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湖北省沙市中学 2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1
1．已知集合 A = {y | y = log2x, x >1}，B = {y | y = x , x > 0}，则 AI B = （ ）2
A．{y | 0 < y
1
< } B．{y | 0 < y <1}
2
C．{y |
1
< y <1} D．
2
2．若复数 z 满足 z + iz = 2 - i，其中 i 为虚数单位.则 | z |=（ ）
A．10 B．5 C 10． D． 5
2
r r r r r r
3．已知向量a为单位向量，向量b 在a上的投影向量为-2a ，则a ×b =（ ）
1
A．-2 B．-1 C．0 D．-
2
4 f x f x + 2 = - f x x 0,1 f x = ex．若函数 满足 ，且当 时， ，则 f (2026) =（ ）
1
A． B．-1 C． e D．-e
e
5 cos a
π
+ ．已知 ÷ + sina
4
= ，则 cos
2a π-
è 6 5 ÷
= （ ）
è 3
18 16
A 7
7
． B． C． D．-
25 25 25 25
π
6．在VABC 中，内角 A, B,C 3所对的边分别为 a,b,c，若C = ，VABC 的面积为
3 c
2 ，则 sin Asin B =（ ）
4
3
A 1 3 1． 4 B． C． 2 D．4 4
2 2
7．在VABC 中，角 A， B ，C 的对边为a，b c b + c， ，且 cos A = -sin B，则 2 的最小值为（ ）a
A． 4 2 - 5 B． 4 2 - 4 C．3 D． 4 2 - 3
8．如图，在平面四边形 ABCD中， AB ^ BC， BCD = 60°， ADC =150°，BE = 3EC CD 2 3， = ，
3
uuur uuur
BE = 3 ，若点 F 为边 AD 上的动点，则EF × BF 的最小值为（ ）
15 31
A．1 B． C． D．2
16 32
二、多选题
9．已知 z1 ， z2 为复数， i 是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若 z1 = x2 - x + xi 为纯虚数，其中 x R ，则 x = 0或1
B．若 z1 + z2 = 0，则 z1 = z2 = 0
1
C．若复数 z 满足 R ，则 z R
z
D．若 z1 = z2 =1，则 z1 - z2 的最大值为 2
10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、
相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为 y = f x ，降噪声波曲线函数为 y = g x ，已知某噪
声的声波曲线函数 f x = Asin wx +j w > 0, j
π
<
2 ÷的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）è
A． f x = -g x
π
B． f x = 2sin 2x + 6 ÷è
C．曲线 y = g x π kπ的对称轴为 x = + ， k Z6 2
D．将 y = f x 图象向左平移π个单位后得到 y = g x 的图象
A + B
11．若VABC 的内角 A，B，C 2所对的边分别为 a，b，c，且满足b - 2a + 4a sin = 0，则下列说法正确
2
的是（ ）
A．角C 可能是锐角
B． c2 = a2 + 2b2
C．若 c = 2 3 ，则VABC 面积的最大值为 2
uuur uuur 2 sin B + cos BD．若CA在 AB 上的投影向量模长为 b，则 的值为-3
2 sin B - cos B
三、填空题
uuur uuur
12．已知点 A -1,3 , B(6, -2)，且BP = 2PA，则点 P 的坐标为___________________．
13．为了测量某铁塔的高度，检测员在地面 A 处测得塔顶 T 处仰角为30°，从 A 处向正东方向走了 70 米到
地面 B 处，测得塔顶 T 处仰角为60°，若 AOB = 60°，则铁塔 OT 的高度为____________________米.
14．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC 的三个内角均小
于120°时，使得 AOB = BOC = COA =120°的点O即为费马点；当VABC 有一个内角大于或等于120°时，
最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，点
cos A a 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurP 为VABC 的费马点，且满足 = ， a - (b - c)2 = 8，则
cosC 2b c PA × PB + PB × PC + PC × PA
的值为
-
____________________．
四、解答题
r r
15．已知 a =1， b = 2 2 ．
r r 3π ar
r
(1)若 a ，b 的夹角为 ，求 + b ；
4
(2)若 rar - 2b ar^ r r，求 a 与b 的夹角 θ 的余弦值．
uuur uuur
16．已知VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且2S = 3BA × BC （其中S 为VABC 的面积）.
(1)求角 B 的大小；
a + c
(2)若VABC 为锐角三角形，求 的取值范围.
b
ac
17．VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 2bcosC = - 2ccosB．
3
(1)求 c；
(2)若 ACB = 60o ， AB 边上的中线长为 2，点D在 AB 上，且CD为 ACB 的平分线，求CD的长．
r r r r 1
18．已知 a = ( 3 sin x, cos2 x),b = (cos x,1)，函数 f (x) = a ×b - .
2
(1)求函数 f (x) 的最小正周期；
(2)若将函数 f (x)
1
的图象上各点的横坐标变为原来的 倍 w > 0 ，纵坐标不变，所得的图象在区间 0, π 内
w
恰有一个对称中心，求w 的取值范围；
5π
(3)若函数 g(x) = [ f (x)]2 - 2 f (x) a
é
+ 在 ê0,
ù
上有唯一零点，求实数a的取值范围．
12 ú
19．如图，已知VABC 为等边三角形，点G 是VABC 内一点．过点G 的直线 l与线段 AB 交于点D，与线段 AC
uuur uuur uuur uuur
交于点E ．设 AD = l AB， AE = m AC ，且l 0，m 0．
uuur 1 uuur 2 uuur S
(1)若 AG = AB + AC VGAB，求 ；
5 5 SVABC
(2)若点G 是VABC 的重心，设VADE 的周长为 c1，VABC 的周长为 c2．
1 1
（i）求 +l m 的值；
c
（ii）设 t = lm ，记 f t = 1 - t ，求 f tc 的值域．2
参考答案
1．B
【详解】对数函数 y = log2x 为增函数，当 x >1时， log2x > log21 = 0，则 A = {y | y > 0}，
指数函数 y
1 0 1= x 为减函数，当 x > 0时， < x <1，则B = {y | 0 < y < 1}，2 2
所以 AI B = {y | 0 < y <1} .
故选：B
2．C
【详解】由 z + iz = 2 - i，可得 1+ i z = 2 - i，
2 - i 2 - i 1- iz 2 - 2i - i -1 1- 3i 1 3所以 = = = = = - i1+ i 1+ i 1- i 2 2 2 2 ，
1
2
3
2
10
则 z = ÷ + ÷ = .
è 2 è 2 2
故选：C.
3．A
r r r
r r a r
【详解】由题意可得向量b 在a上的投影向量为 r
×b a
× r = -2a
a a ，
r r
a×b
所以 r 2 = - 2，
a
r
又向量a为单位向量，
r r
所以 a ×b = -2 .
故选：A.
4．B
【详解】因为 f x + 2 = - f x 可得 f x 的周期为 4，则 f (2026) = f 2 + 4 506 = - f 0 = -e0 = -1 .
5．C
cos a π sina 4【详解】由 + ÷ + =
3
6 5 ，得 cosa
1
- sina + sina 4= ，
è 2 2 5
3 π 4
即 cosa 1 4+ sina = ，所以 sin a + ÷ = .2 2 5 è 3 5
所以 cos
2a π- = cos é2 a π+ - πù = cos éπ - 2 π ù π 3 ÷ ê ÷ ú ê
a + = -cos 2 a +
3 3 ÷ú 3 ÷è è è è
é é 2
= - 1- 2sin2 a π+ ù = - 1- 2 4
ù 7
ê ÷ú ê ÷ ú = .
è 3 ê è 5 ú 25
6．D
1 π
【详解】由题意得 SVABC = absin C
3
= c2 ，代入C = 得 ab = c2，
2 4 3
由正弦定理得 a = 2R sin A,b = 2R sin B,c = 2R sin C ，其中 R 为VABC 外接圆的半径，
代入 ab = c2，得 sin Asin B = sin2 C = sin2
π 3
= ，故 D 正确.
3 4
7．A
【详解】因为 cos A = -sin B, A 0, π , B 0, π ，故B π+ = A，
2
所以C = π - A - B = π - B - B
π π
- = - 2B ，
2 2
sin C = sin π 2所以 - 2B ÷ = cos 2B = 2cos B -1，
è 2
2
b2 + c2 sin2 B + sin2 C 1- cos2 B + 2cos2 B -1故
2 = 2 = = 4cos
2 B 2+ - 5
a sin A cos2 B cos2 B
2 4cos2 B 2× 2 - 5 = 4 2 - 5（*），cos B
当且仅当 4cos2 B
2
= 22 ，即 cos2 B = 时，等号成立，cos B 2
π
又 A + B < π ，故 2B + < π，解得0
π
< B < ，
2 4
1
所以 < cos2 B <1，所以（*）式可取等号，
2
b2 + c2 4sin2 A 2所以 2 = + 2 - 5的最小值为 4 2 - 5 .a sin A
故选：A
8．B
【详解】以 B 为原点，以 BC , BA所在的直线为 x, y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
CE 1 3依题意得 = BE = , BC = BE CE 4 3+ = , BCD = 60o ，又CD 2 3= ，
3 3 3 3
2 2

△BCD BD 4 3 2 3
4 3 2 3
在 中，由余弦定理得 = +3 ÷÷ 3 ÷÷
- 2 cos 60o = 2，
è è 3 3
所以BD2 + CD2 = BC 2，所以 BDC = 90o，故 DBC = 30o，
VCDE DE ( 3 )2 (2 3 )2 2 3 2 3在 中，由余弦定理得 = + - cos 60o =1，
3 3 3 3
所以CE2 + DE2 = CD2 ，所以 DEC = 90o ，
因为 ADC =150°， BDC = 90o，故 ADB = 60o，
因为 AB ^ BC， DBC = 30o，所以 ABD = 60o，
所以在△ABD 中， ABD = ADB = 60o ，
所以△ABD 为等边三角形，
所以 AB = BD = 2，所以 A(0, 2), D( 3,1), E( 3,0)，
uuur uuur
设F (x, y) ，由题意令 AF = l AD，即 (x, y - 2) = l( 3,-1)，
解得 x = 3l, y = 2 - l ，所以F ( 3l, 2 - l)，
uuur uuur
所以EF × BF = ( 3l - 3,2 - l) × ( 3l, 2 - l) = 4l 2 - 7l + 4 ，
设 f l = 4l 2 - 7l + 4 0 l 2 7，可得其对称轴为l= ，且开口向上，
8
l= 7
uuur uuur 7 2 7 15
所以 时， f (l)取得最小值，即EF × BF 的最小值为 4 ( ) - 7 + 4 = .8 8 8 16
故选：B.
9．BCD
ìx2 2 - x = 0【详解】对于 A，若 z1 = x - x + xi 为纯虚数，则 í ，解得 x =1，故 A 错误.
x 0
对于 B：复数的模 z 0，若 z1 + z2 = 0，则 z1 = z2 = 0 ，所以 z1 = z2 = 0，故 B 正确.
1 a - bi a - bi a b
对于 C，设 z = a + bi， a,b R ，则 = = = - iz a + bi a - bi a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 .
1 b
因为 R ，所以- 2 2 = 0，即b = 0 a 0 ，则 z = a R ，故 C 正确.z a + b
对于 D，若 z1 = z2 =1，则 z1 ， z2 对应复平面内单位圆上的两动点，可得 z1 - z2 的最大值是 2，故 D 正确.
10．ABC
【详解】对选项 A： g(x) = Asin[-(wx +j)] = -Asin(wx +j) = - f (x)，正确；
T 1 2π 11π 5π 5π= = - w
5π
对选项 B： ，故 = 2， f ÷ = Asin 2 +j = 0，2 2 w 12 12 è 12 ÷ è 12
5π
且 x = 在 f (x) 的单调递减区间上， 2
5π j 5π + = +j = 2kπ + π, k Z，
12 12 6
则j = 2kπ
π
+ , k Z |j | π π ， < ，故j = ，
6 2 6
π
又 f (0) Asin
π
= =1，故 A = 2， f (x) = 2sin
2x + 6 ÷，正确；6 è
对选项 C： g(x) = -2sin

2x
π
+ π π π kπ
6 ÷，由
2x + = + kπ,k Z，解得 x = + k Z
è 6 2 6 2
， ，正确；
对选项 D： y = f (x) 图象向左平移π个单位得到：
y f (x π) 2sin é2(x π) π ù 2sin 2x π π= + = ê + + ú = + + 2π

÷ = 2sin

2x +
g(x)，错误.
6 6 6 ÷ è è
故选：ABC
11．BCD
b 2a 4a sin2 A + B 1- cos A + B【详解】对于 A，由 - + = 0可得b - 2a + 4a × = 0，
2 2
因为 cos A + B = cos p - C = -cosC ，代入可得b + 2a cosC b= 0，则 cosC = - < 02a ，
因为0 < C < π，则C 为钝角，故 A 错误；
2 2 2
对于 B，由 cosC
b
= - a + b - c b和余弦定理，可得 = - ，整理 c2 = a2 + 2b2 ，故 B 正确；2a 2ab 2a
b 2 2
对于 C，由上分析， cosC = - ，则 sin C = 1- cos2 C b 4a - b= 1- (- )2 = ，
2a 2a 4a2
2 2 2 2 2
于是，VABC S 1 absin C 1 ab 4a - b 1 (4a - b )b的面积 VABC = =2 2 4a2
= ，
2 4
因为 c = 2 3 ，则 a2 + 2b2 = c2 =12，即 a2 =12 - 2b2代入上式，
S 1可得： VABC = (48
1
- 9b2 )b2 = -9(b2 8- )2 + 64 ，
4 4 3
b2 8故当 = 时， SVABC 取得最大值为 2，即 C 正确；3
uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur CA
对于 D，因CA在 AB 上的投影向量为 uu
×urAB AB | CA，依题意， uu
×urAB | 2= b，
| AB |2 | AB | 2
化简得 | b cos(π A) | 2 2- = b，即 | cos A |= ，由 A 项知，C 为钝角，则 A为锐角，
2 2
2 π
故由 cos A = 可得 A = 4 ，再由
B 项 c2 = a2 + 2b2 和正弦定理，可得 sin2 C = sin2 A + 2sin2 B ，
2
则 sin2 (
3π
- B) 1= + 2sin2 B 2，展开得[ sin B + cos B ]2 1= + 2sin2 B ，即1+ 2sin B cos B =1+ 4sin2 B，4 2 2 2
1
1 sin B + cos B tan B +1 +1
因为 sin B 0，则得 cos B = 2sin B ，故 tan B = ，则 = = 21 = -3，故 D 正确.2 sin B - cos B tan B -1 -1
2
故选：BCD.
4 , 4 12． ÷
è 3 3
uuur uuur
【详解】设点 P(x, y) ，那么BP = (x - 6, y + 2), PA = (-1- x,3 - y)，
ì 4
uuur uuur x - 6 = 2(-1- x) x =ì
3 4 4 由BP = 2PA可得， íy + 2 = 2(3- y) í ，故
P ,
y 4= è 3 3
÷

3
13．10 21
【详解】设铁塔 OT 的高度为 h 米.
在RtVTOA
h
中，OA = o = 3h ，在RtVTOB 中, OB
h 3
tan 30 = o = h
,
tan 60 3
在VAOB 中，由余弦定理， AB2 = OA2 + OB2 - 2 ×OA ×OB cos AOB ，
即4900 = 3h2 1 3+ h2 - 2 3h × h cos60o ，解得h = 10 21 .
3 3
14．-4
cos A a
【详解】 = ，即 2b - c cos A - a cosC = 0，
cosC 2b - c
由正弦定理得 2sin B - sin C cos A - sin AcosC = 0，
即 2sin B cos A - sin C cos A + sin AcosC = 0 ， 2sin B cos A - sin A + C = 0，
2sin B cos A - sin B = 0，
因为B 0, π 1，所以 sin B > 0， 2cos A -1 = 0， cos A = ，
2
因为 A 0, π π，所以 A = ，
3
2π
故VABC 的三个内角均小于 ，又点 P 为VABC 的费马点，
3
APB BPC CPA 2π则 = = = ，
3
由 a2 - (b - c)2 = 8可得 a2 = 8 + b2 + c2 - 2bc，
a2 = b2 2由余弦定理得 + c - 2bc cos A = b2 + c2 - 2bc cos
π
= b2 + c2 - bc ，
3
故8 + b2 + c2 - 2bc = b2 + c2 - bc ，解得bc = 8，
S 1故 VABC = bc sin A = 2 3 ，2
S S S 1 2π又 VABC = VAPB + VBPC + SVCPA = PA × PB + PB × PC + PC × PA sin ，2 3
3
故 PA × PB + PB × PC + PC × PA = 2 3，
4
解得PA × PB + PB × PC + PC × PA = 8，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PA PB PB PC PC PA PA PB cos 2π
uuur uuur uuur uuur
所以 × + × + × = × + PB × PC cos
2π
+ PC 2π× PA cos
3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuurPA PB PB PC PC PA cos 2π 1= × + × + × = 8 - = -4 .3 è 2 ÷
15．(1) 5
(2) 2
8
r r 2a b ar2 2ar
r r r 2 r r2 2
【详解】（1）因为 + = + ×b + b = a + 2 a
r b cos 3π + b ，
4
r r 2 2 a b 1 2 1 2 2 2
2
所以 + = + - 2 ÷÷
+ 2 2 =1- 4 + 8 = 5，
è
r r
所以 a + b = 5
r r
（2）若 a - 2b ar ar r r r r r r^ ，则 - 2b × a = 0 2，即ar2 - 2ar ×b = 0，所以 a - 2 a b cosq = 0 ，
1 2
即12 - 2 1 2 2 cosq = 0，所以 cosq = = ．
4 2 8
π
16．(1) ；
3
(2) 3,2ù .
1 uuur uuur uuur uuur
【详解】（1）因 S = ac sin B，且BA × BC =| BA | × | BC | cos B = ac cos B ，
2
uuur uuur
由2S = 3BA × BC ，可得 ac sin B = 3ca cos B ，所以 tan B = 3 ，
又 B (0, π) ，则B
π
= ；
3
a b c
（2）设VABC 的外接圆半径为 R ，由正弦定理 = =sin A sin B sin C = 2R，
\a = 2R sin A，b = 2R sin B,c = 2R sin C ，
a + c sin A + sin C sin A + sin C 2
= = = (sin A + sin C) 2 é 2π= ù
则 b sin B 3 3 3 ê
sin A + sin( - A)
3 ú
2
2 3
= ( sin A 3+ cos A) = 3sin A + cos A = 2sin(A π+ ) .
3 2 2 6
ì0 A π< <
B π 2π

VABC = C = - A 2
π π
由 为锐角三角形及 ，则 ，则 í ，\ A

2π π
, ，
6 2 ÷ 3 3 0 < - A < è
3 2
π A π 2π< + < 3 π则 ，则 < sin(A + ) 1，故 3 < 2sin(A
π
+ ) 2，
3 6 3 2 6 6
a + c
即 的取值范围是 3,2ù .
b
17．(1) c = 2 3
(2) 6
3
ac
【详解】（1）因为 2bcosC = - 2ccosB，
3
由正弦定理可得 2sinBcosC 3= csinA - 2cosBsinC ，
3
则 2sin B + C 3c= sinA，又 sin B + C = sinA
3
所以 2sinA 3= csinA，
3
因为在VABC 中， sinA > 0，所以 c = 2 3 .
（2）由余弦定理得： c2 = a2 + b2 - 2abcosC = a2 + b2 - ab ，即有a2 + b2 - ab = 12 ①；
uuuur 1 uuur uuur设M 为 AB 的中点，即CM = 2，又因为CM = CA + CB ，2
uuuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur
所以CM = CA + CB + 2CA ×CB ，即 a2 + b2 + ab =16 ②，4
由①，②得：a2 + b2 = 14,ab = 2 ，
所以 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 18，所以 a + b = 3 2 ．
因为CD为 ACB 的平分线，所以 SVACD + SVBCD = SVABC ，
1
则 b ×CD
1
×sin 30° + a ×CD ×sin 30 1° = absin 60°，
2 2 2
CD 3ab 2 3 6即 = = = ．
a + b 3 2 3
18．(1)T = π
é 5 11
(2)
ê
, .
12 12 ÷
é 3
(3) ê0, ÷ U 1 . 4
1 f (x) 3 sin x cos x cos2 x 1 3【详解】（ ） = + - = 2sin x cos x 1+ cos 2x 1+ -
2 2 2 2
3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x π= + = +

÷，所以函数 f (x) T
2π
的最小正周期 = = π .
2 2 è 6 2
π
2 （ ）由题意得变换后的函数解析式为 y = sin 2wx +
è 6 ÷
，

当 x [0, π] 2wx
π
+ é
π , 2wπ π+ ù
6 ê 6 6 ú
，

函数 y = sin

2wx
π
+ ÷在区间[0, π]6 内恰有一个对称中心，è
é π π ù π
即函数 y = sin x 在 ê , 2wπ + ú 恰有一个对称中心，故 π 2wπ + < 2π ， 6 6 6
5 11 é 5 11
解得 w < ，所以w 的取值范围为 , .
12 12 ê12 12 ÷
x é0, 5π ù π é π（3）当 ê ú时， 2x + ê , π
ù
，
12 6 6 ú
π
作出函数 y = sin x é , πù在 ê ú上的图象，如图所示： 6
5π
函数 g(x) = [ f (x)]2 - 2 f (x) + a
é
在 ê0,
ù
ú 上有唯一零点， 12
即方程[ f (x)]2
5π
- 2 f (x) a 0 é0, ù+ = 在 ê ú 上有唯一解， 12
令 t = f x ，方程可化为 t2 - 2t + a = 0，当关于 t 的方程 t2 - 2t + a = 0只有一个根时，
若方程[ f (x)]2
é
- 2 f (x) + a = 0在 ê0,
5π ù
上有唯一解，
12 ú
1
则关于 t 的方程 t2
é
- 2t + a = 0的根 t0 ê0, ÷∪ 1 ， 2
令D = -2 2 - 4a = 0，解得 a = 1，此时方程 t 2 - 2t +1 = 0的根为 t0 =1，符合题意；
当关于 t
é 5π ù
的方程 t2 - 2t + a = 0有两个根时，若方程[ f (x)]2 - 2 f (x) + a = 0在 ê0, ú 上有唯一解， 12
é 1
则关于 t 的方程 t2 - 2t + a = 0的两个根 t1 ê0, ÷∪ 1 ， t2 0,1 ， 2
当 t1 =1
é 1
时，方程只有一个根，不符合题意，则 t1 ê0, ÷， t2 0,1 ， 2
因为函数 y = t2 - 2t + a的对称轴为 t =1，所以方程 t2 - 2t + a = 0的两个根，
é 1
一个小于1，一个大于1，所以若 t1 ê0, 2 ÷，则
t2 0,1 恒成立，

é 1
所以仅需满足 t1 ê0, 2 ÷即可，
ì 02 - 2 0 + a 0
2
1 1
所以 í ÷ - 2 + a < 0
3
，解得0 a < .
è 2 2 4

Δ = 4 - 4a > 0
é 3
综上所述，a的取值范围为 ê0, 4 ÷
U 1 .

S 2
19．(1) VGAB =SVABC 5
1 1 é ù
(2)（i） + = 3
2 , 3
l m ；（ii） ê ú 9 6
【详解】（1）
uuur uuur uuur m uuurAF AB 2m
uuur
如图所示，连接 AG 并延长，交BC 于点F ，设 AF = m AG ，则 = + AC ，5 5
uuur uuur uuur
又B, F ,C
m 2m
三点共线，所以 + =1 m
5 1 2
= ，即 AF = AB + AC ，
5 5 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur S BF 2
则BF = AF - AB
2
= AC 2- AB 2= BC VFAB， = = ，
3 3 3 SVABC BC 3
uuur
AF 5
uuur S
= AG VGAB
AG 3 S
= = VGAB
S
= VFAB
S
VGAB
2 3 2
又 ，所以 = =
3 SVFAB AF 5
，所以 S .VABC SVABC SVFAB 3 5 5
（2）（i）
如图所示，连接 AG 并延长，交BC 于点F ，因为G 为重心，所以F 为BC 中点，
uuur 1 uuur uuur
uuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
所以 AF = AB + AC ，所以 AG = AF = AB + AC = AD + AE = AD + AE2 3 3 2 3 ÷ 3 3 ，è l m l m
1 1 1 1
又D,G, E 三点共线，所以 + =13l 3m ，则
+ = 3
l m ．
（ii）设VABC 的边长为1，则 AD = l ， AE = m ，（l, m 0,1 ）
在VADE 中，由余弦定理得DE2 = AD2 + AE2 - 2AD AE cos60° = l 2 + m 2 - lm ，
c AD + AE + DE l + m + l 2 + m 2 - lm
所以DE = l 2 + m 2 - lm ，所以 1 = = ，
c2 3 3
1 1
因为 + = 3 l + m = 3lm ，l 2 + m 2 = (l + m)2 - 2lm = 9(lm)2 - 2lml m ，
c l + m + l 2 + m 2 - lm 3lm + 9(lm)2 - 3lm
所以 1 = = ，
c2 3 3
2 2
因为 t = lm f t 3t + 9t - 3t t 1 1，所以 = - t = t 2 - = t -
3 3 6 ÷
- ，
è 36
1 1 1 1
因为0 < l 1，0 < m 1，所以 1， 1，又 = 3- 2，则有1
1
2
l m l m
，
l
2
λ lm
l 1 1
= = = 2
因为 μ = ，所以 3l -1 3 1- 1 3 9 ，3λ -1 l l 2 - - ÷ +è l 2 4
2
1 1 2 2 - 1 3- 9 9
4 1 é 4 1 ù
因为 ， ÷ + ，所以 l m 的最小值为 ，最大值为 ，所以 t = lm l ê
, ú ，
è l 2 4 4 9 2 9 2
1 2 1
t - ÷ - 单调递增，
è 6 36
4 1 2 t 1 1则 - - ，
81 è 6 ÷ 36 12
é ù é ù
所以 f t 2 3 ê , ú ，即 f t
2
的值域为 ê ,
3
．
9 6 9 6
ú

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