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第六章　概率的进一步认识
2　用频率估计概率
九年级数学BS上
导入新课
任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的实验，其中部分结果如下表：
实验者 抛掷次数n “正面朝上”次数m 频率m/n
隶莫弗 2 048 1 061 0.518 1
布丰 4 040 2 048 0.506 9
皮尔逊 12 000 6 019 0.501 6
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
观察上表，我们可以发现实验次数越多，频率越接近概率。
探究新知
问题1 400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗？
探究一
抽屉原理:把m个物品任意放进n个空抽屉里(m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。
一年最多 366 天， 400 个同学中一定会出现至少 2 人出生在同月同日.
问题2 300个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗？
一年最多 366 天， 300个同学中不一定会出现 2 人出生在同月同日.
问题3 有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同。”你同意这种说法吗？
同 意
50个人中有2人生日相同的概率
探究二
如果你们班50个同学中有两个同学的生日相同，那么说明50个同学中有两个同学的生日相同的概率是1吗？为什么
如果你们班50个同学中没有两个同学的生日相同，那么能说明50个同学中没有两个同学的生日相同的概率是0吗？为什么？
为了证明上述的说法是否正确，我们可以通过大量重复试验，用“50 个人中有 2 个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.
(1) 每个同学课外调查 10 个人的生日.
(2) 从全班的调查结果中随机选择 50 个被调查人的生日，记录其中有无 2 个人的生日相同. 每选取 50 个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中：
试验总次数 50 100 150 200 250 …
“有2个人的生日相同”的次数
“有2个人的生日相同”的频率
操作·思考
“几个人中至少有两人生日相同”的频率大小表
人数 频率 人数 频率 人数 频率 人数 频率
20 0.4114 29 0.6810 38 0.8641 47 0.9548
21 0.4437 30 0.7105 39 0.8781 48 0.9606
22 0.4757 31 0.7305 40 0.8912 49 0.9658
23 0.5073 32 0.7533 41 0.9032 50 0.9704
24 0.5383 33 0.7750 42 0.9140 51 0.9744
25 0.5687 34 0.7953 43 0.9239 52 0.9780
26 0.5982 35 0.8144 44 0.9329 53 0.9811
27 0.6269 36 0.8322 45 0.9410 54 0.9839
28 0.6545 37 0.8487 46 0.9483 … …
(3)根据上表中的数据，估计“50 个人中有 2 个人的生日相同”的概率.
通过观察下面的表格能发现：
当人数是 50 人时，“有 2 个人的生日相同”的频率高达 97.04%.
从而可估计“50个人中有 2 个人的生日相同”的概率为 0.97.
用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件出现的频率稳定于相应的理论概率附近；
归纳总结
用频率估计概率的条件：试验的次数必须足够大。
应用举例
【例】六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动。有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具。已知参加这种游戏活动的人数为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个。
(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；
(2)请你估计袋中白球有多少个。
【方法指导】
(1)由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得；
(2)由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解。
解：(1)因为＝，所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为；
(2)因为试验次数很大时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是。设袋中白球有x个。根据题意，得＝，解得x＝18，经检验，x＝18是原分式方程的解，且符合题意，所以估计袋中白球有18个。
思考交流
(1) 一个口袋中有 3 个红球、7 个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少
口袋中有 3 个红球、7 个白球，共 10 个球，则随机摸出红球的概率是 .
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：P(A)=
(2)一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？
方案：每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.
随堂练习
1．不透明的袋子里放有4个黑球和若干个白球
(这些球除颜色外都相同)，老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，经过大量重复摸球试验，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.2附近，则袋子中白球的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
2．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 ( )
A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．任意写一个整数，它能被2整除的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1个球，取到红球的概率
D
3．一个不透明的袋子中放有除颜色外都相同的黑、白两种球，其中黑球6个，白球若干个。为了估算袋子中白球的个数，摇匀后从袋子中取出1个球，然后放回，共取50次，其中取出白球45次，则可估算袋子中白球的个数为____。
54
4.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一
渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42%，则这个水塘里有鲤鱼_____尾，鲢鱼____尾.
310
270
5. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球 24 个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
_____（精确到 0.1）；
(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =_____.
0.6
0.6
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
课堂小结
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
用样本(频率)估计总体(概率)
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关
课本P175习题6.2中的T1、T2
完成作业
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