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北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
5 图形的位似
第2课时
平面直角坐标系中的位似变化
情景导入
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。
（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？如果位似，指出位似中心和相似比。
O
y
x
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-6
-2
-4
-6
A
B
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到O′（ ），A′（ ），B′（ ）
0,0
A′
B′
6,0
4,6
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，位似中心是点O，相似比是2∶1.
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）.
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到三个点O′，A′，B′，请你在坐标系中找到这三个点。
（2）以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？为什么？如果位似，指出位似中心和相似比。
O
y
x
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-6
-2
-4
-6
A
B
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到O′（ ），A′（ ），B′（ ）
0,0
A′
B′
-6,0
-4,-6
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，位似中心是点O，相似比是2.
探究新知
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为A(4,2)，B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).
（1）将点，A，B，C， D的横、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
A′(2,1)
B′(4,3)
C′(3,5)
D′(-1,3)
（2）将点A，B，C ， D的横、纵坐标都乘－呢？
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
A′(2,1)
B′(4,3)
C′(3,5)
D′(-1,3)
A′′(-2,-1)
B′′(-4,-3)
C′′(-3,-5)
D′′(1,-3)
（3）你还能提出更一般性的问题吗
例：将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘k(k ≠ 0)，得到的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，位似中心和相似比分别是什么？
归纳
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标，纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 .
例 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3.
x
2
4
6
-2
-4
-6
A
B
C
O
y
2
4
6
-2
-4
-6
应用举例
x
2
4
6
-2
-4
-6
A
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘分别是O(0,0)，A′(4,0)，B′(2,4)，C′(-2,2)；
在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，
A′
B′
C′
O
y
2
4
6
-2
-4
-6
用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形.
x
4
6
-6
A
B
C
A′
B′
C′
y
2
4
6
四边形OABC的顶点坐标都乘－分别是O(0,0)，A(4,0)，B′′(2,4)，C′′(-2,2)；
在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′，
用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形.
-4
-6
A′
B′
C′
2
-2
O
-2
-4
【例2】如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD，作出一个四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点。
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
方法指导：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可。
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变换规律，分别取A′(2，4)，B′(4，8)，C′(8，10)，D′(6，2)，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形。
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
8
10
A
B
C
D
(A′)
B′
C′
D′
随堂练习
1.如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(3,0)，B(4,4)，C(-2,3).画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2:1.
y
4
6
-2
-4
-8
-2
-6
-4
-6
8
-8
B
C
O
x
2
2
4
6
8
A
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘2 分别是O(0,0)，A′(6,0)，B′(8,8)，C′(-4,6)；在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形.
B′
C′
y
2
4
6
-4
-6
8
-8
x
2
4
6
-2
-4
-8
-6
8
A
A′
O
-2
y
B
C
四边形OABC的顶点坐标都乘-2分别是O(0,0)，A′(-6,0)，B′(-8,-8)，C′(4,-6)；在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′，用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形.
B′
C′
B′′
C′′
2
4
6
-2
-4
-6
8
-8
x
2
4
6
-2
-4
-8
-6
8
A
A′
A′′
O
2．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(4，4)，C(－2，3)，四边形O1A1B1C1是以点O为位似中心且与四边形OABC的相似比是2∶1，点O1，A1，B1，C1的坐标分别是_____________________________________________
_____________________________。
O1(0，0)，A1(6，0)或(－6，0)，B1(8，8)或(－8，－8)，C1(－4，6)或(4，－6)
3．△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，且两个三角形在位似中心的同侧，则△DEF各顶点的坐标分别为________________________________。
D(1，1)，E(2，1)，F(3，2)
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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