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第5章 二次函数
习 题5.3
九年级数学BS上
知识技能
1. 已知二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，且经过点(－1，0)，求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x-2) +3，
∴ a = -
这个二次函数的表达式为y=-x +
y=-（x-2） +3=-x +
∵其图象过点(-1,0)，
∴ a×(-1-2) +3=0,
∴9a+3=0,
2．已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为－2和
1，且经过点（0，3），求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-1)，
∵其图象过点(0,3)，
∴ -2a = 3
∴ a = -
y=-（x+2）（x-1）=-x -
这个二次函数的表达式为y =-x -
问题解决
3. 某高尔夫球手击出的高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24 m时，达到最高点；落球点与击球点在同一水平面上，它们的水平距离为50 m.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求球的高度h(单位：m)关于水平距离x (单位： m）的二次函数表达式；
（2）与击球点相比，球运动到最
高点时有多高？
解:(1)取击球点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知,球的运动路线经过点O(0,0),A(48，0),
B(50,-1).
设二次函数的表达式为h=a(x-0)(x-48)
又∵抛物线过点B(50,-1)，
∴ -1=a(50-0)×(50-48),
∴ h=-x（x-48） =-x + x（050）
∴高度h关于水平距离x的二次函数表达式为
h=x + x（050）
∴ a=-
(2)当x=24时,球运动到最高点，此时
h=-×24 +
∴与击球点相比，球运动到最高点时有5.76m高.
4. 一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整根铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大
解:如图所示,设AB的长为xm，则AD的长为m(0根据题意，得S==- +3x=-（x-1） +
∵-<0，
x
x
x
∴S有最大值.
x
x
x
当x=1时,S的最大值为
此时AD的长为==
∴ AB,AD的长分别为1m, m时，窗户的面积最大
5. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB = 20 m，当水位上升3m时，水面宽CD = 10 m.
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
解:(1)设函数表达式y=ax (a≠0),B(10,y1),D(5,y2).
所以5 a-10 a=3,
即此抛物线的函数表达式为y=-
解得a=-
根据题意，得y2 - y1 =3，
（2）有一条船以5km/h 的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥
解：=7（h），0.25 7=1.75<3，能通行。
所以该船的速度不变，能安全通过此桥.
6. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的单价就降低10
元．请你帮忙算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
解:设旅游团的人数为x，旅行社可获得营业额为y元.
当x=-=55时，y最大= =30250
因此，当一个旅游团的人数是55时，旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是30250元.
根据题意,得y=x[800-10(x-30)]=-10x +1100x.
∵x≥30,且800-10(x-30)>0,
∴30≤x<110.
7. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．商店将销售单价定为多少时，每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
解:设销售价定为x元，每天所获销售利润为y元，
则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x +280 x -1600=-10(x-
14) +360.
∵x≥10,且100-10(x-10)>0,
∴10≤x<20.
∴当x=14时,y最大=360.
因此，将销售价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元.
8. 在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值.例如，在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位:cm)是:
6.5 5.9 6.0 6.7 4.5
那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数
y=(x－6.5)2+(x－5.9) 2+(x－6.0) 2 +(x－6.7) 2+(x－4.5) 2为最小值的x值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度.
解:整理,得y=5x -59.2x+178.2,
当x=-,y有最小值.
因此，大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.
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第5章 二次函数
习 题 5.1
九年级数学BS上
知识技能
1.小球在某个斜坡上由静止开始向下滚动，它在斜坡上滚动的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系是S=0.2t 。
(1)当时间为2s时，小球在斜坡上滚动的路程是多少
(2)若斜坡长5m，则小球何时到达斜坡底部
解：(1) 求 t=2 s 时的路程
已知关系式 s=0.2t ，将 t=2 代入：
s=0.2×2 =0.2×4=0.8 m
答：当时间为 2 s 时，小球滚动的路程是 0.8 m。
(2) 求小球到达底部的时间
已知斜坡长 5 m，即 s=5 m，代入关系式：
5=0.2t
两边同时除以 0.2：t = =25
因为时间 t>0，所以：t= =5 s
答：小球在 5 s 时到达斜坡底部。
数学理解
2.举出一个生活中有关二次函数的例子。
解:答案不唯一，例如，篮球运动员在篮下投篮，篮球出手后它的高度与运动时间之间是二次函数关系.
问题解决
3.某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m，长方体的长和宽用x(单位:m)表示。
(1)长方体的表面积S(单位:m )与x之间的关系式是什么
(2)如果每平方米涂漆所需要的费用是5元，每个长方体所需涂漆费用用y(单位:元)表示，那么y与x之间的关系式是什么
解:已知长方体的宽为 x m,长为 x m,则高为(x+0.5) m.
(1)根据题意,得 S = 2x·x+4(x+0.5) · x = 6x2+2x.
(2)根据题意,得 y = 5S = 30x2+10x.
4.2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万km ;2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约3%。
（1）2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米(结果精确到0.1万km )
（2）如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万km2 ，那么y与x之间的关系式是什么
（1）解：2020 年治理面积为 6 万 km ，2021 年增长 3%：
答：2021 年新增水土流失治理面积约为 6.2 万 km 。
6×(1+3%)=6×1.03=6.18≈6.2 (万 km )
（2）解：2021 年治理面积为 6.2 万 km ，2022-2023 年年均增长率为 x，则：
2022 年治理面积：6. 2(1+x)
2023 年治理面积：6. 2(1+x)(1+x)=6.2(1+x)
因此，y 与 x 的关系式为：y=6.2(1+x) (x>0)
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第5章 二次函数
习 题 5.2
九年级数学BS上
知识技能
1.设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随着a的变化而变化的图象。
解：S 与 a 的函数关系为S = a2(a＞0).画二次函数S=a2(a ＞ 0)图象的步骤如下：
(1)列表：
a 1 2 3 ···
S 1 4 9 ···
(2)描点、连线，图象如图所示.
2.（1）二次函数 y = x2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和不同
（2）二次函数 y = -3x2 的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，再画一画.
（1）解:二次函数y =x2的图象与二次函数y=3x2的图象的相同点:图象都是抛物线,抛物线的开口都向上,顶点坐标都是(0,0),都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线 x=0).不同点:两者的开口大小不同,函数y =3x2的图象在函数y=x2的图象的内侧.
（2）解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y= 3x2的图象都是抛物线，并且形状相同，都是轴对称图形，对称轴都是y轴(或直线x=0)，顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同，二次函数y=-3x2的图象的开口向下，而二次函数y=3x2的图象的开口向上，二次函数y=-3x2的图象与二次函数y= 3x2的图象关于x轴成轴对称，图象如图①所示.
二次函数y= - x2的图象与二次函数y= x2的图象都是抛物线，并且形状相同，都是轴对称图形，对称轴都是y轴(或直线x=0)，顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同，二次函数y= - x2的图象的开口向下，而二次函数y= x2的图象的开口向上，它们关于x轴成轴对称, 如图②所示.
3．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证:
（1） y=－ x2－1； （2）y=－0.5 (x+1)2；
（3） y=－ (x－3)2 （4）y=2(x－2)2+5；
（5） y=2(x－3)2－5； （6） y=0.5(x+4)2＋2；
（7） y=2x2 － 4x－1； （8）y= － 3(x+3) (x+9) .
(1)开口向下,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,-1).
(2)开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).
(3)开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0).
(4)开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，5).
(5)开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3，-5).
(6)开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-4，2).
(7)开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，-3).
(8)开口向下,对称轴为直线x=-6,顶点坐标为(-6，27).
4. 二次函数y= － 3（x － ） 的图象与二次函数y=－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
解:二次函数y= － 3（x － ） 的图象可以看成是由二次函数y= － 3x 的图象向右平移个单位长度得到的，它们的形状相同，开口都向下，只是位置不同.
二次函数y= － 3（x － ） 的图象是轴对称图形，它的开口向下,对称轴是直线x=，顶点坐标是（）
数学理解
5.点A(2，4)在二次函数y=x 的图象上吗 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标。点B，C，D在二次函数y= x 的图象上吗 在二次函数y=-x 的图象上吗
解：点A在二次函数y=x2的图象上；B(2,-4)，C(-2,4)，D(-2,-4)；点C在二次函数y=x2的图象上，点B，D不在二次函数y=x2的图象上，点B，D在二次函数y=-x2的图象上，点C不在二次函数y=-x2的图象上.
6．怎样由二次函数y =2x2的图象得到二次函数y = 2 (x －1)2+3的图象？对于二次函数y = 2 (x－1)2+3，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
解:将y= 2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=2
(x-1) 2+3的图象.
对于函数y=2(x-1) 2+3,当x>1时，y的值随x值的增大而增大;
当x<1时，y的值随x值的增大而减小.
7．分别写出符合下列条件的二次函数表达式:
（1）两个函数的图象都不经过第三、四象限；
（2）两个函数的图象只有顶点坐标不同.
解:(1)答案不唯一.
提示:一般地,形如y=a(x-h) +k(a>0,k≥0)的二次函数图象都不经过第三、四象限.
如y=x 和y=x +2.
(2)答案不唯一.
如二次函数y=2(x-3) +4与y=2(x-3) +3的图象只有顶点坐标不同。
提示:形如y=a(x-h) +k的二次函数图象，当a,h取值相同，k取值不同时，都符合要求.
8. 将二次函数y = x2－2x＋1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2＋ bx ＋c，求b，c的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证.
解:y= x2－2x＋1 =(x-1) 2,将二次函数y= x2－2x＋1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到y=(x-1+3) 2+2,即y=(x+2) 2+2的图象.
整理，得y=x2+4x+6.由题意可知y=x2+bx+c，
所以x2+4x+6=x2+bx+c,可得b=4,c=6.
所以抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2，2).
草图略.
因为二次函数的表达式为y=(x+2) 2+2
问题解决
9.某物体由静止竖直向上运动，物体的高度h(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的关系可以用公式h=-5t 十150t十10表示。经过多长时间，
物体到达最高点 最高点的高度是多少
解：h= 5t +150t+10
∵a= 5<0，抛物线开口向下，顶点为最高点。
由顶点横坐标公式：
t= = =15
把 t=15 代入解析式：
h= 5×15 +150×15+10=1135
答：经过 15 秒物体到达最高点，最高点高度为 1135 米。
10.如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称。按照图中的平面直角坐标系，y轴左侧的一条抛物线可以用y=x +x+10表示。
y/m
x/m
桥面
10
-5 O 5
分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左、右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式
是一般形式，所以应先进行配方化为
y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．
y/m
x/m
桥面
10
-5 O 5
解: y=x +x+10
顶点坐标x= － = － = － 20
顶点坐标y==
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
y/m
x/m
桥面
10
-5 O 5
11.射水鱼以陆生昆虫为食。它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中2m以内的昆虫。如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如图)。在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度y(单位:cm)与向前运动的水平距离x(单位:cm)
的关系可以近似地表示为y= 0.1x 十4x。根据这一关系回答下列问题。
(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它向上运动的高度逐步上升 当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它向上运动的高度逐步下降 水珠运动的最大高度是多少
(2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼
正前方水平距离20cm、高度50cm处，
那么这次射出的水流能否击中这只昆虫
解： （1）对于 y=ax +bx+c，对称轴公式：
x= = =20
抛物线开口向下，因此：
当 0当 20当 y=0 时，解得 x=0 或 x=40，即水流的水平运动范围为 0≤x≤40。
将 x=20 代入解析式：
y= 0.1×20 +4×20= 40+80=40
因此，水珠运动的最大高度为 40 cm。
当 x=20 时，水流的高度为：
（2）昆虫位置为水平距离 x=20 cm，高度 y=50 cm。
y= 0.1×20 +4×20=40 cm
40 cm<50 cm，即水流在该水平距离处的高度低于昆虫的高度，因此不能击中这只昆虫。
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第5章 二次函数
习 题5.4
九年级数学BS上
知识技能
1.求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证:
（1）y=
（2）y=
解（1）当y=0时，
∵b 4ac=（ 1） 4× × 3<0，
∴函数的图象与x轴没有交点.
列表如下：
x … 2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 7 4.5 3 2.5 3 4.5 7 …
描点、连线，草图如图所示.
（2）当y=0时， 2
解得
∴函数y=-2x +20x一49的图象与x轴的交点坐标为
x … 4 5 6 7 …
y … 7 1 1 1 7 …
列表如下：
描点、连线，草图如图所示.
由两函数图象可以看出抛物线y=与x轴没有交点，抛物线y=与x轴有两个交点.
2.二次函数y=x +bx 1(b为常数)的图象与x轴相交吗 如果相交，有几个交点
解:一元二次方程x +bx-1=0的根的判别式=b +4>0，
因此二次函数y=x +bx-1(b为常数)的图象与x轴相交，有两个交点.
3．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
（1）2x2+x－15 = 0；
（2）3x2－x－1 = 0.
解:(1)原方程的近似根为x1= － 3, x2=2.5.
(2)原方程的近似根为x1=0.8, x2= － 0.4.
数学理解
4.一元二次方程x2 － 6x+4=1的根与二次函数y=x 2 － 6x+4的图象有什么关系 试把方程的根在图象上表示出来。
解:一元二次方程x 2 － 6x+4=1的根是二次函数
y=x 2 － 6x+4的图象与直线y=1的交点的横坐标.
以下作函数y= x2 － 6x十4的图象.
列表:
描点、连线，图象简图如图所示，方程两根为点A,B的横坐标
x … 1 2 3 4 5 6 …
y … 4 －1 －4 －5 －4 －1 4 …
5.二次函数y= － x2 +3x + 1的图象与一次函数y= － x + 4的图象如图所示，方程－ x 2 +3x + 1=
－ x + 4有解吗 如果有，请直接写出;如果没有，请说明理由。
方程 x 2 +3x+1= x+4 有解。
方程 x 2 +3x+1= x+4 的解，就是二次函数 y= x 2 +3x+1 与一次函数 y= x+4 图象交点的横坐标。
由图可知，两函数图象交于两点，交点的横坐标分别为 x=1 和 x=3。
因此，方程的解为 x1 =1，x2 =3。
问题解决
6. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位： m)之间的关系式是y= x 2 +2 x + (x>0)。柱子OA的高度为多少米？
若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
x/m
x/m
解:当x=0时，y=
令 x 2 +2 x +
因此，水池的半径至少为m，才能使喷出的水流不至于落在池外.
∴柱子OA的高度是m.
x1=，x2=（不合题意，舍去）
联系拓广
7.利用二次函数y=2x 2的图象与一次函数y=x + 2的图象，求一元二次方程2x 2 =x + 2的近似根。
解:如图所示,由图象可知方程2x 2 =x+2
即2x 2 x 2=0有两个根，一个根在 1和0之间，另一个根在1和2之间.
(1)求 1和0之间的根，,利用计算器进行探索:
x 0.9 0.8 0.7 0.6
2x 2 x 2 0.52 0.08 0.32 0.68
因此, x= 0.8是方程2x 2 =x+2的一个近似根.
(2)求1和2之间的根，利用计算器进行探索:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
2x 2 x 2 0.68 0.32 0.08 0.52
因此, x=1.3是方程2x 2 =x+2的另一个近似根.
∴一元二次方程2x 2 =x+2的近似根为
x1= 0.8, x2=1.3.
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第5章 二次函数
习 题5.5
九年级数学BS上
1.在本节的问题中，如果外墙长为20m，那么怎样围能使矩形鸭舍的面积为200m ~400m 请画图说明。
解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (40 2x) m。
由题意，得：
0<40 2x≤20
解得：10≤x<20。
鸭舍面积：S=x(40 2x)= 2x +40x
∵a= 2<0，对称轴为 x=10，
∴ 在 10≤x<20 范围内，S 随 x 增大而减小。
当 x=10 时，Smax =10×(40 2×10)=200 m 。
答： 只能围成面积为 200 m 的鸭舍，无法围成大于 200 m 且不超过 400 m 的鸭舍。
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Concepts
学习内容
二
教言
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