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第5章 二次函数
3　二次函数的应用
九年级数学BS上
第3课时 商品销售中的利润问题
导入新课
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数，且L＝－x2＋2 000x－10 000，则产量是多少时总利润最大？最大利润是多少？
【分析】求最大利润就是求二次函数L＝－x2＋2 000x－10 000的最大值是多少。
解：L＝－x2＋2 000x－10 000＝－(x2－2 000x＋1 0002－1 0002)－10 000＝－(x－1 000)2＋990 000。
∴当x＝1 000，即产量为1 000件时，总利润最大，最大利润为990 000元。
【归纳】可以通过求二次函数最大值来确定最大利润，这节课就利用这种思路求解有关最大利润的问题。
探究新知
探 究1 服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件10元。根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件。
请你帮助分析，厂家批发单价是
多少时可以获利最多？
1．本题反映了哪两个变量之间的关系？
反映了利润与单价之间的关系；
2．设批发单价为x(10＜x≤13)元，那么
(1)销售量可以表示为________件；
(2)销售额可以表示为________元；
(3)所获利润可以表示为________元；
(4)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________元。
解：(1)(5 000＋500×)
(2)(5 000＋500×)x
(3)(5 000＋500×)(x－10)
(4)12　20 000
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
探 究2
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间。
设客房的日租金总收入为y元，
则y＝(160＋10x)(120－6x)
∵x≥0，且120－6x>0，
∴0≤x<20。
＝－60(x－2)2＋19 440。
∴当x＝2时，y有最大值，y最大＝19 440。
这时每间客房的日租金为160＋10×2＝180(元)。
因此，旅馆将每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19 440元。
∵－60＜0，
应用举例
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到橙子的总产量y(单位：个)与增种橙子树的数量x(单位：棵)之间的关系式为：
尝试·思考
y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000。
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系；
解：(1)由函数表达式可知，当x＝5，10，15，20时，y的值依次是60 375，60 500，60 375，60 000，函数图象如图。
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？
解：由－5x2＋100x＋60 000＝60 400，
解得x＝10±2。
即当增种橙子树的数量x满足5＜x＜15时，可以使橙子总产量在60 400个以上。
随堂练习
1．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/kg，若以35元/kg的价格销售，每天可售出450 kg。当售价每涨0.5元/kg时，日销量就会减少15 kg。若使日销售利润最大，则销售价格应定为 ( )
A．42元/kg　　　B．40元/kg　　　
C．38元/kg　　　D．35元/kg
B
2．某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个。若这种商品的零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的30%，则每周获得的最大利润为________元。
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3. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设销售单价为x元（x≥30），利润为y元，
∴当x=35时， y最大=4500.
即销售单价为35元时，半月内可获得最大利润4500元.
则y = (x－20)[400－20(x－20)] =－20(x－35)2+4500
4. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.你能帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额 最大营业额是多少
解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.
= －10(x－55)2+30250
∴当x=55时， y最大=30250.
即一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元.
则y = [800－10(x－30)]·x =－10x2+1100x
5. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
解：设销售价定为x元，每天所获销售利润为y元，
则y=（x-8）[100-10(x-10)]=-10x +280x-1600
=-10（x-14） +360.
∵x≥10，且100-10（x-10）＞0，
∴10≤x＜20.
∴当x=14时，y最大=360.
因此，将销售价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元.
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
完成对应课时练习
完成作业
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