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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
4 一元二次方程的应用
第1课时
行程、几何图形及动点问题
情景导入
你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
（1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
x
x
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(8-x)2+(6+x)2 =102
x2-2x = 0
x1= 0（舍），x2 = 2.
（2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米
(12-x)2+(5+x)2 =132
x2-7x = 0
x1= 0（舍），x2 = 7.
探究新知
实践探究
例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）
（1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
解： 连接 DF.
∵AD = CD，BF = CF，
∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = AB.
∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile.
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么
DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile.
在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300-2x)2，
整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0.
解这个方程，得x1=200－≈118.4，
x2 =200 + （不合题意，舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
应用举例
【例2】如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m。
(1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
(2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
(3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由。
【方法指导】(1)若设BC＝x m，则AB的长为m，若设AB＝x m，则BC＝(35－2x)m，再利用题干中的等量关系，可求出(1)的解；
(2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m，从而对(1)的结论进行甄别即可；
(3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得结论。
解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m。
依题意可列方程为x· ＝150。
整理，得x2－35x＋300＝0。
解这个方程，得x1＝20，x2＝15。
当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m，
当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m。
即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m。
(1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
解：(2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m。
(2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：(3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场。理由如下：设BC＝x m，则AB＝m。
依题意可列方程为x· ＝160。整理，得x2－35x＋320＝0。
此时Δ＝352－4×1×320＝1 225－1 280＝－55＜0，原方程没有实数根，从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场。
(3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由。
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
随堂练习
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2，
解得 t1 = 0（舍去），t2 = .
∴甲走了×7 =（步），乙走了×3 = （步）.
2．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为 ( )
A． B．5 C． D．7
B
3．从正方形铁皮的一边切去一个2 cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48 cm2，则原来正方形铁皮的面积是___________。
64 cm2
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动。点Q到达点C后，点P，Q停止运动。设P，Q从点A，B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10 cm2
解：设x s后，△PBQ的面积等于10 cm2。
由题意，得×4x(6－x)＝10。
整理，得x2－6x＋5＝0。
解得x1＝1，x2＝5(不合题意，舍去)。
答：经过1 s后，△PBQ的面积等于10 cm2。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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