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北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
复习题
知识技能
1.判断正误：
(1)若线段a=5cm, b=2cm，则a : b=5 : 2； ( )
(2)若A，B两地在地图上的距离为7cm，地图的比例尺为l∶5000，则A，B两地的实际距离为35m； ( )
(3)若线段AB= cm，C是AB的黄金分割点，且AC > BC，则AC = cm. ( )
√
×
√
2. (1)四条线段a， b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.
(2)已知 = = ≠ 0 ，且a+b-2c =3，求a的值.
解：（1） = 6a =3×2，∴ a =1cm
（2）∵ = = ∴ b= c =
代入 a+b-2c =3中，求得a =6
3.如图，已知直线a//b//c，分别交直线 m，n于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的长.
解：由题意可得 =
∵ AC=4，CE=6，BD=3
∴解得 DF=4.5
∴BF=4.5+3=7.5
4.如图，点B，D在AF 上，点C，E在AG上，BC//DE//FG ,图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？
△ABC∽△ADE； △ABC ∽△AFG；△ADE∽△AFG.
由BC//DE//FG，得∠ABC=∠ADE=∠AFG,而∠A是公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得结论;或由BC//DE//FG，得 = = 而∠A是公共角，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得结论.
5.如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2acm，DB=acm，BC=bcm，∠A=70°， ∠B=50°.
（1）求∠ADE的度数；（2）求∠AED的度数；（3）求DE 的长.
解 ： （1）∠B=∠ADE=50°
解：（2）∠AED=∠C=180°-∠A -∠B =180°-70°-50°=60°
5.如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2acm，DB=acm，BC=bcm，∠A=70°， ∠B=50°.
（2）求∠AED的度数；（3）求DE 的长.
5.如图，点D，E分别是AB和AC上的点，△ADE∽△ABC，AD=2acm，DB=acm，BC=bcm，∠A=70°， ∠B=50°.
（3）求DE 的长.
解：（3）∵ △ADE∽△ABC
∴ = =
∴ =
∵ BC=bcm
∴DE =
6.如果两个相似三角形面积比为4∶9，那么这两个相似三角形对应边的比是多少？
这两个相似三角形对应边的比是2∶3
7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC、AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE.
解 ∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
∵AD=3BD
∴AD= AB
∴ =
∴ =
∵ S△ABC=48
∴ S△ADE=27
8.如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD.OA·OD=OC·OB成立吗？为什么？
证明 成立.
∵ AC∥BD
∴∠D=∠C， ∠B=∠A
∴△DOB∽△AOC
∴ =
∴OA·OD=OC·OB
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且AD=31，DB=29，AE=30，EC=32.请找出∠1，∠2，∠3，∠4中相等的角.
证明 ∵ AD=31，DB=29，AE=30，EC=32
∴AB=60，AC=62
∴ =
∴△ABC∽△AED
∴∠1=∠4，∠2=∠3
10. 公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2∶3，面积的差为30m2，它们的面积之和为多少
解：由题意可得， = ∴ =
∵ =30，∴
解得=54，
=5
11.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数.
解 ∵△ACP∽△PDB
∴∠A=∠BPD，∠B=∠APC
∵∠CPD+2∠BPD+2∠APC=180°
且∠CPD=60°
∴2∠BPD+2∠APC=120°
∴∠BPD+∠APC=60°
∴ ∠APB=∠BPD+∠APC+∠CPD =120°
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A (6，0), B (6，4)，C(0，4).已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，求点B'的坐标.
解：∵
∴两个四边形的相似比是
∴ B′(3,2)
13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上去一点E，连接OE交BC于点F.已知AB=a，BC=b，CE=c，求CF的长.
A
C
B
D
G
F
E
O
解 如图，延长EO与AD相交于点G
∵OA=OC，∠OAG=∠OCF， ∠AOG=∠COF
∴△AOG≌△COF
∴AG=CF
∵BC∥AD，
∴△CEF∽△DEG
解得 CF=
∴ =
∵ AB=a，BC=b，CE=c
∴ =
14.如图，在平面直角坐标系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标分别乘-2，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比.
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
-8
-10
A
B
C
A′(-4,-8)
B′(4,-10)
C′(8,0)
将三角形各边向外平移1个单位长度并适当延长，得到如图（1）所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如图（2）（3），如果把三角形改为正方形、长方形呢？
三角形和正方形相似，长方形不相似
16.如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图(1)相似的图形.
沿着直线l截去上面一块，就可以变为与图（1）相似的图形
17.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q、求BP : PQ: QR.
解：BP∶PQ∶QR =3∶1∶2.
提示:易证BC=CE，PC//RE，
于是BP=PR，PC = RE，△PCQ∽△RDQ，
所以 = = = ，
所以= P ，.
18.如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=.BC=1，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
(1)求证：△BFG∽△FEG；(2)求AP : PC.
解：（1）由题意可得，
= = ，
且可知 ∠BGF=∠FGE
∴ △BFG∽△FEG
解：(2)由（1）可知∠PBC=∠EFG=∠BAC，
又∠BCP=∠ACB
∴△BCP∽△ACB
∴AP∶PC=2∶1
于是= ，
PC = = 而AP=AC-PC =
19.如图，在平面直角坐标系中，以原点О为位似中心画一个四边形，使它与矩形OBCD位似，且相似比为1∶2．你有几种方法？
O
x
y
2
4
6
2
4
6
-2
-4
8
-2
-4
-6
-8
-10
D
B
C
D′(0,2)
B′(4,0)
C′(4,2)
D′′(0,-2)
B′′(-4,0)
C′′(-4,-2)
20.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M.已知 AB= 10m，CD=15m，求点M离地面的高度MH.
问题解决
解 ∵AB∥CD，∴△ABM∽△CDM
BH等于△ABM的边AB上的高，
HD等于△CDM的边CD上的高.
∵MH∥CD，∴△BHM∽△BDC,
于是 = =
于是 = =
∴MH= CD =m
一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5 m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。
解 由题意可知BC=2m，AC=2.5m
K
H
在图（甲）中，过点B作AC的垂线，分别交ED和AC于点K，H，求得BH=1.2m.设正方形的边长为xm，
∵△BDE∽△BCA
∴ = ，即 =
解得=
在图（乙）中，设正方形的边长为ym，∵△BDE∽△BCA
∴ = ，即 =
解得=
因为y＞x，所以乙的面积更大.
22.通过本章的学习，你对全等三角形和相似三角形的关系有哪些感悟 这对今后的数学学习有怎样的启发 撰写一篇小短文，并在班级内分享。
23.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当以P、C、D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长.
联系拓展
两个三角形相似有两种情况：
（1）∠A=∠CPD.此时有= ，
（2）∠A=∠C.此时有 = ，
即 = ，求得PB=12或2.
即 = ，求得PB=8.4.
23.如图，△ABC的三边长分别为a， b，c ( a>b > c )，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1， △ABC∽△A1B1C1 ，相似比为k (k>-1) .
(1)若c=a1，求证：a = kc；
(2)若c =a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数；
解（1）∵ =k，
24.如图，△ABC的三边长分别为a， b，c ( a>b > c )，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1， △ABC∽△A1B1C1 ，相似比为k (k>-1) .
(1)若c=a1，求证：a = kc；
(2)若c =a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数；
∴a = a1k = kc
解（2）答案不唯一，如可以取a=8，b=6，c=4，
a1=4，b1=3，c1=2，
此时= = =2
所以△ABC∽△A1B1C1
(3)若b=a，c=b1，是否存在△ABC和△ABC使得k=2？请说明理由.
解（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1.
若k=2，则a=2a1， b=2b1， c=2c1;
于是a=2a1=2b=4b1=4c，
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c=a，
这与b+c＞a相矛盾.
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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