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第5章 二次函数
4　二次函数与一元二次方程
九年级数学BS上
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出
时的速度。一个小球从地面被以
40 m/s的速度竖直向上抛起，小
球距离地面的高度h(m)与运动时
间t(s)的关系如图所示。
(1)h与t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。
解：(1)将点(0，0)，(8，0)代入可得h＝－5t2＋40t；
(2)当h＝0时，t1＝0，t2＝8，
∴小球经过8 s落地。
探究新知
二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示.
【探究1】 观察·思考
（1）
（2）
（3）
(1)每个图象与x轴有几个交点？
两个交点
一个交点
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
没有交点
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下。
解：x +2x=0
两个根
x（x+2）=0
x=0或x+2=0
x1=0, x2=-2
两个相同的根
x -2x+1=0
（x-1） =0
x-1=0
∴x1 = x2 =1
解：∵ △＝b -4ac
一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？
＝（-2） -4×1×2
＝-4＜0
∴原方程无实数根
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
ax2+bx+c = 0 的根
△= b2 – 4ac
有两个交点
有两个不同实根
△ > 0
有一个交点
有两个相同实根
△ = 0
没有交点
没有根
△ < 0
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
归纳总结
Δ＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点。
h=－5t2＋40t
何时小球的高度是60 m？你是如何知道的？
【方法指导】已知h＝－5t2＋40t，
把h＝60代入即可求出时间．
解：由－5t2＋40t＝60，
【探究2】 观察·思考
解得t1＝2，t2＝6.
即当小球经过2 s和6 s时小球离地面60 m.
应用举例
【例1】若二次函数y＝2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围。　　　　　
【方法指导】由题意知该函数为二次函数，则2(k－1)≠0，又与x轴有两个交点，则说明当y＝0时，2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)＝0有两个不同的实数根，即b2－4ac＞0。
解：由题意，得
解得k＞且k≠1，
∴当k＞且k≠1时，二次函数的图象与x轴有两个交点。
2（k-1）
b -4ac
【例2】画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象解答下列问题：
(1)图象与x轴的交点的坐标是什么？
(2)当x取何值时y＝0？这里x的值与方程x2－2x－3＝0有何关系？
(3)你能从中得到什么启示？
【方法指导】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标是(1，4)，列表取值时，x取－2，－1，0，1，2，3，4，求出相应的y值，即可描点、连线，画出二次函数的图象，得到二次函数的图象与x轴的交点坐标，这时再求出方程x2－2x－3＝0的解，即二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标。
解：二次函数y＝x2－2x－3的图象如图。
(1)图象与x轴的交点坐标是
(－1，0)，(3，0)；
y
x
1
2
1
2
3
-1
-2
-1
-2
-3
-4
O
(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的值是方程x2－2x－3＝0的两个根；
(3)二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；
二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的两根。
y
x
1
2
1
2
3
-1
-2
-1
-2
-3
-4
O
随堂练习
1.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位:m)可以用公式h=-4.9t +19.6t来表示，其中t(单位:s)表示小球被弹出后经过的时间。
（1）出函数h=-4.9t +19.6t 的图象；
（2）当t =1，2时，小球的高度分别是多少？
（2）当t=1时， h=-4.9+19.6=14.7（m）
当t=2时， h=-4.9×2 +19.6×2=19.6 （m）
(3)方程-4.9t +19.6t=0和方程-4.9t +19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么 你能在图象上表示出来吗
2. 二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交吗 如果相交，有几个交点
解:二元一次方程x2+bx-1=0中，
△=b2+4
∴二次函数y=x2+bx-1与x轴有两个交点.
解:一元二次方程x2-6x+4=1的根是二次函数y=x2-6x+4的图象与直线y=1的交点的横坐标.
x … 0 1 2 3 4 5 6 …
y … 4 -1 -4 -5 -4 -1 4 …
3. 一元二次方程x2－6x+4=1的根与二次函数y=x2－6x+4的图象有什么关系 试把方程的根在图象上表示出来.
以下作函数y=x2-6x+4的图象.
列表：
描点、连线,图象简图如图所示,方程两根为点A,B的横坐标.
4. 二次函数y=－x2+3x+4的图象与一次函数y=2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标？
解：由题意得－x2+3x+4=2x－1，
即x2 － x － 5=0，
∵△=b2－4ac=1+20=21＞0，
∴x1 =, x2 =.
∴交点坐标为(, ) 或.
∴y1 =, y2 = －
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
完成对应课时练习
完成作业
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