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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
2 一元二次方程的解法
第3课时
用公式法求解一元二次方程
情景导入
你能用配方法解下列方程吗
(1)2x2＋x－1＝0；
(2)3x2＋4＝6x。
你能说一说，用配方法解方程的步骤吗？
化：二次项系数化为 1 ；
移：将常数项移到等号右边；
配：配方，使等号左边成为完全平方式；
开：等号两边开平方；
解：求出方程的解。
用配方法可以解所有一元二次方程吗？
每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？
探究新知
探究1 推导求根公式
用配方法解方程：ax2+bx+c = 0（a，b，c为常数，a ≠ 0）
方程两边都除以 a，得
配方，得
移项，得
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 4ac ≥ 0 时，
是一个非负数，此时两边开平方，得
求根公式
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b24ac ≥ 0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
探究新知
探究2 认识求根公式
应用举例
例 解方程 ：
（1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（1）a = 1，b = -7，c =18.
∵ b2 4ac = (7)2 4×1×(18) = 121 > 0，
∴x = =
即 x1 = 9，x2 =2.
（2）4x2 + 1 = 4x.
解：(2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0。
这里a＝4，b＝－4，c＝1。
因为b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以x＝ ＝，
即x1＝x2＝。
尝试·思考
（1）你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？
解：（1）a = 1，b = -2，c = 3.
∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0，
方程没有实数根.
（2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），当 b2 -4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
根的判别式是：
⊿ = b2 -4ac
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）
判别式的情况 根的情况 定理与逆定理
⊿ = b2 -4ac > 0
两个不相等的实数根
⊿>0
两个不相等的实数根
⊿ = b2 -4ac = 0
两个相等的实数根
⊿=0
两个相等的实数根
⊿ = b2 -4ac < 0
没有实数根
⊿<0
没有实数根
探究新知
探究3 认识根的判别式
应用举例
【例】已知关于x的一元二次方程x2－(k－2)x－k＝0，求证：该方程一定有两个实数根。
【方法指导】先求出一元二次方程根的判别式Δ＝k2＋4>0，再来判断根的情况。
证明：∵a＝1，b＝－(k－2)，c＝－k，
∴Δ＝[－(k－2)]2－4×1×(－k)＝k2－4k＋4＋4k＝k2＋4>0，
∴该方程一定有两个实数根。
【例】有一条长20 cm的绳子，能用它围成一个面积为30 cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由。
【方法指导】首先设矩形的一边长为x cm，则另一边长为(10－x)cm，再利用矩形面积公式列出方程x(10－x)＝30，得出根的判别式的符号，进而得出答案。
解：设矩形的一边长为x cm，则该矩形的另一边长为(10－x)cm。
根据题意，得x(10－x)＝30。
整理，得x2－10x＋30＝0。
∵Δ＝102－4×1×30＝－20<0，
∴不能用它围成面积为30 cm2的矩形。
随堂练习
（1）2x2 + 5 = 7x ；
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
（1）将方程化成一般形式：2x2 -7x + 5 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0
方程有两个不相等的实数根.
（1）2x2 + 5 = 7x ；
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
（2）将方程化成一般形式：4x2 -4x + 3 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0
方程没有实数根.
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2 + 5 = 7x ；
（2）4x(x-1) + 3 = 0 ；
（3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y .
不解方程，判断下列方程的根的情况：
（3）将方程化成一般形式：4y2 -2.4y + 0.36 = 0；
⊿ = b2 -4ac =(-2.4)2 -4×4×0.36 = 0
方程有两个相等的实数根.
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（1）a = 2，b = -9，c = 8.
∵ b2 - 4ac = (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0，
∴x = =
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（2）a = 9，b = 6，c = 1.
∵ b2 - 4ac = 62 - 4×9×1= 0 = 0，
∴x = = ，即 x1＝ x2 ＝
解：（3）将方程化为一般形式，得 16x2+8x+3=0
a = 16，b = 8，c = -3.
∵ b2 - 4ac = 82 - 4×16×(-3)= 256 > 0，
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
∴x = = ，即 x1＝ ， x2 ＝
解：（4）将方程化为一般形式，得 x2-3x+5=0
a = 1，b = 3，c = 5.
∵ b2 4ac = (3)2 - 4×1×5 = 11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
（1）2x2 -9x + 8 = 0；
用公式法解下列方程：
（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3；
（4） x(x-3) + 5 = 0 .
3．一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
C
4．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
D
5．用公式法解下列方程：
(1)6x2－x－2＝0； (2)4x2－7x＋1＝0； (3)2x2－2x＋3＝0。
解：(1)x1＝，x2＝－。
(2)x1＝，x2＝。
(3)此方程无实数根。
6．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比个位数字与十位数字的积还大38，求这个两位数。
解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为(14－x)。
根据题意，得10(14－x)＋x－x(14－x)＝38。
整理，得x2－23x＋102＝0。
解得x1＝6，x2＝17(不符合题意，舍去)。
∴14－x＝14－6＝8。
答：这个两位数是68。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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