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第5章 二次函数
1 认识二次函数
九年级数学BS上
导入新课
在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫作抛物线。
如何用数学方法研究它、描述它呢？
探究新知
某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树能获得的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
探究一
二次函数的定义
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
变 量：
自变量：
橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少、橙子的个数、橙子的质量等；
橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：
橙子的个数、橙子的质量等．
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树
平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000。
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式。
探究二
解：y＝100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100。
两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
解：设其中一个数是x，则另一个数为20-x.
探究三
∴y=x(20-x)
化简得：y=-x2+20x
观察由上述问题得到的关系式:
y=-5x +100x+60000，y=20x +40x十20，y=-x +20x，它们有什么共同特征
想一想
①这些式子都是最高次数为2的函数；
你能类比一次函数和反比例函数，给出二次函数的定义吗？
②表达式右边都是关于x的整式．
形如这样的函数叫做二次函数.
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
你能举出一些二次函数的例子吗？
例如：①正方形面积A与边长a的关系A=a2；
②圆的面积S与半径r的关系S=πr2；
③自由落体运动物体下落的高度h与下落时间t的关系h=gt2等也是二次函数.
二次函数的一般形式：
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)称为二次函数的一般形式.
其中：a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
注 意
a,b,c为常数，且a≠ 0（b,c可以为0）;
等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：
二次函数的判断方法
（1）解析式是关于自变量的整式；
除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 等.
（2）自变量的最高次数是2；
（3）化简后二次项系数不为0.
(1)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)中,自变量x可以取哪些值？
二次函数自变量的取值范围
议一议
二次函数的自变量的取值范围是所有实数.
(2)上述实际问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
∵x是增种橙子树的棵数，
①y==-5x +100x+60000；
∴0∴ ，
③y=-x2+20x.
③∵x是两数和是20的其中的一个数，
∵x是人民币一年定期储蓄的年利率，
②y=100x +200x+100;
∴x>0.
∴0∴由题意得 ，
二次函数自变量的取值范围：
归纳总结
二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)中,自变量x的取值范围是全体实数；但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义（如长度为正、人数为整数等）限定。
思 考
(1)某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么 x能取哪些值
解：y=20(1+x)2
x 的取值范围：x>0
(2)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm 吗 可能是75cm 吗 还可能是多少 如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm ，那么y与x之间的关系式是什么 x能取哪些值
解：面积：y=x(20 x)= x +20x
得 0边长为正数：
x>0
20 x>0
面积可能是 100cm ，可能是 75cm ；
令 x(20 x)=100
x +20x 100=0
x 20x+100=0
解得：x=10
答：可能是 100cm
面积可以是 0～100 之间任意正数。
令 x(20 x)=75
x 20x+75=0
解得 x1 =5, x2 =15，都在 0答：可能是 75cm
【例1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝2(x－1)2＋1；　(2)y＝；　
(3)s＝1－2t2；　 (4)y＝－5x2。
应用举例
解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是。
【例2】已知函数y＝(m＋2)xm2－2是关于x的二次函数，求m的值。
解：∵y是x的二次函数，
∴m2－2＝2，且m＋2≠0，
∴m＝2。
B
随堂练习
1．下列函数中，是的二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．＝3x＋1 D．
2.函数 是二次函数的条件是( )
A . 是常数,且
B . 是常数,且
C. 是常数,且
D 为任何实数
C
3.下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数
y=-+3x , y=x -x +25,y=2 +2x, s=1+t+5t 。
解：y=-+3x , s=1+t+5t 是二次函数
4.写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算
当a=1，，2时三角形的面积。
解：等边三角形边长为 a，高 h= a。
面积公式：
S= ×a×h= ×a× a= a
当 a=1 时：
当 a= 时：
S= ×1 =
S= ×( ) = ×3=
当 a=2 时：
S= ×2 = ×4=
课堂小结
二次函数
定 义
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
(是常数）.
特殊形式
(是常数）
完成对应课时练习
完成作业
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