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第5章 二次函数
3　二次函数的应用
九年级数学BS上
第2课时 几何图形面积问题
导入新课
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌，大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多？
现在一个广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计出令公司满意的广告牌？
探究新知
探究1 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。
(1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
30 m
40 m
F
C
D
B
E
A
解:(1)由图易证△FDC∽△FAE
∴
∴
∴
30 m
40 m
F
C
D
B
E
A
∵<0，
结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300 m2，是在AB＝20 m时取得的．
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（2）由题意可得
∴
∴当x=0时，y最大，y最大＝300.
【探究2】如果我们将这个问题再进行变式：
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上。
(1)设矩形的一边BC＝x m，
那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
30 m
40 m
C
D
B
M
N
O
A
解：过点O作OH⊥MN，易得△OAD∽△OMN，MN＝50 m，OH＝24 m，　　　　　　　　
30 m
40 m
C
D
B
M
N
O
A
H
∴＝，　　　　　　　　　　　
化简得AB＝24－x。
∴y＝x(24－x)＝－(x－25)2＋300。　
∵－＜0，
∴当x＝25时，y最大，y最大＝300。
结论：当有一边在直角三角形的斜边上时，矩形的最大面积是300 m2，是在BC＝25 m时取得的。　　　　
30 m
40 m
C
D
B
M
N
O
A
H
应用举例
【例1】某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多 此时，窗户的面积是多少 (结果精确到0.01m2)
正确识图，所有黑线之和应为7x＋4y＋πx＝15，可求y与x的关系式是y＝。
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝。
∵0＜x＜15，且0＜＜15，
∴0＜x＜1.48。
设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝－x2＋x＝－(x－)2＋。
易得当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02。
因此，当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为4.02 m2。
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为____。
2
【解析】四边形EFGH的面积可以用矩形面积减去4个三角形的面积来求。设四边形EFGH的面积为S，则S＝S矩形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CGF－S△DGH＝3×1－(1－x)(3－x)－x2－(1－x)(3－x)－x2＝－2(x－1)2＋2。∵－2＜0，∴当x＝1时，S有最大值，为2。
随堂练习
1. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？你是怎么得到的？
解：∵AD=xm，DC∥AB，
∴ ，
∴DC=AB= 40- x ，
30 m
40 m
F
C
D
B
E
A
∴y=AD·AB=x （ 40- x ）
(0＜x＜30)
∴当x=15时， y有最大值300.
= - （x-15） +300
30 m
40 m
F
C
D
B
E
A
2. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？
A
B
C
D
解：设AB=x，则AD= ，
∴S=·x=- +3x=-(x-1) +
∴当x=1时，S有最大值 .
即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.
3. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2.
（1）写出 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；
解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
由题意0＜80－2x≤50
∴15≤ x＜40
A
B
C
D
x
（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
=-2(x-20)2+800
∴当x=20时， S 有最大值800.
即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.
（2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大 最大面积是多少
A
B
C
D
x
课堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
完成对应课时练习
完成作业
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