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北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
2 探索三角形相似的条件
第1课时 利用两角判定三角形相似
复习导入
相似多边形的定义是什么？
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。
相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.你能根据相似多边形的定义得到相似三角形的定义吗？
3.相似三角形与相似多边形有什么关系？
相似三角形是相似多边形中的一种图形.
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？
类比全等三角形
探究新知
探究1
∽
△ABC
△A'B'C'
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
需要6个条件吗？
=
=
=
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
需要6个条件吗？
角相等
边成比例
2个
2个
+
4个
至少需要几个条件呢？
分类讨论
=
=
=
∽
△ABC
△A'B'C'
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
需要6个条件吗？
角相等
2个
至少需要几个条件呢？
分类讨论
∽
△ABC
△A'B'C'
(1) 一个条件
①一个角相等
②两边成比例
只有一个角相等，
两个三角形相似吗？
只有两边成比例，
两个三角形相似吗？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
反例：
反例：
想一想
=
(2) 两个条件
有哪几种情况呢？
∠A=∠A '
∠B=∠B '
∠C=∠C '
角相等
边成比例
(2) 两个条件
①
一个角相等
一个角相等
＋
＝
两角分别相等
②
一个角相等
两边成比例
＋
＝
两边成比例且两角相等
③
两边成比例
两边成比例
＋
＝
三边成比例
a.两边成比例且夹角相等
b.两边成比例且其中一边的对角相等
=
=
=
(2) 两个条件
①
一个角相等
＋
＝
两角分别相等
一个角相等
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，
使得∠A＝∠A′＝∠α，∠B＝∠B′＝∠β；
那么三边的比= = 相等吗？
这样的两个三角形相似吗？
做一做
判定定理 1
定理 两角分别相等的两个三角形相似
在△ABC和△A'B'C'中，
如果∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'，
那么△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
数学语言：
例1.如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
平行
角相等
A
B
C
D
E
△相似
应用举例
解：∵ DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形相似）.
∴
∴ BC
A
B
C
D
E
例2. 如图，△ABC的高AD，BE相交于点F，求证 =
方法指导：要证明 = ，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个对应的三角形相似可以证明这个结论。
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°。
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴ = 。
随堂练习
1.如图，每组中的两个三角形是否相似 为什么
解：（1）△AEF △ABC，理由：∠EAF=∠BAC， = ；
1.如图，每组中的两个三角形是否相似 为什么
解： （2）不相似，理由：虽然有一组角都是35°，但夹这个角的两边对应边不成比例。
2．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。 ( )
(2)所有的直角三角形都相似。 ( )
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似。 ( )
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似。 ( )
√
×
×
√
3．如图，请你添加一个条件：_________(添加一个即可)，使得△ABC∽△ADE。
DE∥BC
4．已知点D，E分别在线段AB，AC或它们所在的直线上，且∠1＝∠2，分别指出图中的相似三角形。
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)△ABC∽△AED；
(2)△ABC∽△ACD；
(3)△ABC∽△ADE；
(4)△ABC∽△AED。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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