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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第2课时 正方形的判定
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？
想一想
1. 我们学过的方程有哪些？
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？
（1）5x+3 = 8
（2）x + y = 8
（3）
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
复习
探究新知
探究1
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
已知量：
未知量：
矩形地面的长、宽
地毯的面积
地毯的长、宽
条形区域的宽
8 m
5 m
已知量：
未知量：
矩形地面的长、宽
地毯的面积
地毯的长、宽
条形区域的宽
你能找出地毯问题中的相等关系吗？
地毯问题
地毯的长×宽 = 18m2
地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m
地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
你能求出这个宽度吗？
如果设所求的宽为 x m ，
那么地毯的长为 m，
宽为　 m，
根据题意，可得方程：
（ 8－2x ）
（ 5－2x ）
(8－2x )(5－2x ) = 18
地毯问题
(8－2x )(5－2x ) = 18
40 - 16x -10x + 4x2 = 18
2x2 -13x +11 = 0
（去括号）
（移项、合并同类项）
你能求出这个宽度吗？
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
连续整数问题
观察下面等式：
102＋112＋122 ＝132＋142
　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_____，_____，_______，
_______。
根据题意，可得方程：
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
探究2
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
去括号、移项、合并同类项
x2 - 8x -20 = 0
梯子滑动问题
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
10 m
8 m
探究3
梯子滑动问题
7 m
1 m
10 m
6 m
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m.
6
如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m.
（x＋6）
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2 ＝ 102
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
72＋(x＋6)2 ＝ 102
去括号、移项、合并同类项
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
(8－2x )(5－2x ) = 18
2x2 -13x +11 = 0
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x2 - 8x -20 = 0
72＋(x＋6)2 ＝ 102
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
想一想
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
归纳
应用举例
【例1】下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
(1)7x2－6x＝0； (2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－－1＝0; (4) ＝0。
【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定。
解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程。
【例2】关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k________时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程。
【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程。当k2－1＝0，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程。
≠±1
＝－1
课堂小结
只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
随堂练习
根据题意列出一元二次方程: 已知直角三角形的三边长 为连续整数，求它的三边长.
解：设较短边长为 x .
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 .
把方程 (3x＋2)2 = 4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项.
解: 化为一般形式为 5x2＋36x－32＝0．
二次项系数为 5，一次项系数为 36，
常数项为－32．
3．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________。
2x2－x－7＝0
4．把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项。
解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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