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2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
答案速查表
1 2 3 4 5
D B A B C
6 7 8 9 10
B C D AD AD
11 12 13 14 15
ABD （1） （2）
16 17 18 19
（1）认为有关 （2） （1） （2）分布列见解析； （1）①分布列见解析； ② （2）① ② （1）是，对乘系数为 0 （2）证明见解析
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵集合 表示非负偶数集，即 ，
又 ，
∴．
【点拨】本题考查集合的交集运算以及描述法的理解，注意集合 中的元素为非负偶数是解题关键.
2.　已知某批零件的直径 （单位：毫米）服从正态分布 ．若 ，则从这批零件中任意抽取 1 个零件，该零件的直径大于 11 毫米的概率为（ 　　）
A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175
【答案】B
【解析】由题意可知，正态分布的均值 ，
∵，且正态曲线关于直线 对称，
∴．
【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，利用对称性求出目标区间的概率是常用方法.
3.　已知等比数列 ，则该等比数列的第 6 项是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知等比数列的首项 ，第 2 项 ，
∴公比 ，
则该等比数列的第 6 项 ．
【点拨】本题考查等比数列的通项公式，先求出公比，再代入公式计算即可.
4.　 的展开式的第 4 项的系数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，可得展开式的第 4 项为 ，
∴第 4 项的系数是 ．
【点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意第 4 项对应的是 ，不要混淆.
5.　某旅行社设计了 4 条不同的旅游路线，小夏要从中任选 2 条路线，分别在假期 7 月和 8 月出游，则不同的出游方法有（ 　　）
A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 6 种
【答案】C
【解析】从 4 条不同的旅游路线中任选 2 条，分别在 7 月和 8 月出游，
这是一个排列问题，不同的出游方法有 种．
【点拨】本题考查排列组合的基础应用，由于 7 月和 8 月是两个不同的时间，选出的路线有顺序区别，故用排列数计算.
6.　A，B 两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且 A，B 两种品牌的钢笔的次品率分别为 4% 和 ．若市场上这种型号钢笔的次品率为 2.5%，则 （ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设从市场上任取一支该型号钢笔，它是次品为事件 ，它是 A 品牌为事件 ，它是 B 品牌为事件 ，
由扇形图可知，，，
已知 ，，
由全概率公式可得，市场上这种型号钢笔的次品率 ，
即 ，
解得 ．
【点拨】本题考查全概率公式的实际应用，能够从扇形图中提取先验概率，并结合条件概率列出方程是解题关键.
7.　函数 图象上的点到直线 的距离的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设函数 图象上与直线 平行的切线的切点为 ，
由 ，得 ，
令 ，即 ，
解得 或 （∵，故舍去），
当 时，，即切点为 ，
此时该切点到直线 的距离即为所求的最小值，
最小值为 ．
【点拨】本题考查导数的几何意义及点到直线的距离.曲线上点到直线距离的最小值，通常转化为求与已知直线平行的切线切点到该直线的距离.
8.　若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不等式 恒成立，即 恒成立．
令 ，则 ．
若 ，当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减．
∴．
要使 恒成立，只需 ．
设 ，则 ，
当 时，， 单调递增，又 ，∴当 时，，即 恒成立．
若 ， 恒成立．
若 ，当 时，，，当 时，，不可能恒小于等于 1．
综上， 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题.将不等式转化为函数的最值问题，分类讨论参数 的符号，结合极限思想分析函数的值域是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　若 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】已知 ，
令 ，则 ，即 ，故 A 正确；
令 ，则 ，
∴，故 B 错误；
令 ，则 ，
将 和 代入得到的两式相加，得 ，
∴，故 C 错误；
将原式左边变形为 ，展开后最高次项为 ，∴，故 D 正确．
【点拨】本题考查二项式定理中的赋值法.通过巧妙地对变量 赋特殊值（如 ），可以求出展开式各项系数的和或部分系数的和.
10.　已知随机变量 的分布列如下表：
1 2 3 4 5
其中 成等比数列，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 成等差数列 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由分布列的性质可知，所有概率之和为 1，
即 ，解得 ．
又∵ 成等比数列，∴，
∵概率 ，∴，故 B 错误；
将 代入 ，得 ．
对于 A，，而 ，∴，即 成等差数列，故 A 正确；
对于 C，，故 C 错误；
对于 D，，故 D 正确．
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列性质及数学期望的计算，结合了等差、等比数列的定义.注意概率值必须非负.
11.　已知函数 的定义域为 ，若 ，且 ，则下列选项正确的是（ 　　）
A. B.
C. 函数 为奇函数 D.
【答案】ABD
【解析】已知 ，
令 ，得 ；
令 ，得 ，
两式相减可得 ，
又∵，∴．
对于 B，令 ，得 ，
即 ，∵，∴，故 B 正确；
对于 A，由 且 ，得 ，
解得 或 ．
若 ，则 ，这与 矛盾，
∴，故 A 正确；
对于 C，令 ，得 ，
∵，∴，即函数 是偶函数，故 C 错误；
对于 D，∵ 是偶函数，∴，．
令 ，得 ，
即 ，
∵ 是偶函数，∴，
∴，即 ，
进而 ，
说明函数 是以 4 为周期的周期函数．
在一个周期内，．
∴，故 D 正确．
【点拨】本题考查抽象函数的性质（奇偶性、周期性、求值）.利用赋值法，通过巧妙选取 的值，逐步推导出函数的基本性质是解决此类问题的核心策略.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　某工厂为研究某种产品的产量 （吨）与所需某种原材料的重量 （吨）的相关性，在生产过程中收集了 6 组对应数据 ，如下表所示．根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，则 ＿＿＿＿＿＿．
2 3 4 5 6 7
1.5 2 3 4 5.5
【答案】
【解析】由表中数据可计算得样本平均数：
，
．
∵经验回归直线 必过样本中心点 ，
∴，
解得 ，即 ．
【点拨】本题考查线性回归方程的性质。经验回归直线一定经过样本中心点 ，这是求解此类参数问题的最直接方法。
13.　有 6 张卡片，分别标有数字 1,2,3,4,5,6．现从这 6 张卡片中随机抽出 3 张，则抽出的 3 张卡片上的数字之和比剩余的 3 张卡片上的数字之和小 3 的概率为 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】6 张卡片上的数字总和为 ．
设抽出的 3 张卡片上的数字之和为 ，则剩余的 3 张卡片上的数字之和为 ．
由题意得 ，解得 ．
从 6 张卡片中随机抽出 3 张，共有 种抽法．
要使抽出的 3 张卡片上的数字之和为 9，可能的组合有：，，，共 3 种情况．
∴所求概率 ．
【点拨】本题考查古典概型的概率计算.先利用整体和与部分和的关系求出目标和，再用列举法找出符合条件的组合数，最后套用古典概型公式即可.
14.　已知函数 ．若方程 有 3 个实数根，则 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】已知 ，
则 ，
∴．
∵，随着 的增大， 增大， 减小，∴ 在 上单调递增．
方程 可化为 ．
∵ 在 上单调递增，∴，
即 ．
方程有 3 个实数根，即函数 的图象与直线 有 3 个交点．
求导得 ．
令 ，得 或 ．
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增．
∴ 的极大值为 ，极小值为 ．
又当 时，．
画出 的大致图象可知，要使直线 与 的图象有 3 个交点，必须满足 ．
∴ 的取值范围为 ．
【点拨】本题考查利用导数研究方程根的个数.通过分析函数的奇偶性（或对称性）与单调性，将抽象函数方程转化为具体函数方程，再分离参数构造新函数，利用导数求极值并结合极限思想画出草图是解决此类问题的标准流程.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　已知 为等差数列 的前 项和，满足 ，．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，得 ，即 ………………………… 2 分
由 ，得 ，即 ………………………… 4 分
联立解得 ………………………… 5 分
∴ ………………………… 6 分
（2）由（1）得
即 ………………………… 8 分
当 为偶数时， ………………………… 9 分
数列 的前 项和 ………………… 10 分
其中奇数项之和为：
………………… 12 分
偶数项之和为：
………………………… 14 分
∴ ………………………… 15 分
【点拨】本题考查等差数列的通项公式及分组求和法.对于分段定义的数列求和，通常采用分组求和法，将奇数项和偶数项分别求和，其中偶数项求和用到了裂项相消法，奇数项求和用到了等比数列求和公式.
16.　甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选 3 匹马（马匹各不相同），每场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场比赛均只有胜负，且胜利与否互不影响．在所有马匹中，有一匹快马，记为 马．经统计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择 马与否的情况如下表所示．
单位：场
选择 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
选择 48 12 60
未选择 22 18 40
合计 70 30 100
（1） 完成 列联表，并依据 的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择 马与否有关联？
（2） 由于马匹的不同， 马参加比赛的场次会进行调整．根据以往的数据统计，参赛者选择 马参与比赛时，安排 马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为 ，相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为 ．当参赛者选择 马参加比赛时，在参赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排 马参加的是第一场比赛的概率．
附：，．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) 列联表见解析，认为参赛者的胜负和选择 马与否有关 (2)
【解析】解：(1)补充完整的 列联表如下：
选择 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
选择 48 12 60
未选择 22 18 40
合计 70 30 100
………………………… 3 分
零假设为 ：参赛者的胜负和选择 马与否无关．
由表中的数据得 ………………………… 6 分
∵，
则依据 的独立性检验，可以推断假设不成立，即认为参赛者的胜负和选择 马与否有关． ………………………… 8 分
(2)设事件 “参赛者安排 马参加第一场比赛”，事件 “参赛者安排 马参加第二场比赛”，事件 “参赛者安排 马参加第三场比赛”，事件 “参赛者获得本次比赛的胜利”．
由题意知，，
………………………… 10 分
当参赛者选择 马参加比赛时，参赛者获得本次比赛胜利的概率为：
………………………… 12 分
………………………… 13 分
当参赛者选择 马参加比赛时，在参赛者获得比赛胜利的条件下，参赛者安排 马参加的是第一场比赛的概率为：
………………………… 14 分
………………………… 15 分
【点拨】本题考查独立性检验以及全概率公式与条件概率（贝叶斯公式）的应用。第二问中，明确“原因”事件（安排在第几场）和“结果”事件（获得胜利），理清条件概率的关系是解题关键。
17.　现有 8 款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取 3 款进行破解．已知甲学生只能破解其中的 4 款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为 ．
（1） 求 ；
（2） 求 的分布列与数学期望．
【答案】（1） （2） 分布列见解析，
【解析】解：（1）由题意可知，甲学生能破解的智力扣有 4 款，不能破解的也有 4 款．
从 8 款中随机抽取 3 款，抽到能破解的数量 服从超几何分布．
………………………… 2 分
………………………… 4 分
………………………… 6 分
∴ ………………………… 7 分
（2） 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3．
………………………… 9 分
………………………… 11 分
∴ 的分布列为：
0 1 2 3
………………………… 13 分
数学期望 ………………………… 15 分
【点拨】本题考查超几何分布的概率计算、分布列及数学期望。识别出模型为超几何分布是解题的基础，计算时注意组合数的准确性。
18.　某产品生产共有 道工序，每道工序优秀的概率均为 ，各道工序之间相互独立．当该产品有不少于 道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优品的概率为 ．
（1） 设 ．
①求该产品优秀工序的道数 的分布列和数学期望；
②求 ．
（2） 若该产品现共有 7 道工序，每件优品的利润为 90 元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加 2 道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的 2 倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的 ，且每件二级优品的利润是 90 元，每件一级优品的利润是 180 元．
①设该产品增加工序前单位时间内的产量为 件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为 元，试用 表示 ；
②若该产品增加 2 道工序后产品为优品的概率变大，求 的取值范围．
【答案】（1）①分布列见解析， ② （2）① ②
【解析】解：（1）①当 时，工序总数为 道．
∵每道工序优秀的概率均为 ，且相互独立，∴ ………………………… 1 分
的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5．
………………………… 3 分
的分布列为：
0 1 2 3 4 5
………………………… 4 分
数学期望 ………………………… 5 分
②由题意，有不少于 3 道工序优秀时为优品，
∴ ………………………… 7 分
(2)①增加工序前产量为 ，增加后产量为 ．
增加 2 道工序后，产品总工序数为 9，优品概率为 （因为 ）．
单位时间内生产的优品数量的期望为 ………………………… 9 分
其中一级优品占 ，二级优品占 ，
∴利润之和的期望 ………………………… 11 分
………………………… 12 分
②增加 2 道工序前，工序数为 7（即 ），优品概率为 ；增加后工序数为 9，优品概率为 ．
由题意知 ．
表示 7 道工序中至少有 4 道优秀的概率．
增加 2 道工序后，要成为优品（至少 5 道优秀），可以分为以下情况：
前 7 道中至少有 5 道优秀（概率为 ），此时新增的 2 道无论怎样都满足条件；
前 7 道中恰有 4 道优秀（概率为 ），此时新增的 2 道中至少有 1 道优秀（概率为 ）；
前 7 道中恰有 3 道优秀（概率为 ），此时新增的 2 道必须全部优秀（概率为 ）．
∴ ………………………… 14 分
又∵，
∴
………………………… 15 分
∵，提取公因式得：
………………………… 16 分
要使 ，即 ，
∵，∴，
∴只需 ，解得 ．
∴ 的取值范围是 ………………………… 17 分
【点拨】本题考查二项分布的概率计算及期望，以及概率递推关系的推导。第二问中，利用全概率公式思想，将增加工序后的优品概率与增加前的概率建立联系，通过作差法比较大小是解决此类问题的经典技巧。
19.　若函数 满足定义域为 ，，且 ，则称 为“对乘函数”， 为 的“对乘系数”．
（1） 试判断函数 是否为“对乘函数”．若是，求出 的“对乘系数”；若不是，请说明理由．
（2） 已知 是“对乘系数”为 的“对乘函数”，证明：．
【答案】（1） 是，对乘系数为 0 （2） 证明见解析
【解析】解：（1）对于 ，
．
设 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，当 时，，
∴，即 ．
同理可证 ．
∴，满足第一个条件． ………………………… 2 分
又
………………………… 4 分
对比定义式 ，可知存在实数 满足条件．
∴ 是“对乘函数”，且“对乘系数”为 0． ………………………… 6 分
（2）证明：已知 是“对乘系数”为 的“对乘函数”，
则 ．
当 时，
……………………… 8 分
………………………… 10 分
当 时，，上式也成立．
∴． ………………………… 12 分
由“对乘函数”的定义知，，
∴ 对 恒成立．
即 ，∴ 恒成立． ………………………… 14 分
设 ，
∵ 对所有正整数 成立，必然对 成立，
∴． ………………………… 16 分
即 ，
∴，即 ，
∴．证明完毕． ………………………… 17 分
【点拨】本题考查新定义背景下的数列求和与不等式证明.通过作差法求出 的表达式是解题的突破口，随后利用恒成立条件，取特殊值 即可巧妙证得目标不等式.
双向细目表
题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 目标难度系数 备注
1 单选 5 集合与逻辑 集合的交集或并集运算 0.90 基础送分
2 单选 5 概率统计 正态分布的对称性与概率计算 0.85 基础送分
3 单选 5 数列 等差或等比数列的基本运算 0.85 基础送分
4 单选 5 计数原理 二项式定理特定项系数求值 0.75 常规题
5 单选 5 计数原理 限制条件的排列组合（分组分配或相邻不相邻） 0.65 情境建模
6 单选 5 概率统计 全概率公式或条件概率的实际应用 0.60 情境建模
7 单选 5 导数 导数的几何意义（切线问题） 0.55 较难
8 单选 5 导数 导数与函数零点或不等式恒成立综合 0.35 小题压轴
9 多选 6 计数原理 二项式展开式的性质与赋值法 0.65 常规题
10 多选 6 概率统计 离散型随机变量分布列与期望方差性质 0.60 常规题
11 多选 6 导数 导数与抽象函数性质（奇偶、周期、对称）综合 0.35 小题压轴
12 填空 5 概率统计 线性回归方程过样本中心点或相关系数判断 0.85 基础送分
13 填空 5 计数原理 排列组合的综合计算 0.65 常规题
14 填空 5 导数 导数极值点或零点求参数范围 0.35 小题压轴
15 解答 13 数列 （1）求等差/等比数列通项(A)；（2）错位相减或分组求和(B) 0.65 常规解答
16 解答 15 概率统计 （1）独立性检验(B)；（2）条件概率或全概率公式(B) 0.65 情境建模
17 解答 15 概率统计 （1）古典概型或超几何分布(B)；（2）离散型随机变量分布列与期望(B) 0.60 情境建模
18 解答 17 概率统计 （1）复杂情境下的概率推导(B)；（2）期望的最值或马尔可夫链初步(C) 0.40 探究压轴
19 解答 17 导数 （1）切线或单调区间(B)；（2）新定义结合不等式证明或极值点偏移(C) 0.20 探究压轴
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）
数　学
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.　已知集合 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.　已知某批零件的直径 （单位：毫米）服从正态分布 ．若 ，则从这批零件中任意抽取 1 个零件，该零件的直径大于 11 毫米的概率为（ 　　）
A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175
3.　已知等比数列 ，则该等比数列的第 6 项是（ 　　）
A. B. C. D.
4.　 的展开式的第 4 项的系数是（ 　　）
A. B. C. D.
5.　某旅行社设计了 4 条不同的旅游路线，小夏要从中任选 2 条路线，分别在假期 7 月和 8 月出游，则不同的出游方法有（ 　　）
A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 6 种
6.　A，B 两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且 A，B 两种品牌的钢笔的次品率分别为 4% 和 ．若市场上这种型号钢笔的次品率为 2.5%，则 （ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.　函数 图象上的点到直线 的距离的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
8.　若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.　若 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.　已知随机变量 的分布列如下表：
1 2 3 4 5
其中 成等比数列，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 成等差数列 B.
C. D.
11.　已知函数 的定义域为 ，若 ，且 ，则下列选项正确的是（ 　　）
A. B.
C. 函数 为奇函数 D.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.　某工厂为研究某种产品的产量 （吨）与所需某种原材料的重量 （吨）的相关性，在生产过程中收集了 6 组对应数据 ，如下表所示．根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，则 ＿＿＿＿＿＿．
2 3 4 5 6 7
1.5 2 3 4 5.5
13.　有 6 张卡片，分别标有数字 1,2,3,4,5,6．现从这 6 张卡片中随机抽出 3 张，则抽出的 3 张卡片上的数字之和比剩余的 3 张卡片上的数字之和小 3 的概率为 ＿＿＿＿＿＿．
14.　已知函数 ．若方程 有 3 个实数根，则 的取值范围为 ＿＿＿＿＿＿．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.　已知 为等差数列 的前 项和，满足 ，．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求数列 的前 项和 ．
16.　甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选 3 匹马（马匹各不相同），每场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场比赛均只有胜负，且胜利与否互不影响．在所有马匹中，有一匹快马，记为 马．经统计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择 马与否的情况如下表所示．
单位：场
选择 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
选择 48 12 60
未选择 22 18 40
合计 70 30 100
（1） 完成 列联表，并依据 的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择 马与否有关联？
（2） 由于马匹的不同， 马参加比赛的场次会进行调整．根据以往的数据统计，参赛者选择 马参与比赛时，安排 马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为 ，相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为 ．当参赛者选择 马参加比赛时，在参赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排 马参加的是第一场比赛的概率．
附：，．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.　现有 8 款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取 3 款进行破解．已知甲学生只能破解其中的 4 款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为 ．
（1） 求 ；
（2） 求 的分布列与数学期望．
18.　某产品生产共有 道工序，每道工序优秀的概率均为 ，各道工序之间相互独立．当该产品有不少于 道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优品的概率为 ．
（1） 设 ．
①求该产品优秀工序的道数 的分布列和数学期望；
②求 ．
（2） 若该产品现共有 7 道工序，每件优品的利润为 90 元．因市场上产品更新换代的速度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加 2 道工序，增加工序后，单位时间内的产量是原来产量的 2 倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的 ，且每件二级优品的利润是 90 元，每件一级优品的利润是 180 元．
①设该产品增加工序前单位时间内的产量为 件，记该产品增加工序后单位时间内生产的优品利润之和为 元，试用 表示 ；
②若该产品增加 2 道工序后产品为优品的概率变大，求 的取值范围．
19.　若函数 满足定义域为 ，，且 ，则称 为“对乘函数”， 为 的“对乘系数”．
（1） 试判断函数 是否为“对乘函数”．若是，求出 的“对乘系数”；若不是，请说明理由．
（2） 已知 是“对乘系数”为 的“对乘函数”，证明：．
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