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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
3 一元二次方程的根与系数的关系
复习导入
1. 一元二次方程的一般形式？
(1)_______；(2)______________；(3)_________；(4)因式分解法。
配方法
直接开平方法
公式法
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。
(1)x2－2x－3＝0； (2)x2＋4x＋3＝0；
(3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。
解：(1)(x－3)(x＋1)＝0，
x1＝3，x2＝－1；
(2)(x＋3)(x＋1)＝0，
x1＝－3，x2＝－1；
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根。
(3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0。
解：(3)(x－6)(x＋1)＝0，
x1＝6，x2＝－1；
(4)(x＋3)(x＋4)＝0，
x1＝－3，x2＝－4。
3．根据方程的根的情况，完成下列问题。
(1)x2－2x－3＝0；x1＝____，x2＝____，
x1＋x2＝____，x1x2＝____；
(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝____，x2＝____，
x1＋x2＝____，x1x2＝____；
(3)x2－5x－6＝0；x1＝____，x2＝____，
x1＋x2＝____，x1x2＝____；
(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝____，x2＝____，
x1＋x2＝____，x1x2＝____。
你发现了什么规律？告诉大家。
3
－1
2
－3
－1
－3
－4
3
6
－1
5
－6
－3
－4
－7
12
探究新知
实践探究
计算填表：
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2-2x+1=0
x2 -x-1=0
2x2-3x +1=0
1
1
2
1
-1
1
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根：
x1＝ x2＝
x1＝ ＝ .
x1＝ ＝ .
如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么
x1＝ .
x1＝ .
应用举例
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 3x -2 = 0 .
【方法指导】利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况。
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6.
△ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=7， x1x2 = 6.
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ;
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（2）2x2 - 3x -2 = 0 .
解： （2）这里 a = 2，b =3，c =2.
△ =b2-4ac = (3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2= ， x1x2 = 1.
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。
【方法指导】(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值。
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。
(1)求m的取值范围；
∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0。解得m≤ 。
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2。
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值。
解：(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，
x1x2＝m－1。
∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，
∴2×(－3)＋m－1＋10＝0。
解得m＝－3。
【例3】若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，求k的值。
【方法指导】应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式。
解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2。
由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1。
当k＝1时，Δ＜0；
当k＝－1时，Δ＞0。
综上所述，k＝－1。
课堂小结
2. 应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
3. 应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac ≥ 0 时，才能应用根与系数的关系.
1. 一元二次方程根与系数的关系是什么？
随堂练习
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0.
解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1.
（2）x1+x2=－，x1x2 =－ .
2. 小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根.
小明：x1 = x2 =－ ；
小华：x1 =－3+3 ，x2 =－3－3.
他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
x1+x2=－ ，x1x2 =－.
解：由题意，可得
小明和小华求得的根与算式都不符合，
∴小明和小华的答案都不正确.
3. 已知方程 x2－ x－7=0 的一个根是 3 ，求它的另一个根.
解：x1x2 =－7.
x1 = 3.
x2 = －.
4．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根之积。
(1)2x2－3x－4＝0； (2)x(2x－1)－2＝0。
解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－4。
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，∴方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝，
x1x2＝－2。
解：(2)原方程可化为2x2－x－2＝0。
这里a＝2，b＝－1，c＝－2。
Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－2)＝1＋16＝17＞0，∴方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝ ，
x1x2＝－1。
(2)x(2x－1)－2＝0。
5．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则另一个根是____。
0
－5
－1
6．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是6，则m＝____，另一个根是____。
4．若方程3x2＋2x－5＝0的两个根为x1，x2，则＋ ＝____。
5．已知方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两个实数根x1，x2，且x1x2＝5，则k的值为____。
4
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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