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第5章 二次函数
3　二次函数的应用
九年级数学BS上
第1课时 确定二次函数的表达式
导入新课
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现建立如图所示的坐标系，请求出这条抛物线的表达式．
解析式法、列表法和图象法是我们学过的常用的表述函数的方法。如何确定函数的表达式呢？
探究新知
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
探 究1
【方法指导】读图获得信息：抛物线的顶点坐标为(4，3)，经过点(10，0)，可以设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋3，代入(10，0)列出一元一次方程，求得a的值，从而得到二次函数的表达式。
解得a= －
解:设抛物线的表达式为y=a(x － 4) +3,
∴y与x之间的关系式为y=-（x － 4） +3
代入(10，0)，得0=a×(10 － 4) +3,
【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点
(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式。
探 究2
确定一个二次函数的表达式需要哪些条件？带着这个问题解决以下两个例题。
解：将(2，3)和(－1，－3)分别代入y＝ax2＋c中，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－5。
解得
a=2
c= － 5
3=4a+c
－ 3=a+c
得
【例2】已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(2，3)，求这个二次函数的表达式。
解：∵顶点坐标为(2，3)，
∴设所求二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋3。
把(0，1)代入上式，得a×(0－2)2＋3＝1，
解得a＝－。
∴这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋3。
探 究
如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球
员所投球的运动路线是抛物
线y=ax +c(-3≤x≤1)。求这条抛物线
的表达式和球运动的最大高度。
解:由题意可知，抛物线经过点A(-3，2.25)，B(1，3.05)。
2.25=9a+c
3.05=a+c
得
解这个方程组，得
a=-0.1
c= 3.15
将这两个点的坐标分别代人表达式y=ax +c，
所以，这条抛物线的表达式为y=-0.1x +3.15。
当x=0时，y取得最大值，y最大=3.15。
因此，球运动的最大高度是3.15m。
已知两点确定二次函数的表达式需要满足以下两点之一：
归纳总结
①已知两个点的坐标，且其中一个是顶点；
②已知两个点的坐标，且a，b，c中有一个是已知数。
应用举例
【分析】已知三点坐标可设表达式为y＝ax2＋bx＋c。
【例1】已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式．
∴这个二次函数的表达式y＝2x2－2x＋1.
解：由y＝ax2＋bx＋c过三点：(0，1)，(2，5)，(－2，
13)，得
c=1
4a+2b+c=5
4a-2b+c=13
解得
a=2
b=-2
c=1
【例2】已知二次函数经过(1，4)，(－1，0)和(3，0)三点，求二次函数的表达式。
【分析】已知图象与x轴的两个交点的坐标，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一点坐标即可。
解：∵二次函数经过点(－1，0)和(3，0)，
∴可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)。
把(1，4)代入，得4＝a×(1＋1)×(1－3)，
解得a＝－1。
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3。
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3。
归纳总结
已知三点坐标求二次函数的表达式，选用一般式：y＝ax2＋bx＋c；
01
已知顶点坐标、对称轴和最值求二次函数的表达式，选用顶点式：y＝a(x－h)2＋k；
02
已知与x轴的交点坐标求二次函数的表达式，选用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)。
03
随堂练习
1. 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,1)，且经过点(1,-3)，求这个二次函数的表达式.
解：根据题意，设二次函数的表达式为y=a(x－h)2+k
∵顶点坐标为(-1,1),
∴h=-1, k=1.
把点(1,-3)代入y=a(x＋1)2+1得,
a(1＋1)2+1=-3,
∴a=-1.
∴ 二次函数表达式为y= -(x＋1)2+1.
2. （1）已知二次函数y=x +bx+c的图象经过（1，1）与（2，3）两点，求这个二次函数的表达式；
解：由题意把（1，1）与（2，3）y=x2＋bx+c得,
1=1+b+c，
3=4+2b+c.
解得
b=-1，
c=1.
∴二次函数表达式为y=x2－x+1.
2. （2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同.
此题答案不唯一
例如：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过(0, 1)和
(3, 7)两点，求这个二次函数的表达式.
再如：已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点坐标为 （），且图象经过点(2, 3)，求这个二次函数的表达式.
3. 已知二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，且经过点(－1，0)，求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x-2) +3，
∵其图象过点(-1,0)
∴a×(-1-2) +3=0,
∴ a=-，
∴ 这个函数的表达式为y=-x+
∴ 9a+3=0,
∴y=-+3=-x+
4．已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为－2和1，且经过点（0，3），求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-1)，
∴-2a=3，
∴a=，
∴y=（x+2）（x-1）=x -x+3，
∴这个二次函数的表达式为y=x -x+3。
∵其图象过点(0.3)
完成对应课时练习
完成作业
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