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第5章 二次函数
2　二次函数的图象
九年级数学BS上
第2课时 二次函数y＝ax 和y＝ax ＋c的图象与性质
导入新课
许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的表达式为y＝－ x2＋10，你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？
探究新知
解（1）列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝2x2 18 8 2 0 2 8 18
y＝x2 2 0 2
在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝x2的图象，并进行比较。
探 究1
y =x2
（2）描点；
（3）连线.
y=2x2
y＝x2
函数y=x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
思 考
y =x2
y=2x2
y＝x2
归纳总结
开口方向 对称轴 顶点坐标 开口大小
y＝x2 向上 y轴 (0，0) 一般
y＝2x2 向上 y轴 (0，0) 较小
y＝x2 向上 y轴 (0，0) 较大
二次函数y＝ax2中，|a|决定了图象在同一平面直角坐标系中的开口大小：|a|越小，图象的开口就越大。|a|越大，图象的开口就越小。
探 究2 在上述坐标系中接着画出y＝－x2，y＝－2x2的图象。
解（1）列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝－x2 －9 －4 －1 0 －1 －4 －9
y＝－2x2 －18 －8 －2 0 －2 －8 －18
（2）描点；
（3）连线.
y =x2
y=2x2
y＝－x2
y＝－2x2
y＝x2
归纳总结
二次函数y＝ax2中的a的符号决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上，a＜0，开口向下；
二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对称．
探 究3 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象，并进行比较。
解（1）列表：
x －2 －1 0 1 2
y＝2x2 8 2 0 2 8
y＝2x2＋1 9 3 1 3 9
y＝2x2－1 7 1 －1 1 7
（2）描点；
（3）连线.
y=2x2
y=2x2＋1
y=2x2－1
y=2x2
y=2x2＋1
抛物线y = 2x2+1 ， y = 2x2 -1与抛物线y=2x2有什么关系？
思 考
二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
将二次函数y=2x2＋1的图象向下平移2个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
y=2x2
y=2x2＋1
y=2x2－1
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2x2 向上 y轴 (0，0)
y＝2x2＋1 向上 y轴 (0，1)
y＝2x2－1 向上 y轴 (0，－1)
归纳总结
y＝ax2＋c与y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点坐标不同。
y＝ax2＋c的图象可以看成y＝ax2的图象整体上下移动得到的，当c＞0时，向上移动|c|个单位长度，当c＜0时，向下移动|c|个单位长度。
应用举例
【例1】二次函数：①y＝－2x2，②y＝2x2，③y＝x2，④y＝－x2的图象都是抛物线，开口向上的是_____，开口大小相同的是___________，关于x轴对称的是_____________。(填序号)
②③
①②与③④
①②与③④
【方法指导】
对于二次函数y＝ax2，a＞0，则开口向上；|a|相等，则开口大小相同；a的符号相反，则关于x轴对称。
【方法指导】(1)把A(－1，m)代入y＝－2x＋3上，可求出m；把A(－1，m)代入y＝ax2上，可求出a；(2)(3)根据二次函数的性质可求。
【例2】已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝ax2相交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，m).
(1)求a，m的值；
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而减小？
解：(1)将点A(－1，m)代入y＝－2x＋3，
得m＝5；
把A(－1，5)代入y＝ax2，得a＝5；
(2)y＝5x2；对称轴为y轴；顶点坐标为(0，0)；
(3)当x＜0时，y随x增大而减小．
随堂练习
1．已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线y＝ax2＋c(a＞0)上，则 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
C
2．(1)函数y＝ x2＋3的图象的顶点坐标是_______，开口方向是_______；最____值是____；
(2)函数y＝－2x2＋3的图象可由函数y＝－2x2的图象向____平移____个单位长度得到；
(3)把函数y＝－3x2的图象向下平移2个单位长度可得到函数______________的图象．
(0，3)
向上
小
3
上
3
y＝－3x2－2
3. 二次函数y=-2x - 的图象与二次函数y=-2x + 的图象有什么关系？
解：二次函数 y=-2x - 与二次函数 y=-2x + 的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.
将二次函数 y=-2x - 的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数 y=-2x + 的图象.
4.二次函数 y = x2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和不同
解:二次函数y =x2的图象与二次函数y=3x2的图象的相同点:图象都是抛物线,抛物线的开口都向上,顶点坐标都是(0,0),都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线 x=0).
不同点:两者的开口大小不同,函数y =3x2的图象在函数y=x2的图象的内侧.
5.二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数 y=-5x2 +3的图象呢
解:二次函数y=5x2-3的图象是由二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度得到的,这两个图象都是抛物线，并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.
二次函数y=5x2-3的图象的开口向上,对称轴是y轴(或直线x =0),顶点坐标是(0,-3);
二次函数y= 5x2的图象开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,0).
二次函数y=-5x2-2的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向下平移2个单位长度得到.
二次函数y=-5x2+3的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向上平移3个单位长度得到.
这两个图象都是抛物线,并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.
二次函数y=-5x2-2的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,-2);
二次函数y=-5x2+3的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x =0),顶点坐标是(0，3);
将二次函数y=-5x2-2的图象向上平移5个单位长度，就得到二次函数y=-5x2+3的图象.
课堂小结
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c正向上；
c负向下.
完成对应课时练习
完成作业
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