m （0，1）
2π π π 3 1
cos 2 cos2 1 2sin
2
1 2
3 3 3 2 2 F(x) k m 2 k m k 1 k 1，
故选 B
x 0，y 0 3x y xy 9 9. ACD【详解】
9 3x 9 3x 3(x 1) 12
y 3x y 3(x 1) 3 3(x 1) 3 对于 A：上四分位数的位置为0.75 10 7.5，故上四分位数为第 8 个数18，因此 A 正确；
x 1 x 1 x 1
12 12 12 对于 B：线性相关系数为-1
3(x 1) 6 2 3(x 1) 6 6 3 x 1 , x 1
x 1 x 1 x 1 对于 C， x=2 时 y 的估计值为 0，残差为真实值 0.1 减估计值 0 等于 0.1，正确；
3x y
对于 D，先证必要性：若 A,B 相互独立，则P AB P A P B ，
2 3 3 所以P AB P B P AB P B P A P B 1 P A P B ， OA y kx y 3x x A y
k 2
A
k
1 2 2 再证充分性：若P AB 1 P A P B ，则P AB 1 P A P B P B P A P B ， OB y x y 3x xB 3k yB 3k
k
3 1 所以P A P B P B P AB P AB ，即P AB P A P B ，说明 A 与 B 相互独立，
x ( k
2 )
2 k 2
AB M (x, y)
3 1 所以随机事件 A,B相互独立的充要条件是P AB y ( k) 1 P A P B ，故 D 正确；
2 k
3 10. CD【详解】
y2k （x 3）
2 2
解： x2 y 2 表示动点 P(x, y) 到定点 A(0,2)的距离，
1 3 x 3y
若 0+ 2 m 0 ，即m 3 ，此时 A(0,2)在直线 m= 0上， d C
4
i 9 126 d C
1 2
i 9C8 252
2 2 2 2
2 2 x 3y d C
2
x 3y i 36 126 252 36 414x y 2 m 表示的图形是过 A 且与直线 m= 0垂直的直线， 9
2 2 2 2
an S nn S3 15 a3 8
x 3y
若m 3，则 A(0,2)不在直线 m= 0上，图形为抛物线．
2 2 3 2
3a1 d 15
11. BCD【详解】 an a1 d 2

π a1 2d 8
解：对于 A：BC 绕 BD 旋转过程中，BC 与 BA 所成的角最小趋近于 ，
6
a 2,d 3 an an a1 n 1 d 3n 11
1 3
所以，△ABC面积可以趋近于 1 3 sin ，所以 A 错误；
2 6 4 1 bn b1 1 bn 1 bn n N*
3
对于 B： AC 5 时，AC 与 CD 垂直，且 5 在 AC 范围（1，4+ 3 ）内，B 正确； n 11
b b 1 n n b
3 n

3 3 3 3 3
对于 C：建系， A( ,- ,0),BD=(0, 3,0),设C(cos ,0,sin ), (0, )，AC=(cos - , ,sin ),
2 2 2 2 3n 2 n 1 1
cn ba b3 n 3n 1
9
3 27
3 3 1 3 3
且 cos AC, BD 2 ， cos AC, BD , ，又因为 , ， 1 1 1
3 4 3cos 2 7 2

2
2 cn 9 2 7 27 3 27
π n
所以 AC 与 BD 可以成 ，C 正确； 1 1 · 1
3
c n 3 27T

9
n
1
n n T
1 3 n
1
对于 D：在直角三角形OMO2 和直角三角形
1
OMO1中，OM MO2 且OM MO ，
26 271 1
2 2 27
n n
1 9 1 2 9
3 3 3 3 0 n N* Tn 1 所以，OM≥ ， R OM 2 MD2 OM 2 3
2 27 26 27 264 2 4
m n,即m n 0 2acosC (2b c) 0
所以，外接球体积最小值为 4 3 。 a2 b2 c2
2a (2b c) 0 bc a2 b2 c2
2ab
12.【答案】8
b2 c2 a2 bc 1 2π
cos A A 0,π A
【详解】在 ABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A， 2bc 2bc 2 3
1 2π 3 3 3 1 3 3 3
S bcsin A A sin A S bc ,∴bc 3
得 72 b2 52 2b 5 cos60 ，整理得b2 5b 24 0，解得b 8或b 3（舍去）.所以b 8 . 2 3 2 4 2 2 4
b c 4
ln 2 ln 3
13.【答案】 ,
2 3 a2
1
b2 c2 2bccos A (b c)2 2bc 2bc ( )
ln x ln x ln 2 ln3 2
【详解】由 f x lnx ax 0，得 a ，结合 g(x) 和 y a 的图像可得 a ,
x x 2 3 b c 4 bc 3 a2 16 6 3 13 a 13
14.【答案】414
a b c 13 4
【详解】由题得 d1 d2 d9 14 ， di 0,1,2
1 3 x 3y
0+ 2 m 0 m 3 A(0,2) m= 0 ①所有di 中有 0 个 0,4 个 1,5 个 2，共有C
4 126个，②所有di 中有 1 个 0,2 个 1,6 个 2，共有C
1 2
9 9C8 252个
2 2 2 2
2
2 2 x 3y x 3y ③所有di 中有 2 个 0,7 个 2，共有C9 36个，则满足条件的不同数列共有126 252 36 414个 x y 2 m A m= 0
2 2 2 2
15.【详解】（1）因为数列 an 为等差数列， S nn是其前 项和，且 S3 15， a3 8 ．
x 3y
m 3 A(0,2) m= 0
2 2 3 2
3a1 d 15
设数列 an 的首项为 a1，公差为 d ，则 2 ，

π a1 2d 8
6
解得a 2,d 3，所以数列 an 的通项公式为 an a1 n 1 d 3n 11 .…………………………3分
1 3
△ABC 1 3 sin
2 6 4 1因为数列 bn
*
满足：b1 1，bn 1 bn n N ，
3
AC 5 5 （1，4+ 3 ） n 11 1
所以数列 bn 是首项为 1 公比为 的等比数列，所以数列 bn 的通项公式为b .…………3分 n
3 3 3 3 3 3
A( ,- ,0),BD=(0, 3,0), C(cos ,0,sin ), (0, ) AC=(cos - , ,sin ),
2 2 2 2 3n 2 n 1 1
（2）证明：因为 cn ba b3n 1 9 ，………………………………………7分 3 n 3 27
3 3 1 3 3
cos AC, BD 2 cos AC, BD , , 1 1 1 2 2 2 所以数列 cn 是首项为9 3 4 3cos 2 7 2 7 ，公比为 的等比数列， 27 3 27
π n1 1
· 1
3 3 27 n
由于数列 cn

的前 n项和为Tn ，所以
9 1
Tn 1
，…………………………10分
1 3 1
OMO OMO OM MO OM MO 26 271 2 1 2 1
2 2 27
n n
2 1 9 1 9
2 2 2 3 3 3 因为 * 0对于 n N 恒成立，所以Tn 1 .………………………………13分 R OM MD OM 3 27 26 27 264 2 4
16.【详解】（1）由m n,即m n 0 ，得 2acosC (2b c) 0 ，
4 3 a2 b2 c2
利用余弦定理，得 2a (2b c) 0，整理得bc a2 b2 c2……………………………3分
2ab
b2 c2 a2 bc 1 2π
而 cos A ，又 A 0,π ，故 A ；………………………………………7分
ABC a2 b2 c2 2bccos A 2bc 2bc 2 3
1 2π 3 3 3 1 3 3 3
（2）由面积公式 S bcsin A ， A ， sin A ， S ， bc ,∴bc 3，
72 b2 52 2b 5 cos60 b2 5b 24 0 b 8 b 3 b 8 2 3 2 4 2 2 4
结合b c 4 ，………………………………………10分
ln 2 ln 3
,
2 3 a2 b2 c2
1
由余弦定理： 2bccos A (b c)
2 2bc 2bc ( )，
ln x ln x ln 2 ln3 2
f x lnx ax 0 a g(x) y a a ,
x x 2 3 代入b c 4 ，bc 3，则 a2 16 6 3 13 a 13，………………………………………13分
故周长为a b c 13 4………………………………………15分
d d 0,1,21 d2 d9 14 i
17. 【详解】（1）设事件 Ai i 1,2,3 为第 i 次投中， O OB、OC、OP
x轴、y轴、z轴
2 1 2 16 OA OB OC OD a,OP b,则a
2 b2 PA2 16
2 2
则小溪同学在前 3 次投篮中就通过测试的概率为： P P A1A2 +P A1A2 A3 ( ) + ( )
3 3 3 27 O(0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0), D( a,0,0), P(0,0,b)
………………………………………3分
AB (a,a,0), AP (0,a,b), AD ( a,a,0)
（2） X 的所有可能取值为： 2，3，4，5 .
m (x1, y1, z1) PAB
2 2 4 1 2 4P X 2 ( ) = , P X 3 ( )2 , m AB ax1 ay1 0 m AP ay bz 03 9 3 3 27 1 1
1 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4 4 7 m (b, b,a)P X 4 ( ) ( ) ( ) , P X 5 1 .………………………6 分
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
n (x2 , y2 , z2 ) PAD
（算错一个扣 1分，最多扣 2分）
n AD ax2 ay2 0 n AP ay2 bz2 0
则 X 的分布列为：
n (b,b, a)
X 2 3 4 5 m n a2 1
cos m,n 2
2b2 a2 3 a b
2
m n
4 4 4 7
P
a2 b2 16 a29 27 27 27 b2 8 b 2 2 PO 2 2
4 4 4 7 87 2 2
E X 2 3 4 5 .………………………………………9分 OQ 2 Q O 2
9 27 27 27 27 3 3
（3）设事件 A ：小溪同学通过测试，事件 B ：小溪同学恰好投篮了三次， OQ 1PQ ABCD H PQ O sin OPQ
OP 3
4 1 2 2 20
因为投篮五次通过概率为 P (1 ) ( ) .，………………………………………11分 OH 1
9 3 3 243 tan OPQ OH 1
OP 2 2
4 4 4 20 200 1 2 4
则 P A ， P AB P X 3 ( )2 , …………………………13分
9 27 27 243 243 3 3 27 H O 1 H (s, t,0) 0 s2 t 2 1
4
27 9 PH (s, t, 2 2), BC ( 2 2,2 2,0) v (x, y, z)
则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为： P B A .……………………15 分
200 50
243 v BC 2 2x 2 2y 0,v PH sx ty 2 2z 0 v (2 2,2 2, s t)
18. (1) 过O 作OF PE 于F ，
v PB 8 2 2(s t)
2 2 2
又 平面POE 平面PBC，平面POE 平面PBC=PE，OF 平面POE PQ BC d d (s t) 2(s t ) 2
v 16 (s t)2
2
OF 平面PBC ，又 BC 平面PBC ， BC OF 2 8(2 2 x) 8(2 2 x)
2
x s t [ 2, 2] d f (x)
16 x2 16 x2
在正四棱锥P ABCD 中，PO 平面ABCD ， BC 平面ABCD ， BC PO 16(2 2 x)( 16 2 2x)
f '(x)
2
2 x [ 2, 2] f '(x) 0 16 x
又 PO OF O, PO、OF 平面POE BC 平面POE ………………………………3分
8 2 2
f (x) 2[ 2, 2] d f (x) ,8 d , 2 2 9
又 OE 平面POE BC OE 又 OB OC EB EC …………………………4分 3
A i 1,2,3 i （2）①以O 为原点，分别以OB、OC、OP 所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，i
令
2 1 2 16 OA OB OC OD a,OP b,则a
2 b2 PA2 16
P P A1A2 +P A A A 2 21 2 3 ( ) + ( )
3 3 3 27 O(0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0), D( a,0,0), P(0,0,b) ，
则 AB (a,a,0), AP (0,a,b), AD ( a,a,0) ，
X 2，3，4，5
令m (x , y , z ) 为平面PAB法向量 1 1 1
2 4 1 2 4
P X 2 ( )2 = , P X 3 ( )2 , 则m AB ax ay 0，1 1 m AP ay1 bz1 0 ， 3 9 3 3 27
1 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4 4 7 取m (b, b,a) ……………………………………6分 P X 4 ( ) ( ) ( ) , P X 5 1 .
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
令n (x , y , z ) 为平面PAD 法向量， 2 2 2
则n AD ax2 ay2 0 ，n AP ay 2 bz2 0
X
取n (b,b, a) ，………………………………………8分
X m n a2 1
则cos m,n 2 ，故 22b a2 3 a b
2
m n
4 4 4 7
P
9 27 27 27 又a2 b2 16，所以a2 b2 8，所以b 2 2 ，即PO 2 2 .…………………………………10分
4 4 4 7 87 2 2
E X 2 3 4 5 . ②因为OQ 2 ，所以点Q 轨迹为以O 为球心， 2 为半径的球面，
9 27 27 27 27 3 3
A B OQ 1设PQ 与平面 ABCD 的交点为H ，当PQ 与球O 相切时，sin OPQ ,
OP 3
4 1 2 2 20P (1 ) ( ) . OH 1
9 3 3 243 所以 tan OPQ ,所以OH 1 ,
OP 2 2
4 4 4 20 200 1 2 4
P A P AB P X 3 ( )2 ,
9 27 27 243 243 3 3 27 所以点H 轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆及其内部，令H (s, t,0)，则0 s2 t 2 1…………12分
4
27 9 PH (s, t, 2 2), BC ( 2 2,2 2,0) ,令v (x, y, z) P B A .
200 50
243 且v BC 2 2x 2 2y 0,v PH sx ty 2 2z 0 ，取v (2 2,2 2, s t) ………………14分
O OF PE F
v PB 8 2 2(s t)
2 2 2
平面POE 平面PBC，平面POE 平面PBC=PE，OF 平面POE 异面直线PQ 与BC 距离为d ，则d ，又 (s t) 2(s t ) 2
v 16 (s t)2
2 2
OF 平面PBC BC 平面PBC BC OF 8(2 2 x) 8(2 2 x)令 x s t [ 2, 2]，则d 2 ，令 f (x) ，
16 x2 16 x2
P ABCD PO 平面ABCD BC 平面ABCD BC PO 16(2 2 x)( 16 2 2x)
f '(x)
2 ，当 x [ 2, 2]， f '(x) 0，…………………………16分
16 x2
PO OF O, PO、OF 平面POE BC 平面POE
2 8 2 2
所以 f (x) 在[ 2, 2]单调递减，所以d f (x) ,8 ，d 的取值范围是 , 2 2 ……17分 9
OE 平面POE BC OE OB OC EB EC 3
cos sin
9
3 5 7 8 6 4 2
19. (1) …………………………………………………………………3 分 S OA A (sin sin sin sin )2 (cos sin sin sin )2
sin cos
0 n
18 18 18 18 18 18 18 18n 1
说明：记 | OP | r ，且 x轴逆时针旋转 0 角度后与射线OP 重合，
2 2 4 8
sin cos cos cos
1 8 4 2 1 1
(cos cos cos )2 ( 18 18 18 18 )2
4 18 18 18 4 2 256
m2 cos m1 sin n
sin
则 1P(rcos 0,rsin 0),Q(rcos( 0 ),rsin( ))，即 . 180
n2 sin m1 cos n1
1 2 1(2) S OPP | OP1 || OP2 | 1 cos OP1 2 1，OP2 = | xp yp xp yp |,……………5分 2 2 1 2 2 1
1
同理 S OQ Q = | xq yq xq yq |（*）……………………………………………………6分 1 2 2 1 2 2 1
xq axp byp xq ax by
将 1 1 1
p p
，
2 2 2
代入（*）可得答案 S OQ Q | ad bc | S OPP .
yq cxp1 dyp yq cx dy
1 2 1 2
1 1 2 p2 p2
………………………………………………………………………………………………8分
(3)由题可得曲线C 焦距为 2 3 ，A0 ( 2, 2)，考虑将不标准的椭圆通过变换变成圆，对应的 ln 变为过
原点的直线，再利用（2）小问结果，用圆上的扇形面积转换所求的复杂面积。
2 2
2 x
将C 顺时针旋转 后得到标准椭圆 2 ，对应变换为
2 2
C1 : y 1 M=
，
4 4 2 2

2 2
……………………………9分
2 2 2 2
由 1此时 S OA A 值不变.
2 2 2 2 0 n
1
0
再对C1作变换
2 2
N = 2 得到圆C2 : x y 1，……………………………10分

0 1


2 2 2 2
设 An (xn ,kn yn )，在经过 M,N 的变换后得到 A n ( xn knxn , xn knxn )，
4 4 2 2
A0 ( 2, 2)在经过 M,N 的变换后得到 A 0 (1,0)…………………………………12 分
2 2
xn kn xn
由 2 2 tan n 知 A 0OA n n ，………………………13分
2 2
xn kn xn
4 4
故 S OA0 A 2Sn OA0 A sin n …………………………………………………………15分 n
cos sin 9 3 5 7 2 8 6 4 2 2
于是 S OA A (sin sin sin sin ) (cos sin sin sin )
sin cos
0 n
18 18 18 18 18 18 18 18n 1
| OP | r x OP 2 2 4 8 0 sin cos cos cos
1 8 4 2 1 1
(cos cos cos )2 ( 18 18 18 18 )2 …………17 分
4 18 18 18 4 2 256
m2 cos m1 sin n
sin
1
P(rcos 0,rsin 0),Q(rcos( 0 ),rsin( 0 ))
18
n2 sin m1 cos n1
1 1
S OPP | OP1 || OP2 | 1 cos
2 OP
1 2 1
，OP2 = | xp yp xp y |
2 2 1 2 2
p1
1
S OQ Q = | xq y1 2 q xq yq |2 1 2 2 1
xq axp byp xq axp by1 1 1 2 2 p2
S OQ Q | ad bc | S1 2 OP1P
yq cxp1 dyp yq cxp dy
2
1 1 2 2 p2
C 2 3 A0 ( 2, 2) ln
2 2
2 x 2 2
C C : y2 1 M= 1
4 4 2 2

2 2
2 2 2 2
1 S OA A
2 2 2 2 0 n
1
C
0
1 N = 2 C
2
2 : x y
2 1
0 1


2 2 2 2
An (xn ,k y n n ) M,N An ( xn knxn , xn knxn )
4 4 2 2
A0 ( 2, 2) M,N A 0 (1,0)
2 2
xn kn xn
2 2 tan n A OA 0 n n
2 2
xn kn xn
4 4
S OA A 2S0 n OA A sin 0 n n

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