资源简介

(共25张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
2 一元二次方程的解法
第4课时
用因式分解法求解一元二次方程
复习导入
将下列各式分解因式：
(1)5x2－4x＝____________；
(2)x2－4x＋4＝_________；
(3)4x(x－1)－2＋2x＝_______________；
(4)x2－4＝_______________；
(5)(2x－1)2－x2＝_____________。
x(5x－4)
(x－2)2
2(x－1)(2x＋1)
(x＋2)(x－2)
(3x－1)(x－1)
探究新知
实践探究
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x。根据题意，可得方程x2＝3x。但他们的解法各不相同：
小颖：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0。
这里a＝1，b＝－3，c＝0。
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，
∴x＝2× 。即x1＝3，x2＝0，
∴这个数是3或0。
小明：方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3，
∴这个数是3。
小亮：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0。
于是x＝0，或x－3＝0。
∴x1＝3，x2＝0，
∴这个数是3或0。
“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
如果 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0 .
说一说，你是怎么理解这句话的？
(1)以上三种解法都对吗？为什么？
解法分析
(2)三种解法分别用的是什么方法？
(3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？
(4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？
归纳
x2-3x = 0 x(x-3) = 0
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
应用举例
【例1】 解下列方程：
（1）5x2 = 4x；
【方法指导】先让学生观察第(1)个方程的特点，然后让学生试着口述解题过程，教师根据学生的回答板书，期间可以做出必要的引导，如：移项要使“＝”号的右边为“0”；分解因式要先判断是否有公因式，若有公因式，则先用提公因式法分解因式；利用“若ab＝0，则a＝0或b＝0”将原来的一元二次方程转化成两个一元一次方程。
解：（1）原方程可变形为
5x2–4x = 0 ，
x(5x– 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1＝0，x2 ＝。
【例1】 解下列方程：
（2）x(x - 2) = x - 2.
解： （2）原方程可变形为
x(x–2) – (x–2) = 0 ，
(x–2)(x–1) = 0 ，
x–2 = 0 ，或 x–1 = 0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
【例2】用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)； (2)3x2＝4x＋1；
(3)5x2＝4x－1。
【方法指导】解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解。能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解。在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根。没有特殊要求时，一般不用配方法。
【例2】用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；
解：(1)原方程可变形为
3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，
(x＋5)(3x－5)＝0，
所以x1＝－5，x2＝。
x＋5＝0，或3x－5＝0，
【例2】用适当的方法解下列方程：
(2)3x2＝4x＋1； (3)5x2＝4x－1。
解：(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0。
这里a＝3，b＝－4，c＝－1。
∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，
∴x＝ ＝ ＝，
即x1＝ ，x2＝ 。
【例2】用适当的方法解下列方程：
(3)5x2＝4x－1。
解：(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0。
这里a＝5，b＝－4，c＝1。
∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，
∴原方程没有实数根。
操作·思考
x2–4 = 0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x－2) = 0
x + 2 = 0 或 x－2 = 0
x1 =－2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0
解：原方程可变形为
(x + 1 + 5)(x + 1－5) = 0
(x + 6)(x－4) = 0
x + 6 = 0 或 x－4 = 0
x1 =－6，x2 = 4.
你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
课堂小结
当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
方程右边化为______.
将方程左边分解成两个__________的乘积.
至少________因式为零，得到两个一元一次方程.
两个__________________就是原方程的解.
0
一次因式
有一个
一元一次方程的解
随堂练习
用因式分解法解下列方程：
（1）(x + 2)(x–4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：（1）
x + 2 = 0 或 x–4 = 0
x1 = –2，x2 = 4.
（2）原方程可变形为
4x(2x + 1) –3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(4x – 3) = 0
2x + 1 = 0 或 4x–3 = 0
x1＝，x2＝.
一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数.
解：设这个数为 x.
2x2 = 7x.
2x2 - 7x = 0.
x(2x – 7) = 0.
x = 0 或 2x–7 = 0.
x1＝，x2＝.
3．用因式分解法解下列方程：
(1)(x＋2)(x－4)＝0；
(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)；
(3)4(x－1)＝(x－1)2；
(4)x(x＋2)＝4＋2x。
解：(1)x1＝－2，x2＝4。
(2)x1＝－，x2＝。
(3)x1＝1，x2＝5。
(4)x1＝－2，x2＝2。
2．已知三角形的两边分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长。
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，
得x1＝7，x2＝10。
∵当x＝10时，3＋7＝10，不符合三角形的三边关系，
∴x2＝10不合题意，舍去。∴x＝7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑