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第5章 二次函数
2　二次函数的图象
九年级数学BS上
第4课时 二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与性质
导入新课
你能把y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？
y=2（x 1）2+3
你能画出y＝2x2－4x＋5的图象，并说出它的性质吗？
配方的步骤
y＝2x2－4x＋5
＝2(x2－2x)＋5
＝2(x2－2x＋1－1)＋5
＝2(x2－2x＋1)－2＋5
＝2(x－1)2＋3
提，提出二次项系数；
配，加上括号内一次项系数一半的平方，使括号内前三项成为一个完全平方式．为了等式成立，注意再将此项减去；
理，整理得出结果．
用五点定位法列表画图
x －1 0 1 2 3
y 11 5 3 5 11
描点、连线．
列表：
y＝2(x－1)2＋3
【归纳】函数的性质：
y＝2(x－1)2＋3
(1)函数开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值3；
(2)x＞1时，y随x的增大而增大；
(3)x＜1时，y随x的增大而减小．
解决二次函数y＝ax2＋bx＋c问题的关键是将其化为
y＝a(x－h)2＋k的形式．
探究新知
求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标。
探 究1
【方法指导】将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式。
因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)。
解：y＝2x2－8x＋7
＝2(x2－4x)＋7
＝2(x2－4x＋4)－8＋7
＝2(x－2)2－1
提取二次项系数
配方
顶点式
探 究2
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标。
解：把二次函数y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋2·x＋() 2－()2]＋c
＝a(x＋)2＋
因此：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)。
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
顶点坐标 (－，)
对称轴 x＝－
开口 方向 向上 向下
归纳总结
增减性 x＞－时，y随x的增大而增大；x＜－时，y随x的增大而减小。 x＞－时，y随x的增大而减小；
x＜－时，y随x的增大而增大。
最值 x＝－时，函数取得最小值 x＝－时，函数取得最大值
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的应用
探 究3
中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣。如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其表达式为y＝ax2，并利用计算机软件模拟水面情况。已知桥拱与抛物线
y＝－x2＋x－4的形状相同。
(1)a的值为________。
(2)当水面的宽度AB为10 m时，求桥拱顶点到水面的高度OC。
(3)若水面下降1 m，水面宽度增加多少？
(4)你是如何计算的，与同伴交流。
分析：(1)根据二次函数的性质即可得答案；
(2)令x＝5解出方程即可得到答案；
(3)令y＝－3解出方程即可得到答案。
解：（1）抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定。
已知桥拱抛物线 y=ax 与 y= x +x 4 形状相同，且开口向下。
因此：a=
(2) 因为抛物线 y= x 关于 y 轴对称，水面宽度 AB=10，
将 x=5 代入抛物线方程：
y= ×5 = ×25= 2
水面上的点 B 纵坐标为 2，顶点 O 在 (0,0)，所以高度 OC=∣ 2∣=2 m。
所以点 B 的横坐标为 5。
（3）水面下降 1 m，此时水面的纵坐标为 y= 3，代入抛物线方程：
解得：x = x=±
此时水面宽度为： ( )=5 m
原宽度为 10 m，所以增加的宽度为：5 10 m
3= x
应用举例
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
【例】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( )
D
【解析】由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，A项正确；
由图象可知对称轴为x＝ ，B项正确；
因为a＞0，图象的对称轴为x＝ ，所以，
当x＜ 时，y随x的增大而减小，C项正确；
由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，D项错误，故本选项符合题意．
随堂练习
1.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x2－12x+3； （2）y=－5x2+80x－319；
= 2(x2-6x)+3
= 2(x2-6x+9)-18+3
= 2(x-3)2-15
对称轴为x=3，
= -5(x2-16x)-319
= -5(x2-16x+64)+320-319
= -5(x-8)2+1
对称轴为x=8，
顶点为（8，1）.
顶点为（3，-15）.
（3）y= 2（x-）（x-2） ；
= 2x2-5x+2
对称轴为x= ，顶点为 （.
= 2+2
= 2（ ）
（4）y=3(2x+1)(2-x).
= 6 +9+6
= 6+6
= 6（ ） +
对称轴为x= ，顶点为 （.
2．当火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h=－5t2+150t＋10表示. 经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
解:∵a=-5<0，
∵-=
∴抛物线的开口向下，其顶点即为最高点.
∴当t=15时,h最大=1135
即经过15s,火箭到达它的最高点，最高点的高度为1135m.
∴抛物线的顶点坐标为(15,1135)，
3．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x (min)之间满足函数关系y = －0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30). y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题:
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）经过多长时间，学生的接受能力最强？
解:(1)当0≤x<13时，学生的接受能力逐步增强;
（2）经过13min,学生的接受能力最强.
当13课堂小结
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
顶点坐标公式：
对称轴是x=- ，顶点坐标为（，）
y=a（x+） +
完成对应课时练习
完成作业
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