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2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（二）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
答案速查表
1 2 3 4 5
D A B D A
6 7 8 9 10
A C B ABD BD
11 12 13 14 15
ACD 、 （1） （2）
16 17 18 19
（1）证明见解析 （2） （1）分布列见解析， （2）符合商场要求 （1） （2）证明见解析 （1） （2）证明见解析
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合，，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合，，所以.
【点拨】本题考查集合的交集运算，注意不等式端点值的取舍.
2.　复数的共轭复数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，因此复数的共轭复数是.
【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，分子分母同乘分母的共轭复数是解题关键.
3.　在中，在上且，设，，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，在中，在上且，所以. 则. 又因为，，所以.
【点拨】本题考查平面向量的线性运算，利用三角形法则将未知向量转化为已知向量的线性组合.
4.　的展开式中的系数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.
【点拨】本题考查二项式定理，写出通项公式并令未知数的指数等于目标指数是通法.
5.　为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为回归直线过样本点中心即，将其代入，可得，解得，当时，，所以残差为.
【点拨】本题考查经验回归方程及残差的计算，牢记回归直线必过样本中心点.
6.　已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，则，因为曲线在点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，即，解得.
【点拨】本题考查导数的几何意义，切线斜率即为函数在该点处的导数值.
7.　设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前次中甲恰好投篮次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，，则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，，根据题意，前次中甲恰好投篮次的情况为
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为；
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为；
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为.
则前次中甲恰好投篮次的概率为.
【点拨】本题考查相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式，利用分类讨论思想列出所有可能情况是关键.
8.　设函数，若恒成立，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，可得或，由题意可知，，得，将代入，可得，令，求导得，令，解得，. 当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此，时，取得极小值，即的最小值为.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的最值，将恒成立问题转化为两零点相等是破题的核心.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】，，两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；又，所以，故B正确；又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；又，所以，故D正确.
【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，位置决定均值，形态（高瘦或矮胖）决定方差.
10.　已知数列的前项和为，，则（ 　　）
A. 数列是递减数列
B. 当且仅当时，取得最小值
C. 数列是递减数列
D. 当且仅当时，取得最小值
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错；对于B选项，，当且时，且数列单调递减，当且时，且数列单调递减，故当且仅当时，取得最小值，B对；对于C选项，由可得或，故当时，，故数列单调递增，C错；对于D选项，由可得，故当时，；当时，，所以，当且仅当时，取得最小值，D对.
【点拨】本题考查数列的单调性与前项和的最值，利用分离常数法分析数列的单调性是解题关键.
11.　已知是函数的极大值点，则（ 　　）
A. 函数的极小值为
B. 若，则
C. 若，则有个相异的零点
D. 若（其中），则
【答案】ACD
【解析】对于A中，由函数，可得，因为是的极大值点，所以，解得，所以，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极大值点为，极小值点为，所以A正确；对于B中，当时，，则，因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；对于C中，由，且当时，，当时，，可得的图象，如图所示，
当时，有个相异零点，所以C正确；对于D中，因为，要证，只需证明，由在上单调递增，需证明，即当时，证明，构造函数（其中），则，当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，所以，，所以D正确.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值、零点及极值点偏移问题，构造极值点偏移的辅助函数是难点.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　在中，内角所对的边分别为，若，，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由余弦定理得，代入数据得，所以.
【点拨】本题考查余弦定理的应用，直接代入公式即可求解.
13.　为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等人到三个不同地方参加活动，每个地方至少人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有＿＿＿＿＿＿种.
【答案】
【解析】安排甲，乙等人到三个不同地方参加活动，每个地方至少人，则将人按分组，若不考虑限制条件，则此时不同的安排方式有种，当甲和乙去同一个地方时，有种不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.
【点拨】本题考查排列组合的分组分配问题，采用“正难则反”的间接法（总数减去甲乙同地的情况）更为简便.
14.　在棱长为个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔秒等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.设第秒（）后，质点位于平面的概率为，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【解析】正方体的个顶点分居在两层：上底面和下底面内，每个顶点有条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为，因此质点在同层内移动到另一顶点的概率为，质点移动到另一层顶点的概率为，第秒后，质点位于平面的概率为，位于平面的概率为，，，；则，即，而，于是数列是以为首项，为公比的等比数列，，即.
【点拨】本题考查马尔可夫链与递推数列的综合，根据状态转移建立递推关系式是解题的核心.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　
为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）由，①
可得. ② ………………………… 2 分
由②-①得.
即. ………………………… 4 分
，.
又当时，得. ………………………… 5 分
解得（舍去）
可得数列是首项为，公差为的等差数列 ………………………… 6 分
即. ………………………… 7 分
（2）由（1）知， ………………………… 8 分
可得. ………………………… 10 分
因此；………………………… 12 分
可得. ………………………… 13 分
【点拨】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求和，利用并结合得出公差是关键.
16.　
如图，在长方体中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，………………………… 3 分
，，………………………… 5 分
，………………………… 6 分
. ………………………… 7 分
（2）设平面的法向量为，
，，，
又，，………………………… 9 分
则，
，取，则，
平面的一个法向量为，………………………… 12 分
又，
设直线与平面所成角为，
，………………………… 14 分
即直线与平面所成角的正弦值为. ………………………… 15 分
【点拨】本题考查空间向量在立体几何中的应用，建系求出平面法向量是求线面角的通用方法.
17.　
某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的个小球，其中有个红球，个白球.顾客从中依次摸出个球，记摸到红球的个数为.
（1）若采用不放回摸球，求的分布列与期望；
（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分分，摸到白球得分.设顾客获得的积分为，若商场希望顾客获得积分的期望不超过分，这种有放回的摸球规则是否符合商场要求？
【答案】（1）分布列见解析， （2）符合商场要求
【解析】解：（1）依题意，的所有可能取值为， ………………………… 1 分
， ………………………… 3 分
， ………………………… 4 分
， ………………………… 5 分
所以的分布列为：
………………………… 7 分
. ………………………… 9 分
（2）若采用有放回摸球，每次摸到红球的概率为，摸次，
设摸到红球的个数为，则， ………………………… 11 分
所以. ………………………… 12 分
由题意知，顾客获得的积分， ………………………… 13 分
所以分. ………………………… 14 分
因为，所以这种有放回的摸球规则符合商场要求. ………………………… 15 分
【点拨】本题考查超几何分布与二项分布的期望计算，注意区分有放回与不放回抽样的概率模型差异.
18.　
已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的倍，求证：直线经过定点.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】解：（1）由题意得：，………………………… 2 分
，所以解得，………………………… 4 分
即椭圆方程；………………………… 5 分
（2）设直线方程为，与椭圆联立，消得：
，………………………… 7 分
其中，
设，则，………………………… 9 分
由已知得：，………………………… 11 分
再化简得：，
代入得：，………………………… 13 分
整理得：，
因为直线不经过点，所以，
即，………………………… 15 分
所以直线的方程为，
因此直线经过定点. ………………………… 17 分
【点拨】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用韦达定理和斜率关系化简得到参数之间的关系是解决定点问题的通法.
19.　
已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】解：（1）函数的定义域为，求导得， ………………………… 2 分
因为是增函数，所以在上恒成立，
即，即，两边取对数得，
即， ………………………… 5 分
令，则在上单调递增，
又恒成立，所以，解得， ………………………… 6 分
又因为真数，，所以，
所以的取值范围为. ………………………… 8 分
（2）证明：要证，即证，
即证，即证，
令，则在上单调递增， ………………………… 11 分
原不等式等价于，
即证，即证， ………………………… 13 分
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
又因为，所以，
所以，而无法直接传递， ………………………… 14 分
回到，当时，，
令，，所以，即，
又，所以存在，使得，
即，两边取对数得，即， ………………………… 15 分
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以， ………………………… 16 分
因为，所以，
所以得证. ………………………… 17 分
【点拨】本题考查导数的综合应用，第二问利用隐零点代换求函数的最值是解决复杂超越不等式证明的有效手段.
双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注
1 单选 5 集合 集合的交集与不等式解法 0.90 基础送分
2 单选 5 复数 复数的除法与共轭复数 0.88 基础送分
3 单选 5 平面向量 向量线性运算与模长 0.85 基础送分
4 单选 5 计数原理 二项式定理特定项系数 0.80 基础送分
5 单选 5 概率统计 线性回归直线过样本中心 0.70 情境建模
6 单选 5 导数 导数几何意义求切线 0.65 中档题
7 单选 5 概率统计 独立重复试验概率计算 0.55 情境建模
8 单选 5 导数 导数与函数零点问题 0.35 小题压轴
9 多选 6 概率统计 正态分布密度曲线比较 0.75 基础送分
10 多选 6 数列 数列单调性与最值综合 0.55 中档题
11 多选 6 导数 导数极值与零点综合判断 0.30 小题压轴
12 填空 5 三角函数 正余弦定理求边 0.85 基础送分
13 填空 5 计数原理 排列组合分组分配问题 0.65 情境建模
14 填空 5 概率统计 随机游走与递推数列概率 0.30 探究压轴
15 解答 13 数列 （1）等差数列通项公式(0.85)；（2）裂项相消法求和(0.70) 0.70 基础大题
16 解答 15 立体几何 （1）空间向量证明线面垂直(0.75)；（2）空间向量求线面角(0.55) 0.65 中档大题
17 解答 15 概率统计 （1）超几何分布列与期望(0.80)；（2）二项分布期望与决策(0.60) 0.60 情境大题
18 解答 17 解析几何 （1）椭圆标准方程求解(0.75)；（2）直线与椭圆相交定点问题(0.35) 0.35 探究压轴
19 解答 17 导数 （1）导数单调性讨论(0.55)；（2）导数不等式恒成立证明(0.25) 0.25 探究压轴
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（二）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合，，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.　复数的共轭复数是（ 　　）
A. B. C. D.
3.　在中，在上且，设，，则（ 　　）
A. B.
C. D.
4.　的展开式中的系数是（ 　　）
A. B. C. D.
5.　为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ 　　）
A. B. C. D.
6.　已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ 　　）
A. B. C. D.
7.　设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前次中甲恰好投篮次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
8.　设函数，若恒成立，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ 　　）
A. B.
C. D.
10.　已知数列的前项和为，，则（ 　　）
A. 数列是递减数列
B. 当且仅当时，取得最小值
C. 数列是递减数列
D. 当且仅当时，取得最小值
11.　已知是函数的极大值点，则（ 　　）
A. 函数的极小值为
B. 若，则
C. 若，则有个相异的零点
D. 若（其中），则
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　在中，内角所对的边分别为，若，，，则＿＿＿＿＿＿.
13.　为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等人到三个不同地方参加活动，每个地方至少人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有＿＿＿＿＿＿种.
14.　在棱长为个单位的正方体中，一个质点在随机外力的作用下从顶点出发，每隔秒等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.设第秒（）后，质点位于平面的概率为，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　为数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.　如图，在长方体中，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.　某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的个小球，其中有个红球，个白球.顾客从中依次摸出个球，记摸到红球的个数为.
（1）若采用不放回摸球，求的分布列与期望；
（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分分，摸到白球得分.设顾客获得的积分为，若商场希望顾客获得积分的期望不超过分，这种有放回的摸球规则是否符合商场要求？
18.　已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的倍，求证：直线经过定点.
19.　已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
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