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第5章 二次函数
4　二次函数与一元二次方程
九年级数学BS上
第2课时 利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式(组)
导入新课
你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间。
y
x
1
2
1
2
3
-1
-2
-1
-2
-3
-4
O
3
-3
-4
-5
-6
4
这两个根分别是1.5和－3.5吗？
探究新知
你能利用二次函数的图象(如图①②③)估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1)
探 究1
【方法指导】由图象可知，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间。
x
y
－4.1
－1.39
－4.2
－0.76
－4.3
－0.11
－4.4
0.56
从表可知，当x取－4.4和－4.3
时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根。由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3。
x
y
2.1
2.2
2.3
2.4
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3
同理可得另一个根x＝2.3。
归纳总结
利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤：
观察图象，判断方程的根的大致范围；
准确估算自变量多取一位小数的若干函数值并列表比较；
借由表格判断方程的近似根。
(1)利用二次函数的图象(如图)求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根。
探 究2
近似根：2.7
x －4.5 －4.6 －4.7 －4.8 －4.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y －1.75 －1.04 －0.31 0.44 1.21
近似根：－4.7
由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间.
(2)你还能利用二次函数y=x +2x-10的图象求一元二次方程 x +2x-10=3的近似根吗？
y=x +2x-10和直线y=3交点和横坐标就是方程 x +2x-10=3的根.
y=3
y=x +2x-10
x1≈－4.7，x2≈2.7。
利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根，可以借助抛物线y＝x2＋2x－13与x轴的交点，也可以借助抛物线y＝x2＋2x－10与直线y＝3的交点等。
归纳总结
应用举例
【例1】根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是(　　)
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06
C
A．6C．6.18【方法指导】本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围，根据表格提供的信息。在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使ax2＋bx＋c＝0。因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个根x的范围是6.18＜x＜6.19。
【例2】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)。
【方法指导】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解。
解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标。
y
x
1
2
1
2
3
-1
-2
-1
-2
-3
O
3
-3
4
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示。
y
x
1
2
1
2
3
-1
-2
-1
-2
-3
O
3
-3
4
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间。
先求－1和0之间的根，
当x＝－0.5时，y＝0.25。
因此，x＝－0.4是方程的一个近似根。
同理，x＝2.4是方程的另一个近似根。
当x＝－0.4时，y＝－0.04；
随堂练习
1.利用如图所示的二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根.
解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间.
y=－2x2+4x+1
（1）先求－1和0之间的根.
利用计算器进行探索:
x
y
－0.1
0.58
－0.2
0.12
－0.3
－0.38
因此，x=－0.2是方程的一个近似根.
y=－2x2+4x+1
（2）再求2和3之间的根.
利用计算器进行探索:
x
y
2.1
0.58
2.2
0.12
2.3
－0.38
因此，x=2.2是方程的另一个近似根.
y=－2x2+4x+1
2.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x +2x+ (x>0)、柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，
水池的半径至少为多少米，才能使
喷出的水流不至于落在池外？
x/m
解：当x=0时，y=，
令-x +2x+=0，
∴x1 =，x2 =（不合题意，舍去）
因此,水池的半径至少为m,才能使喷出的水流不至于落在池外.
∴柱子OA的高度是
x/m
3.利用二次函数y = 2x2与一次函数 y = x＋2的图象，求一元二次方程 2x2 = x＋2的近似根.
解：如图所示，由图象可知方程2x =x+2，即2x -x-2=0有两个根，一个根在-1和0之间，另一个根
在1和2之间.
（1）先求－1和0之间的根.
利用计算器进行探索:
x －0.9 -0.8 -0.7 -0.6
2x -x-2 0.52 0.08 -0.32 -0.68
因此，x=－0.8是方程2x =x+2
的一个近似根.
（2）先求1和2之间的根.
利用计算器进行探索:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
2x -x-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
因此，x=1.3是方程2x =x+2的一个近似根.
∴一元二次方程2x =x+2的近似根为x1=-0.8，x2=1.3.
课堂小结
二次函数图象
由图象与x轴的交点位置，
判断方程根的近似值
一元二次方程的根
一元二次不等式的解集
完成对应课时练习
完成作业
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