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(共13张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
习题2.1
知识技能
1.根据题意，列出一元二次方程：
（1）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的 边长是多少？
（1）解: 设这个正方形的边长为 x．
(x＋5)(x＋2) ＝ 54，即 x2＋7x－44 ＝ 0．
（2）解: 设较小数为 x．
x(x＋1) ＋ (x＋1)(x＋2) ＋ x(x＋2) ＝ 242，
即 x2＋2x－80＝0．
1.根据题意，列出一元二次方程：
（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为 242，这三个数分别是多少？
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
3
－5
1
x2 ＋x－8＝0
1
1
－8
－7x2 ＋4＝0
－7
0
4
3.一个面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m. 苗固的长和宽各是多少？
解: 设苗圃宽为 x m．
x(x＋2) ＝ 120．
x ＝ 10 (负值已舍去)．
所以，苗圃的宽为 10 m，长为 12 m．
4.有一条长为 16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？
解: 设矩形的宽为 x m．
x(8－x) ＝ 15．
x ＝ 3 或5
所以，矩形的宽为 3 m，长为 5 m．
数学理解
一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误. 假设运动员起跳后的运动时间 t(s) 和运动员距离水面的高度 h(m) 之间满足关系: h=10＋2.5t - 5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作？
解: 令 h＝5，代入 h＝10＋2.5t－5t2，
即 5＝10＋2.5t－5t2,
t1 ≈ 1.28，t2 ≈ －0.78 (舍去)．
所以，他最多有 1.28 s 时间来完成规定动作．
6.今有户不知高、广，竿不知长、短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广，袤各几何 (选自《九章算术》)
题目大意:一根竹竿横着比门宽4尺，竖着比门高2尺，斜着与门的对角线恰好相等。门的高、宽以及对角线的长各是多少
设门的对角线长x(x>4次方程。)尺，请根据题意列出一元二次方程。
问题解决
(x 2)2+(x 4) 2=x2
7.查阅资料，了解一元二次方程的发展历史，写一篇小短文。
作业布置
对应课时练习．
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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
习题2.3
知识技能
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x(3x - 1)-1= 0； （2）(2x + 5) (x+1)= x + 7.
解：（1）3x2-x-1=0.
x1+x2= ，x1x2 =－ .
（2）x2+3x-1=0.
x1+x2= -3，x1x2 = -1 .
2. 已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
x1+x2=－ ，
x1x2 = － .
解：由题意，可得
k = -7.
∵ x1= 2，x2 = －.
3. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？
解：由题意，可得 x1+x2 = 17，即两边长之和为 17，小于 20，所以这个三角形的第三边的长不可能是 20.
问题解决
4.查阅资料，了解“韦达定理”，以及法国数学家韦达( ，1540-1603)的生平事迹。
联系拓展
※ 5.把4x2 -x-2 因式分解。
作业布置
对应课时练习．
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Book
Book
11
月
●
口
2
二一载自
月
Concepts
学习内容
二
教言
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任到
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北师版 九年级 数学（上）
第2章 一元二次方程
习题2.4
知识技能
有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
解: 设较多的钱为 x．
由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)．
所以，赛义德得到的钱数为12.
如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？
解: 设经过 t s， △PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
(8－t)(6－t)＝×6×8×，
解得 t1＝2，t2＝12 (舍去)．
所以，经过 2 s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半．
如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深.
解:设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m．
S ＝·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x ＝ 0.78，
解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．
所以，渠深 0.6 m．
解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm．
由题意有 t2＋(21－t)2＝152，
解得 t1＝9，t2＝12．
所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm．
如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？.
5. 某种服装，平均每天可销售 20 件，每件赢利 44 元. 在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售 5 件.如果每天要赢利 1600 元，每件应降价多少元？
解: 设每件应降价 x 元．
(5x＋20)(44－x)＝1600，解得: x1＝4，x2＝36 (舍去)
所以，每件应降价 4 元．
6. 某公司以 64000 元的成本收购了某种农产品 80t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利 122000 元？
解: 设储藏 x 个星期出售这批农产品可获利 122 000 元．
(1200＋200x)(80－2x)－1600x ＝ 122000 ＋64000，
解得 x1＝x2＝15．
所以，储藏 15 个星期出售这批农产品可获利 122000元．
7. 我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率(结果精确到 1%）.
解: 设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 x．
2(1＋x)2 ＝ 3，解得 x1＝-1- (舍去),
x2＝ -1+ ≈ 22.5％．
所以，我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 22.5％.
8. 某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率.
解:设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 x．
2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100,
解得 x1＝0.2＝20％，x2＝－3.2(舍去)．
故该公司 11,12 两个月营业额的月均增长率为 20％．
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第2章 一元二次方程
习题2.2
知识技能
1.用配方法解下列方程：
（1）x2 + 12x +25= 0； （2）x2+4x = 10.
（1）解: 移项，得 x2 +12x = -25．
两边都加62，得 x2+12x+62 = -25+62．
即 (x+6)2 = 11．
两边开平方，得 x+6 =± ．
x1=－6+ x2=－6 － ．
（2）解：两边都加22，得 x2+4x+22 = 10+22．
即 (x+2)2 = 14．
两边开平方，得 x+2 =± ．
（2）x2+4x = 10.
x1=－2+ x2=－2 － ．
（3）x2 - 6x = 11；
（3）解：两边都加32，得 x2-6x+32 = 11+32．
即 (x-3)2 = 20．
两边开平方，得 x － 3 =± 2 ．
x1=3+2 x2=3 －2．
（4）x2-9x +19= 0.
（4）解: 移项，得 x2 -9x = -19．
两边都加 ( )2，得 x2-9x+( )2 = -19+( )2．
即 (x - )2 = ．
两边开平方，得 ．
x1=
x2=
（5）6x2 - 7x + 1= 0；
解：两边同时除以 6，得
x2 - x+ =
配方，得
x2 - x+( 2 - =
移项，得
(x - 2 =
x - =
两边开平方，得
x1= ， x2 =1
（6）5x2 –18 = 9x ；
解：两边同时除以 5，得
x2 - =
移项，得
x2 - =
配方，得
x2 - +( = +(
- =
两边开平方，得
- =±
x1= - ， x2 =3
（7）4x2 –3x = 52 ；
解：两边同时除以 4，得
x2 - =
配方，得
x2 - +( =13+(
( x - =
两边开平方，得
x - =±
x1= 4， x2 = -
（4）5x2 = 4–2x .
解：两边同时除以 5，得
移项，得
配方，得
x2 = -
x2 + =
x2 + +( =+(
( x +=
两边开平方，得
x +=±
x=
（1）2x2 -4x -1 = 0；
2.用公式法解下列方程：
（2）5x + 2 = 3x2 ；
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（1）a = 2，b = -4，c = -1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×2×(-1) = 24 > 0，
∴x= = ，
即x=1
（2）5x + 2 = 3x2 ；
解：（2）将方程化为一般形式，得 -3x2+5x+2=0
a = -3，b = 5，c = 2.
∵ b2 - 4ac = 52 - 4×(-3) ×2= 49 > 0，
∴x= =，
即x1=x2=
（3） ( x - 2 ) ( 3x - 5 ) = 1 ；
解：（3）将方程化为一般形式，得 3x2-11x+9=0
a = 3，b = -11，c = 9.
∵ b2 - 4ac = (-11)2 - 4×3×9= 13 > 0，
∴x= =，
（4） 0.2x2 + 5 = x ；
解：（4）将方程化为一般形式，得 0.2x2- x+5=0
两边同时乘以10，2x2-15x+50=0
a = 2，b = -15，c = 50.
∵ b2 - 4ac = (-15)2 - 4×2×50= -175 < 0，
∴ 方程没有实数根.
用因式分解法解下列方程：
（1）(4x - 1)(5x + 7) = 0； （2）x(x + 2) = 3x + 6；
（3）(2x + 3)2 = 4(2x + 3)； （4）2(x - 3)2 = x2 - 9.
解： （1）
4x - 1= 0 或 5x + 7= 0
即x1=x2=
（2）原方程可变形为
x(x + 2) = 3(x + 2)
x(x + 2) -3(x + 2) = 0
(x + 2)(x - 3) = 0
x1 = 3，x2 = -2.
（3）(2x + 3)2 = 4(2x + 3)； （4）2(x - 3)2 = x2 - 9.
（3）原方程可变形为
(2x + 3)2 - 4(2x + 3)= 0
(2x + 3)(2x + 3 - 4)= 0
2x + 3 = 0 或 2x – 1 = 0
即x1=x2=
（4）原方程可变形为
2(x - 3)2 = (x + 3)(x - 3)
2(x - 3)2 - (x + 3)(x - 3) = 0
(x - 3) [2(x - 3)-(x + 3)] = 0
(x - 3) (x - 9) = 0
x1 = 3，x2 = 9.
解下列方程：
（1）5(x2 - x) = 3(x2 + x) ； （2）(x - 2)2 = (2x + 3)2；
解：（1）原方程可变形为
5x2 - 5x - 3x2 - 3x = 0
2x2 - 8x = 0
2x(x - 4) = 0
x1 = 0，x2 = 4.
（2）原方程可变形为
(x - 2)2 - (2x + 3)2 = 0
(x-2+2x+3)[(x-2)-(2x+3)]= 0
(3x+1)(-x-5) = 0
x1=x2=
解下列方程：
（3）(x - 2)(x - 3) = 12； （4）2x + 6 = (x + 3)2；
解：（3）原方程可变形为
x2 - 5x + 6 - 12 = 0
x2 - 5x - 6 = 0
(x–6)(x + 1) = 0
x1 = -1，x2 = 6.
（4）原方程可变形为
2(x +3) –(x+3)2 = 0
(x + 3) [2 - (x+3)]= 0
(x + 3) (- x - 1)= 0
x1 = -1，x2 = -3.
解下列方程：
（5）2y2 + 4y = y + 2.
（5）原方程可变形为
2y2 + 4y –y - 2 = 0
2y2 + 3y - 2 = 0
(2y - 1)(y + 2) = 0
y1=y2=
（1）5x2 + x = 7 ；
5. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（2）25x2 +20x + 4 = 0 ；
（3） ( x + 1 ) ( 4x + 1 ) = 2x .
解: （1）两个不相等的实数根;
（2）两个相等的实数根;
（3）没有实数根．
6.写一个一元二次方程，并判断这个方程的根的情况。
7. 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
35 m
26 m
8. 游行队伍有 8 行 12 列，后又增加了 69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？
解:设增加 x 行．
(8＋x)(12＋x)－8×12＝69．
x2＋20x－69＝0．
(x＋23)(x－3)＝0．
x1＝－23(舍去)，x2＝3．
所以，增加了 3 行或 3 列．
9. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
解: 设共有猴子 x 只．
(x)2＋12=
x2－x＋12=
得 x1＝16，x2＝48．
所以，共有猴 16 只或 48 只．
10.如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？
解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
(3t＋2t－16)2 ＝ 102－62．
所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm．
解得 t1=t2=
(2)请根据题目情境提出一个新问题，并加以解决。
11.今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，门的高和宽各是多少？
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).
∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
12. 在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？
解:设金色纸边的宽度是 x cm．
解得x1＝－70(舍去)，x2＝5
所以，金色纸边的宽度是 5cm．
13. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.
（1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？
（2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？
x
x
40-2x
解: （1）设鸡场的宽为x m．由题意，得
40 - 2x > 0，
40 - 2x ≤ 25，
∴ 7.5 ≤ x ＜ 20． x(40－2x)＝180，
解得 x1＝10＋，x2＝10－ (舍去)．
即鸡场宽为 ( 10＋ ) m 时，鸡场面积达到 180 m2．
x(40－2x)＝180，
解得 x1＝x2＝ 10．
即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m2．
x
x
40-2x
（2）x(40－2x) ＝ 250，方程无解．
即鸡场面积不能达到 250 m2．
13. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.
（2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？
14 .如图，圆柱的高为 15 cm，全面积（也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
解: 设圆柱底面半径为 r cm．
2πr2＋15×2πr ＝ 200π
解得 r1＝－20(舍去)，r2＝5．
所以，圆柱底面半径为 5 cm．
15. 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？
(1)小明的设计方案如图(1)所示，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽度;
设小路宽为x米。
又因为矩形荒地宽12m，小路宽不能超过荒地的宽，所以x=12不符合实际情况，应舍去，小路的宽度为2m
因为花园四周小路宽度都相等，所以花园的长为(16 2x)米，宽为(12 2x)米。
已知荒地面积为16×12平方米，且花园所占面积为荒地面积的一半，则可列方程：
(16 2x)(12 2x)=×16×12
解得x1 =2，x2 =12。
15. 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？
(2)小亮的设计方案如图(2)所示，其中花园每个角上的扇形都相同，求图(2)中的x。
解：根据圆的面积公式，可得πx2=21 ××12
当π取3.14时，
解得x=≈ 5.5（m）
联系拓展
16. 如图，由点 P (14, 1)，A(a, 0)，B(0, a) (0 < a < 14)为顶点的△PAB 的面积为 18，求 a 的值. 如果 a > 14 呢？
解: 0＜a＜14 时,设BP 所在直线的表达式为 y＝mx＋b．
将 (0, a), (14, 1)代入, 得y= +a
∴ BP 延长线与 x 轴交点坐标为(,0)
∵ S△PAB = 18，
∴ a) -1) = 18，=12, 3
当 a > 14 时，可求得 a 的值为 .
作业布置
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