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第5章 二次函数
复习题
九年级数学BS上
知识技能
1.两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少 利用图象描述乘积与因数之间的关系。
解:设其中一个数为x,则另一个数为6 x，两数的乘积为y.
根据题意,得y=x·(6x)= x +6x= (x 6x)= (x 6x+3 3 )= (x 3) +9.
∵a= 1<0,
∴当x=3时, y最大=9.
图象如图所示.
2. 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y = 2－2x2； （2）y = －3(x－1) 2＋5；
（3）y = 4(x＋3) 2－1； （4）y = x(5－x) ；
（5）y =1＋2x－x2； （6）y = 2x2－7x＋12.
解:(1)原表达式变为y= －2x2 +2,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,2).
(2)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,5).
(3)对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-1).
(4)原表达式为y= x +5x.
∵ ===
对称轴为直线x= ,顶点坐标为(, )
(5)原表达式为y= x +2x+1.
∵ ===
∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2).
(6)∵ == =
∴对称轴为直线x=，顶点坐标为(, )
3.求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证:
(1)y=x +6x+9;
(2)y=9 4x ;
(3)y=(x+1) 9.
解:(1)令y=0,则x +6x+9=0,解得x1=x2= 3,
∴此二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0)，
草图如图①所示.
(2)令y=0,则9 4 x =0,解得x1=1.5, x2= 1.5,
草图如图②所示.
∴此二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1.5,0)， (1.5,0),
(3)令y=0,则(x+1) 9=0,
草图如图③所示.
解得x1 =2, x2 = 4
∴此二次函数的图象与x轴的交点坐标为(4,0)，(2，0),
4.把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少
解:设其中一部分长为xcm，则另一部分长为(120 x)cm，它们的面积和为ycm .根据题意，得
y===-15x+900=
∵a
∴y有最小值
∴它们的面积和最小是450cm .
∴当x=60时，y最小=450
5.物体的动能E(单位:J)与它的质量m(单位:kg)运动速度v(单位:m/s)之间的关系可以用公式E=mv 表示。一辆小轿车的质量为1500kg，行驶速度为10m/s。设该车行驶速度增加xm/s时，它的动能增加yJ。
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)当该车行驶速度分别增加5m/s，10m/s，20m/s时，它的动能各增加多少
解：(1) 由题意，汽车质量 m=1500 kg，原速度 10 m/s，提速后速度为 (10+x) m/s。
y = ×1500(10+x) ×1500×10
∴y 与 x 的函数关系式为：
y=750x +15000x (x≥0)
=750(10+x)2 75000
=750(x +20x+100) 75000
=750x +15000x
(2)当 x=5 时：
速度增加 5m/s、10m/s、20m/s时，动能分别增加93750 J、225000 J 、600000 J 。
y=750×5 +15000×5=93750J
当 x=10 时：
y=750×10 +15000×10=225000J
当 x=20 时：
y=750×20 +15000×20=600000J
6. 自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落距离h (单位：m) 与下落的时间t
(单位： s)之间的关系是h=4.9t2．我们知道，对于同一物体，月球的引力大约是地球引力的 ，因此月球上物体自由下落的距离h (单位： m)与下落时间t (单位： s)之间的关系大约是h=0.8t2.
（1）在同一直角坐标系中画图，分别表示地球、月球上h和t的关系;
（2）比较物体下落4s时，在地球上和月球上分别下落的距离;
（3）比较物体下落10m时，在地球上和月球上分别所需要的时间(结 果精确到0.1s).
解:(1)列表:
t 0 1 2 …
h=4.9t 0 4.9 19.6 …
h=0.8t 0 0.8 3.2 …
描点、连线，图象如图所示.
(2)当t=4时，在地球上,此时h=4.94 =78.4，
(3)当h=10时,在地球上满足10=4.9t ,
在月球上,此时h=0.84 =12.8.
解得t≈1.4;
在月球上满足10=0.8t ,
解得t ≈3.5.
7.求二次函数y=x x 5的图象与一次函数y=2x 1的图象的交点坐标。
请利用函数表达式、表格和图象三种方法求解。
解:(函数表达式法)由y=x x 5与y=2x-1两式联立组成
方程组
y=x x 5
y=2x 1
①
②
将②代入①,得x -x-5=2x-1, x -3x-4=0,
∴(x-4) (x+1)= 0.
∴ x1 =4, x2=-1.
当x1=4时,y1=2x-1=24-1=7.
由此得交点坐标是(4,7),(-1,-3).
∴方程组的解为
x1 =4，
y1=7，
x2 =-1，
y2=-3，
当x2=-1时,y2=2x-1=2 (-1)-1=-3.
列表法
t … -2 -1 0 1 2 3 4 5
y=x -x-5 … 1 -3 -5 -5 -3 1 7 15
y=2x-1 … -5 -3 -1 1 3 5 7 9
∴当x=-1时, y=-3;
6
25
11
7
37
13
…
…
…
当x=4时, y=7,
∴交点坐标为(-1,-3),(4,7).
列表:
如图所示
图象法
由图象知交点坐标为(-1,-3),(4,7).
8.方程x +2x + =0的根与二次函数y= x+2x +的图象之间有什么关系
解:方程x +2x + =0的根就是二次函数
y x +2x + 的图象与x轴交点的横坐标.
9. 利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1）x2 +11x = 9； （2）x2 + 3x = 20；
（3）x2 + 2x －9= 0； （4）x2+3 = 3x.
解:(1)原方程可化为x2+11x-9=0.由函数y=x2+11x-9的图象可知方程有两个根(图略).一个在-12和-11之间，另个在0和1之间.
因此, x=-11.8是方程的一个近似根.
x -11.1 -11.2 -11.3 -11.4 -11.5 -11.6 -11.7 -11.8
y -7.89 -6.76 -5.61 -4.44 -3.25 -2.04 -0.81 0.44
①求-12和-11之间的根，利用计算器进行探索:
②另一个根可以类似地求出:
因此，x=0.8是方程的另一个近似根.
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -7.89 -6.76 -5.61 -4.44 -3.25 -2.04 -0.81 0.44
(2)原方程可化为x2+3x-20=0.
由函数图象可知方程有两个根，一个在-7和-6之间，另一个在3和4之间.
作二次函数y=x2+3x-20的图象如图所示.
①求-7和-6之间的根，利用计算器进行探索:
x -6.1 -6.2 -6.3
y -1.09 -0.16 0.79
因此，x=-6.2是方程的一个近似根.
②另一个根可以类似地求出:
x 3.1 3.2 3.3
y -1.09 -0.16 0.79
因此，x=3.2是方程的另一个近似根.
(3)作二次函数y=x2+2x-9的图象如图所示.
由函数图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
①求-5和-4之间的根，利用计算器进行探索:
x -4.1 -4.2
y -0.39 0.24
因此, x=-4.2是方程的一个近似根.
②另一个根可以类似地求出:
x 2.1 2.2
y -0.39 0.24
因此，x=2.2是方程的另一个近似根.
(4)原方程可化为x2-3x+3=0.
由图可知方程无实数根.
作二次函数y=x2-3x+3的图象如图所示.
数学理解
10.正方形的边长是x，面积是A，周长是l。
(1)分别写出A， l与x之间的关系式。
(2)在同一平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象，比较它们的变化趋势。
(3)你所画的函数A= x2的图象与函数y= x2的图象有什么不同 为什么
解:(1)由题意知, A=x ,l=4x.
(2)列表:
描点、连线,图象如图所示,在交点(4,16)右边, x2增大的速度比4x快得多.
x 0 1 2 3 4 …
A 0 1 4 9 16 …
l 0 4 8 12 16 …
(3)A= x2的图象只是抛物线的一部分,而y= x2的图象是整条抛物线.
这是由于它们自变量的取值范围不同而造成的.
11.已知平行四边形的高与底边的比是h:a=2:5，写出平行四边形的面积S与它的底边a之间的关系式，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况。
解:由题意知，S=ah.
∵h:a=2:5,
=
h=
列表:
描点、连线，图象如图所示.
由图象发现，面积S随底边a的增大而逐渐增大。
a 0 1 2 3 …
S 0 …
12. 如图，从斜坡O点处抛出一个小球，球的运动路线可以用二次函数 y = 4x－ x2刻画，斜坡可以用一次函数 y = x 刻画.
（1）求小球到达的最高点的坐标;
（2）小球的落点是A，求点A的坐标.
解：（1） － =4，=8
∴小球到达的最高点的坐标为(4,8).
(2)根据题意,得x=4x-x ,解得x1=0,x2=7.
当x=0时，y=0；当x=7时，y=
∴抛物线与直线的交点坐标为(0,0)，（7， ），
∴点A的坐标为（7， ）。
问题解决
14. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15
m，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大 最大面积是多少
解:设AB=xm,所围成的矩形面积为ym ,则BC=(15-x)m.
根据题意，得y=x(15-x)=-x +15x(0∴当x=-=7.5时，y最大 =56.25。
因此，当AB=7.5m时，所围矩形的面积最大，最大面积是56.25m
14.如图（单位:m)，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2.
（1）写出y与x的关系式;
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间
解:(1)如图所示，设经过xs时三角形与正方形重叠部分的面积为ym ，则点C从点E到现在位置为2xm,即EC=2xm.
ABC为等腰直角三角形，
∴当x= =2
∴ BCA=45°.
∵DEC=90°,
∴为等腰直角三角形，
∴ GE=EC=2xm，
(2)当x=2时,y=2×2 =8;
当x=3.5时,y=2 × 3.5 =24.5.
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，y= × 10 =50,
即 2x =50,解得x=5.
因此当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5s.
15.下表呈现了某竖直上抛物体的高度h(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的部分关系数据:
t/s 1 5 10 15 20 25
h/m 155 635 1010 1135 1010 635
(1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立平面直角坐标系，并描出上述各点。
t/s 1 5 10 15 20 25
h/m 155 635 1010 1135 1010 635
(2)你能根据第(1)题坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗
(3)你能确定h关于t的函数表达式吗
(4)你能求出该物体运动的最大高度吗 你是根据哪种表示方式求解的
（1）以时间 t 为横轴、高度 h 为纵轴建立平面直
角坐标系，描出以下各点：
(1,155)、(5,635)、(10,1010)、(15,1135)、(20,1010)、(25,635)。
（2）由各点的变化趋势及对称性可知，h 关于 t 的函数类型为 二次函数。
（3）函数表达式为 h= 5t +150t+10；
（4）对于二次函数 h= 5t +150t+10，其中 a= 5<0，抛物线开口向下，顶点为最高点。
顶点的横坐标为：t= = =15
将 t=15 代入函数表达式：
h= 5×15 +150×15+10=1135
答：该物体运动的最大高度为 1135m，根据二次函数的 顶点公式（或顶点式）求解。
16.如图，喷水池的喷水口位于水池中心，离水面高为0.5m，喷出的水流呈抛物线形状，最高点离水面 m，落水点离池中心1 m.
请建立适当的直角坐标系，用函数表达式描述左右两边的两条水流，并说明自变量的取值范围.
解:建立平面直角坐标系如图所示.
设右边水流的表达式为y=a(x-h) +
因为图象过A(0.0.5),B （h，）,C(1,0)三点，
因此
ah
a（1-h）
因为a≠0,h≠0,由÷ ,得
所以
所以
把
变形为
ah
a（1-h）
由对称性，得左边水流的表达式为y=
自变量的取值范围是-1≤x≤0.
所以右边水流的函数表达式为
自变量的取值范围是0≤x≤1.
y=（x-）
17. 把一个数a拆成两数之和，何时它们的乘积最大 你能得出一个一般性的结论吗
解:设其中一个数为x，则另一个数为a-x，设其乘积为y.根据题意，得y=x(a-x)=-x +ax.
当x=-=
因此把一个数拆成两数之和，当这两个数相等时，它们的乘积最大.
18. 相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框的长为26 cm，宽为22 cm，相框边的宽为x cm，相框内的面积为y cm2.
（1）写出y与x的函数关系式；
(2)用图象表示y与x之间的关系;
（3）当x =1，1.5，2时，分别可以放
入多大的相片
解:(1)根据题意，得
y=(26-2x)·(22-2x)=4x -96x+572(0(2)
(3)当x=1时,可放入24 cm×20cm的相片;
当x=1.5时,可放入23 cm×19 cm的相片;
当x=2时,可放入22 cm×18 cm的相片.
19.竖直向上发射的物体的高度h（单位：m）满足关系式h = -5t2+ v0t，其中t (单位： s)是物体运动的时间，v0 （单位： m/s）是物体被发射时的速度. 某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m，喷水的速度应该达到多少 （结果精确到0.01 m/s ）
解:由题意知，该抛物线的最高点的纵坐标为
=15，
17.32或-17.32(不合题意,舍去).
因此，喷水的速度应该达到17.32m/s.
20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C到路面AA1的距离为8m。
(1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式。
(2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m。如果该隧道内设双向行车
道，那么这辆货车能否安全通过
解:(1)由题意可知抛物线的顶点坐标是(0,8)，又抛物线过点B1(8,6)，
则6=a×8 +8
∴该抛物线的函数表达式为y=- +8(-8≤x≤8).
设该抛物线的函数表达式为y=a +8(a≠0)，
∴a= -
(2)∵设双向行车道，汽车只能走一个车道，
∴将x=±4代人函数表达式，得y=7>7.
因此，这辆货车能安全通过这个隧道.
21.如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆。已知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为45m，水平距离为83m。按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线y=- +2x+45。该运
动员这次起跳后在空中飞行的
最大高度是多少 着陆时他能越
过K点吗
解：（1）已知运动轨迹为抛物线：y= x + x+45
这是开口向下的二次函数，其顶点的纵坐标即为最大高度。
答:运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是50m。
先求顶点的横坐标：
x= = =20
再将 x=20 代入抛物线方程，求顶点纵坐标：
y = ×20 + ×20+45= +10+45= 5+10+45=50
（2）已知K点的水平距离为x=83m，将x=83代入抛物线方程，计算运动员在该位置的高度:
y=- ×83 + ×83+45=-
因为0.3875>0，说明运动员在x=83m处的高度高于K点的高度，因此能越过K点。
22如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即AB=CD。主桥AC长为600m，缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m。请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度。
解:以桥面为x轴，缆索最低点M为原点建立平面直角坐标系。
将(100,13)代入得13=10000a+3，解得a=
∴y=
当x=300时，y=+3=93
答:索塔在桥面以上部分的高度为93m。
设抛物线表达式为y=ax +3，
联系拓展
23. 如图，在△ABC中，AB= AC= 10，BC=12. 在△ABC中截出一个矩形DEFG，其中D，G分别在AB和AC边上，EF在BC边上.设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，列出表格，并画出相应的图象. 根据三种表示方法回答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是什么？
（2）图象的对称轴和顶点坐标分
别是什么？
（3）你能描述y随x的变化而变化
的情况吗？
解:如图所示,过点A作AMBC，交BC于点M.
∴BM=MC=BC=×12=6.
在RtAMB中,AMB=90°
∵AB=AC,
又∵ AB=10,
由勾股定理，得AM +BM =AB .
∴AM==.
∵ DG//BC,
∵ DG=EF= ,
∴
又∵ DE//AM,
∴
∵ DE=AM·=8×=
∴ △ADG
∴
∴ △B
∴S矩形DEPG=EF·DE=x·=-
即y= -
∴ y与x之间的函数表达式为y= -
∴ y= -（）
=-（+6 + 6 ）
=-
列表:
画出函数图象，如图所示.
x 0 3 6 9 12
y 0 18 24 18 0
(1)自变量x的取值范围是0(2)二次函数图象的对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,24).
(3)当0当x=6时，y的值达到最大值24;
当624.某种蔬菜的每千克售价与销售月份之间的关系如图(1)所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图(2)所示[图(1)中的图象是线段，图(2)中的图象是抛物线]。哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益(收益=售价-成本)最大
解:设蔬菜的销售单价y(元)与月份x的函数表达式为
y=kx+b（k），
∴
5=3k+b，
3=6k+b，
解得
k=
b=7
∴y=x+7（x=3,4,5,6）
设蔬菜成本m(元)与月份x的函数表达式是
m=a（x-h） +n（ a）
由题意,得h=6,n=1，
∴4=a×（3-6） +1，
∴a=
∴m=
每千克的收益W与x的函数表达式为
W=y-m=
∴ W= + 6
∵ =
∴ 5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大.
(2)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，用m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n之间的关系是什么
25（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
解:(1)从第1个图形到第5个图形中小圆圈的个数分别为1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15,
因而,第6个图形中小圆圈的个数是1+2+3+4+5+6=21.
m= n（n+1）+
26. 求如图所示的图形中小圆圈的总数.
解:由= 知图形中小圆圈的总数为+3 =121
27.结合函数的学习经验，撰写一篇小短文，谈谈你对函数研究方法的感悟。
解：答案合理即可
完成对应课时练习
完成作业
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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