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北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
4 相似三角形的性质
第1课时
相似三角形中的对应线段之比
情景导入
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C′D′分别是它们的立柱。
问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系。
问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
问题4：据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？
探究新知
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
A
B
C
A′
B′
C′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°
△AHB∽∠A′H′B′
证明
∴ =
同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，
∴∠BAT=∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
∴△ABT∽△A′B′T′
∴ =
同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
∴ =
∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点
∴BD = = B′D′ =
∴ =
∵∠B=∠B′
∴△ABD∽△A′B′D′
∴ =
同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上.
（1）若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则等于多少？
操作思考
证明（1） ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∴△ABD∽△A′B′D′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
∴ =k
（2）若BE=BC， B′E′=B′C′，则等于多少？
（3）你能提出更一般性的问题吗？
证明（2） ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， =
∵BE= BC， B′E′= B′C′
∴ =
∴△ABE∽△A′B′E′
∴ = = k
（2）若BE=BC， B′E′=B′C′，则等于多少？
相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。
（3）你能提出更一般性的问题吗？
总结
(1)相似三角形对应边的比等于相似比；
(2)相似三角形的各对应角相等，各对应边成比例；
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
应用举例
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？
【方法指导】相似三角形的判定及相似三角形的性质。
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ = （相似三角形对应高的比等于相似比），
即 =
当SR=BC时，得 = .解得DE= .
当SR=BC时，得 = .解得DE= .
【例2】如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。
(1)则图中有几对相似三角形？
(2)若AD＝9 cm，CD＝6 cm，求BD的长。
(3)若AB＝25 cm，BC＝15 cm，求BD的长。
【方法指导】相似三角形的判定和性质的综合应用。
解：(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°。
在△ADC和△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB。
∴图中有三对相似三角形。
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，即＝，
∴BD＝4 cm。
(3)∵△CBD∽△ABC，
∴ ＝，即＝，BD＝ ＝9(cm)。
随堂练习
1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， ＝ ，BD=4cm，求B′D′的长.
解＝，＝
∴ ＝，
＝
＝
2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长？
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
解
＝，
＝
所以较长的中线是7.5cm
3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′对应中线的比是______。
8∶3
4．如图，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于点K，BC＝48，EF＝10，DE＝18。求AK的长。
解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，GF＝DE＝18，KH＝FE＝10，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ＝，即＝ ，
∴AK＝6。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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