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北师版 九年级 数学（上）
第3章　图形的相似
1　相似多边形
第2课时 等比性质
复习导入
问题：(1)相似三角形的定义是什么？
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
(2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义(不常用)；
方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；
方法3：判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。
探究新知
探究1
1.画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，＝ ，设法比较∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′的大小)。△ABC和△A′B′C′相似吗？
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′， = 。
根据三角形内角和为180°，
∠C=180 ° ∠A ∠B，∠C′=180 ° ∠A′ ∠B′。
因为∠A=∠A′，且由相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知△ABC和△A′B′C′相似。相似三角形对应角相等，所以∠B=∠B′（或∠C=∠C′）。
∠B=∠B′（或∠C=∠C′），△ABC和△A′B′C′相似。
2．画△ABC与△A′B′C′，使∠B＝∠B′，＝，设法比较∠A与∠A′的大小(或∠C与∠C′的大小)。△ABC和△A′B′C′相似吗？
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠B=∠B′， =，即△ABC与△A′B′C′两边成比例且夹角相等。
所以△ABC △A′B′C′。
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等。
因为△ABC △A′B′C′，
所以∠A=∠A′，∠C=∠C′。
∠A=∠A′（或∠C=∠C′），△ABC和△A′B′C′相似。
相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
归纳
探究2
如图，如果△ABC与△A′B′C′的两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
两边成比例且其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似。
归纳
例：在△ABC与△ DEF中,已知 ＝,且△ABC的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长
解：∵ ＝,
∴
∴4（）
即 （）
又∵ △ABC的周长为18cm，即
∴（）×18=24（cm）
即△DEF 的周长为24 cm
应用举例
【例1】如图，一块矩形绸布的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即＝ ，那么a的值应当是多少？
【方法指导】成比例线段的应用。
解：根据题意可知，AB＝a m，AE＝ a m，AD＝1 m。
由＝，得＝ ，即a2＝1，
∴a2＝3。开平方，得a＝(a＝－舍去)。
【例2】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1＝____，AD＝____。
【方法指导】根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得。
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠1＝∠B＝70°，＝ 。即＝ ，解得AD＝28。
70°
28
随堂练习
1.你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些利用线段比的事例？
梯子
黄金分割
2. a，b，c，d是成比例线段，其中 a = 3 cm，
b = 2 cm， c = 6 cm，求线段 d 的长.
解：已知a，b， c， d是成比例线段，
根据比例线段的定义得: ad = cb，
代入 a = 3 , b = 2 , c = 6，
解得: d = 4，则 d = 4 cm .
3.图中每组中两个矩形相似吗，并说明理由。
（1）判断第一组矩形是否相似
第一个矩形的长为3，宽为2；
第二个矩形的长为4.5，宽为3。
计算对应边的比：== ，= 。
因为这两个矩形对应边的比相等，所以第一组两个矩形相似。
（2）判断第二组矩形是否相似
第一个矩形的长为3，宽为2；
第二个矩形的长为4，宽为2.5。
计算对应边的比：
， = =。
因为≠ ，即这两个矩形对应边的比不相等，所以第二组两个矩形不相似。
4．如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B＝75°，则∠B′的度数是 ( )
A．15° B．25°
C．75° D．105°
C
2．一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比为_____。
5∶1
3．已知5x＝6y，则＝____。
4．△ABC∽△A′B′C′，相似比为，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，则A′C′＝____，B′C′＝____，A′B′＝____，∠C′＝____。
5
90°
5．已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1)a＝8 cm，b＝4 cm，c＝3 cm，d＝6 cm；
(2)a＝8 cm，b＝5 cm，c＝6 cm，d＝10 cm。
解：(1) ＝2，＝2，则＝ ，
∴a，b，d，c成比例。
(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，
∴a，b，c，d四条线段不成比例。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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