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第5章 二次函数
2　二次函数的图象
九年级数学BS上
第1课时 二次函数y＝x 和
y＝－x 的图象与性质
导入新课
在你打篮球或观看篮球比赛时，你是否注意到投篮时篮球的运行路线是什么样的？
这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在，比如喷泉流经的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等。
以上图片所展示形状的函数的表达式会是怎样的呢？
探究新知
画二次函数y＝x2的图象：观察函数y＝x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下面的步骤
探究1
解：1. 列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 描点.
3. 连线.
注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接.
y =x2
列表时，选取的自变量的值，应以0为中心，左边取－1，－2，－3，右边对应取1，2，3(取互为相反数的一对数)，不要一边多，一边少，不对称；
归纳总结
描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错；
一定要养成按自变量从小到大的顺序依次描点、连线，连线时必须用平滑的曲线连接各点，不能用折线连接。
观察·思考
（1）你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
二次函数y = x2的图象是一条开口向上的曲线.
y =x2
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么
有交点，交点在原点(0,0).
探究2
二次函数y＝x2的图象，如图。
y =x2
（3）当x<0时，随着x的值增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时， y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当x=0时， y有最小值0.
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.
图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
y =x2
y =x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
总 结
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。
二次函数y＝x2的图象
y =x2
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是图象的最低点.
当x<0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.
当x>0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
归纳总结
二次函数y＝x2的性质
探究3
二次函数y＝－x2的图象是什么形状 先想一想，然后画出它的图象。
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
①列表；
②描点；
③连线.
y =－x2
二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.
二次函数y＝x2与y＝－x2图象及性质的比较：
函数表达式 y=x2 y=－x2
图像
开口方向
对称轴
顶点
（0，0）
（0，0）
抛物线
抛物线
y轴（或直线x=0）
向上
向下
y轴（或直线x=0）
函数表达式 y=x2 y=－x2
增减性
最值
当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，y有最小值，最小值为0
当x＝0时，y有最大值，最大值为0
应用举例
【例1】已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上。
(1)求点A的坐标；
(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)将点A(1，a)代入y＝x2，得a＝1，
【方法指导】(1)将点A(1，a)代入y＝x2可求a的值；(2)当△OAP为等腰三角形，且底边不明确时，需分类讨论
∴点A的坐标为(1，1)。
(2)存在。分以下3种情况讨论：
①当OP＝PA时，P(1，0)；
②当OA＝OP时，P(－，0)或P(，0)；
③当OA＝AP时，P(2，0)。
综上所述，符合条件的点P的坐标为
(1，0)，(－ ，0)，(，0)或(2，0)。
随堂练习
1.下列各点中，在二次函数 y =－x2 的图象上的是（ ）
A.（1，－1） B.（2，－2）
C. （－2，4） D.（2，4
A
2. 关于二次函数y= x2的图象，下列说法错误的是（ ）
A.它的形状是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于y轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）
C
3．给出下列四个函数：①y＝x；②y＝－x；③y＝x2；④y＝。当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有 ( )
A．1个　　　　　B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
C
4、如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1A．x<－1　　　B．x>2
C．－12
D
5、已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
C
6．已知a＞1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小关系为_____________。(用“＞”号连接)
y3＞y2＞y1
课堂小结
二次函数
y = x2 和
y=－x2
图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
完成对应课时练习
完成作业
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