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(共34张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
2 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
情景导入
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
探究新知
探究
A
B
C
L
K
D
E
G
H
F
一个五角星如图所示
（1）从图中找出相等的角、相等的线段.
A
B
C
L
K
D
E
G
H
F
一个五角星如图所示
（2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形.
如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC
小亮认为，= .你同意他的看法吗？说说你的理由.
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果 = ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比.
A
B
C
A
A
C
例 计算黄金比.
解：由= ，得AC 2＝AB·BC
设AB＝1，AC＝x，
∴ x2＝1×（1－x）
即x2＋x－1＝0
则BC＝1－x .
解这个方程，得x，
x
（不合题意，舍去）
所以，黄金比 ≈ 0.618
较长线段
原线段
＝
较短线段
较长线段
比值称为黄金比，近似值为0.618
线段AB被点C黄金分割
黄金分割点
A
A
C
黄金比是一个比值﹐它没有单位!
归纳
=
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.
=
=
A
B
C
D
并且AD＝BC，AC＝BD.
尝试交流
A
B
D
C
E
F
图1
图2
如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD.
A
B
D
C
E
F
图1
图2
那么我们可以惊奇地发现 点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗
=
A
B
D
C
E
F
图2
由 =
，可得 =
因此点E是AB的黄金分割点.
也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的.
A
B
C
L
K
D
E
G
H
F
黄金分割也被应用于各种艺术品创作当中
绘画：《蒙娜丽莎》
雕像：《维纳斯》
苹果logo
公认最完美的人体比例也和黄金分割挂钩
自然界中的黄金分割
生活中的黄金分割
黄金分割点的作法：
方法一：
如图，已知线段AB，
（1）过点B作BD⊥AB，使AB＝2BD；
（2）连接AD，在DA上截取DE＝DB；
（3）在AB上截取AC＝AE；
点C即为所求的黄金分割点.
A
B
D
E
C
拓展
黄金分割点的作法：
方法二：
如图，已知线段AB，
（1）以线段AB为边作正方形ABCD；
（2）取AD的中点E，连接EB；
（3）延长DA至点F，使EF＝EB；
（4）以AF为边作正方形AFGH；
A
B
D
C
E
点H即为所求的黄金分割点.
F
G
H
应用举例
【例2】如何找到一条线段的黄金分割点？
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
(2)连接DA，在DA上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C就是线段AB的黄金分割点。
提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？
方法指导：设AB＝2，分别求出AC和BC的长，并计算= 的值。
解：设AB＝2，则BD＝DE＝ AB＝1。
∴AD＝＝，
∴AC＝AE＝AD－DE＝ －1，
∴BC＝AB－AC＝2－(－1)＝3－ ，
∴AC2＝(－1)2＝6－2 ，
AB·BC＝2×(3－ )＝6－2 。
∴AC2＝AB·BC，即= 。
∴点C是线段AB的黄金分割点， = ＝ 。
【例3】在人体下半部与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感。小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
【方法指导】想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度。
解：设肚脐到脚底的距离为x m，
根据题意，得＝0.60，解得x＝0.96。
设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美，
则＝0.618。
解得y≈0.075，而0.075 m＝7.5 cm。
故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美。
课堂小结
较长线段
原线段
＝
较短线段
较长线段
比值称为黄金比，近似值为0.618
线段AB被点C黄金分割
黄金分割点
A
A
C
=
随堂练习
1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果= ，那么下列说法错误的是 ( )
A．线段AB被点C黄金分割
B．点C叫作AB的黄金分割点
C．AC与AB的比叫作黄金比
D．AC＝BC
D
2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为10 cm，则它的宽约为
( )
A．6.18 cm B．6.80 cm
C．16.18 cm D．3.82 cm
A
3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝________。
135°
4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。
(1)求线段AH，BH的长；
(2)求证：AH2＝AB·BH；
(3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
解：(1)∵E为AD的中点，
∴AE＝1。
在Rt△AEB中，由勾股定理，
得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22＝5。
∴BE＝，
∴EF＝BE＝。
∴AF＝－1。
∵四边形AFGH是正方形，
∴AH＝AF＝－1，
∴BH＝AB－AH＝2－(－1)＝3－。
4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。
(2)求证：AH2＝AB·BH；
解：(2)AH2＝(－1)2＝6－2，
AB·BH＝2×(3－)＝6－2，
∴AH2＝AB·BH。
(3)根据(2)中的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
4．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB。以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示。
解：(3)H是线段AB的黄金分割点。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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