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北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
3 相似三角形判定定理的证明
第2课时　
相似三角形判定定理的证明
复习导入
判定两个三角形相似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
A
B
C
A′
B′
C′
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
探究新知
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C， =
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
则=
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
∴=
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
∴=
∴ ==
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A′
B′
C′
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
∵∠A =∠A′ ，=
∴△ABC∽△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠B＝∠ADE，
∠C＝∠AED，
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， =
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
=
∵， ，
=
=
而∠A＝∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
∵= =
∴△ABC∽△A′B′C′
你要如何
证明呢？
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中， = =
∵，AD = A′B′，AE＝A′C′ ，
∴=
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴=
又=，
∴=
∴=
∴，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
总结
综上，我们证明了三角形相似的三个判定定理。
定理 两角分别相等的两个三角形相似。
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理 三边成比例的两个三角形相似。
应用举例
【例1】如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F。求证：△ABF∽△EAD。
【方法指导】根据两角对应相等的两个三角形相似可解。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED。
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°。
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD。
【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。
【方法指导】由已知条件∠ABD＝∠CBE，所以∠DBE＝∠ABC，要证得△DBE∽△ABC，有一对角相等，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可得△CBE∽△ABD，即得成比例的线段，则可证明。
【例2】如图，D为△ABC内一点，连接BD，AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE。求证：△DBE∽△ABC。
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，
∴△CBE∽△ABD，
∴ =即＝ 。
∵∠CBE＝∠ABD，∴∠DBE＝∠ABC。
又∵ ＝ ，∴△DBE∽△ABC。
随堂练习
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 ( )
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上但有限 D．有无数个
B
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，
则BC的长为_____。
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD。求证：△ABC∽△BDC。
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD。∴∠ABD＝∠BAC＝40°。
∵∠ABC＝80°，∴∠DBC＝40°。
∴∠DBC＝∠BAC。
∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC。
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE＝BF＝CD，△ABC与△DEF相似吗？请证明。
解：△ABC∽△DEF。
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°。
∵AE＝CD＝BF，∴AF＝BD＝CE。
∴△EAF≌△FBD≌△DCE(SAS)。
∴EF＝DF＝DE。即△DEF是等边三角形。
又∵△ABC是等边三角形，∴△ABC∽△DEF。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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