资源简介

(共13张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
习题3.5
知识技能
1.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形。
图略
以这三个点为顶点的三角形与△OBC位似
2.在平面直角坐标系中，△OBC各顶点的坐标分别是O(0,0)，B(6,0)，C(8,4)。将点O，B，C的横坐标、纵坐标都乘 ，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OBC位似吗？
解：将点O，B，C的横坐标、纵坐标都乘 ，得到O(0,0)， B′ (3,0)， C′ (4,2)
3. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出五边形OBCDE的位似图形，使它与五边形OBCDE的相似比为1:2。比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？
B'
C'
D'
E'
解：画出五边形OB′C′D′E′（各顶点坐标分别为O(0,0)，B′( 1,3)，C′(1,4)，D′(4,2)，E′(3,0)），发现五边形OB′C′D′E′各顶点的横、纵坐标是五边形OBCDE对应顶点横、纵坐标的 ；在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的两个位似图形，当相似比为k时，位似图形对应点的横、纵坐标分别是原图形对应点横、纵坐标的k或 k。
数学理解
在平面直角坐标系中，五边形 OBCDE与五边形 OFGHJ位似，位似中心是原点 O，五边形 OBCDE与五边形 OFGHJ的相似比是 k，这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离有什么关系？
解：这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离之比等于k。
在平面直角坐标系中，四边形 OBCD与四边形 OEFG位似，位似中心是原点O。已知C与F是对应顶点，且C，F的坐标分别是C（3，7），F（9，21），那么四边形 OBCD与四边形 OEFG的相似比是多少？四边形 OEFG与四边形 OBCD的相似比呢？
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，相似比等于对应点坐标的比。
四边形OEFG与四边形OBCD的相似比是四边形OBCD与四边形OEFG相似比的倒数，即3:1。
已知C(3,7)，F(9,21)，则=， = ，所以四边形OBCD与四边形OEFG的相似比是1:3。
问题解决
6.九（1）班的同学们筹备一次主题班会，为了活跃气氛，他们想把下面的两个图样放大，使得放大前后对应线段的比为1:2，然后做成各种彩纸图片。请你帮助他们画出放大后的图样。
图略
7.图形的位似与图形的平移、旋转、轴对称有什么联系和区别？请以此为主题写一篇小短文。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine(共28张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
习题3.4
知识技能
解：∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
1.△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线。已知AD=8 cm，A′D′=3 cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比。
解：∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
已知△ABC∽△A′B′C′，AD=8 cm ，A′D′=3 cm ，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为AD:A′D′=8:3。
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴△ABC与△A′B′C′对应高的比也为8:3。
如图，在 △ABC中，D为AB边上一点，且 ∠ACD=∠B，△ABC的角平分线AE交CD于点F。已知 AB=5，AC=4，AF=3，求EF的长。
解：∵∠ACD=∠B，∠CAE=∠BAE（AE是△ABC的角平分线），△ACF △ABE（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，则有=。
已知AB=5，AC=4，AF=3，
代入=可得：= ，
即4AE=15，解得AE= 。
∵ EF=AE AF，∴EF= 3= = 。
3.如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。
(1)中线AG与DH的比是多少？
(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？
解（1）∵AB=2DE，AC=2DF，∴ = =2。
又∵ ∠BAC=∠EDF，（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得△BAC △EDF。
由于AG，DH分别是△ABC，△DEF的中线，（相似三角形对应线段的比等于相似比），可知中线的比等于对应边的比，
∴ = =2，
即中线AG与DH的比是2:1。
(2) 因为△ABC △DEF，根据相似三角形的性质（相似三角形面积比等于相似比的平方），
已知相似比 =2，所以=()2=22=4，
即△ABC与△DEF的面积比是4:1。
4.如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF = 2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比。
解：∵Rt△ABC Rt△EFG，
∴= ，且∠ACB=∠EGF。
已知EF=2AB，则=，∴ =。
∵BD和FH分别是Rt△ABC和Rt△EFG的中线，在Rt△ABC中，BD= AC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），CD= AC，
∴BD=CD，∠CBD=∠DCB；
同理在Rt△EFG中，FH=GH，∠GFH=∠HGF。
又∵∠DCB=∠HGF，∴∠CBD=∠GFH。
在△BDC和△FHG中，∠CBD=∠GFH，∠ACB=∠EGF，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BDC △FHG。
由相似三角形的性质可知，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
∵= ，即相似比为，
∴△BDC与△FHG的周长比为1:2，面积比为12:22=1:4。
问题解决
5.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm。他准备了一支 20cm 长的蜡烛，想要得到5cm 高的像，蜡烛应放在距离纸筒小孔端多远的地方
解：设蜡烛应放在距离纸筒小孔端xcm远的地方。
已知蜡烛长AB=20cm，纸筒长度（像到小孔的距离）OF=15cm，像高CD=5cm，蜡烛到小孔的距离为OE=xcm。
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，那么△OAB △ODC。
由相似三角形对应高的比等于相似比，
可得= = ，即= 。
解得x=60。
如图，在△ABC中， ∠BAC=90°，AD是△ABC的高，DE是△ACD的高，图中哪些线段的比等于 ？
在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，DE是△ACD的高。
∵∠BAC=∠ADC=∠DEC=90°，且∠C为公共角。
∴△ABC∽△DAC∽△EDC。
由△ABC∽△DAC可得： = 。
由△DAC∽△EDC可得： =
由△ABC △EDC可得： = 。
综上， 、、的比值等于 。
7.一块三角形土地的一边长为 120m，在地图上量得它的对应边长为 0.06 m,这边上的高为 0.04 m，求这块地的实际面积。
解：设实际高为H，由，
可得= =80 m。
再根据三角形面积公式，
实际面积S= ××80 =4800 m2
8.一只小风筝与一只大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知它们的对应边之比为1:3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm和14 cm。
(1)小风筝的面积是多少？
(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料（不计损耗）？
解：（1）∵对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm，
∴小风筝的面积为×12×14=84cm 2 。
解：（2）∵小风筝与大风筝形状相同，对应边之比为1:3，那么对应对角线之比也为1:3。
∵小风筝两条对角线长分别为12cm和14cm，
∴大风筝两条对角线的长分别为12×3=36cm，14×3=42cm。
∴在大风筝内装设连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，其长度为两条对角线长度之和，
即36+42=78cm。
8.一只小风筝与一只大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD。已知它们的对应边之比为1:3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm和14 cm。
(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
解：（3）由图可知，刚好覆盖大风筝的矩形彩色纸裁剪后，从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积等于大风筝的面积。
∵大风筝两条对角线长分别为36cm和42cm，
∴根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，可得大风筝的面积为×42×36=756cm2 ，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是756cm2 。
联系拓广
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC。
(1) 若AD:DB=1:1，则S△ADE : S四边形DBCE 等于多少？
(2) 若S△ADE =S四边形DBCE ，则DE:BC，AD:DB各等于多少？
解：（1）∵DE∥BC， ∴ △ADE △ABC。
∵AD : DB=1:1，∴AD : AB=1:(1+1)=1:2。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
可知S△ADE∶ S△ABC =( )2=( ) 2 = 。
设S△ADE =k，则S△ABC =4k，
那么S四边形DBCE = S△ABC－ S△ADE =4k k=3 k
∴ S△ADE : S四边形DBCE =k:3k=1:3。
(2) ∵S△ADE = S四边形DBCE ，设S△ADE = S四边形DBCE =m，
则S△ABC = S△ADE + S四边形DBCE =m+m=2m。
∵ △ADE △ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得( )2= = = ，
∴ == 。
又∵ = = ，设AD=x，则AB=2x，DB=AB AD=2x x=(2 )x。
∴ == =+1。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine(共25张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
习题3.1
知识技能
1.如图，在△ABC中，D，E 分别是 AB 和 AC 上的点，AB= 12 cm，AE = 6 cm，EC = 5 cm，且 = ，求AD的长.
设AD的长度为xcm。
因为AB=12cm，且BD=AB AD，所以DB=(12 x)cm。
又因为 = ，AE=6cm，EC=5cm，
代入比例式可得
= ，解得
2. 如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，它们的相似比是2:3，已知AB =3cm，BC=5cm，求EF，FG的长。
因为矩形ABCD∽矩形EFGH，所以 ==
已知AB =3cm，BC=5cm，
由可得，EF= = 4.5cm
由可得， FG = = 7.5cm
所以，EF=4.5cm，FG =7.5cm
3. 一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如下图所示，镶在它外围的木质边框宽7.5cm。边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
A
D
（3+0.075×2）m = 3.15 m
直观有时是不可靠的
1.5︰3 ≠ 1.65︰3.15
A
B
C
D
E
F
G
H
3m
（1.5+0.075× 2）m = 1.65m
1.5m
A
B
C
D
4.在菱形ABCD与菱形EFGH中，∠A= ∠E，这两个菱形相似吗，为什么？
解：∵在菱形ABCD与菱形EFGH中，设∠A=∠E=α，
∴∠C=∠G=α，∠B=∠F=180°- α，
∠D=∠H=180°- α，
即菱形ABCD与菱形EFGH的对应角相等；
又∵菱形的四条边都相等，∴两菱形的对应边成比例，
即菱形ABCD与菱形EFGH的对应边的比相等，
∴菱形ABCD与菱形相似．
5. 已知 = = = (b+d+f≠0) ，求 的值.
解：已知 = = = (b+d+f≠0)
则 = =
6. 如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比.
解： AB = =2；DE = =
BC = =2；DC = =
AC = =2；EC = =
△ABC与△EDC的周长比为
7.以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，求新正方形与原正方形的相似比.
解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，
∴AE = AH = a，
∵∠A = 90，
∴EH = = ，
∴新正方形与原正方形的相似比 =EH∶AB= ∶ ．
8.现有大小相同的正方形纸片30张，小亮用其中3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用几张正方形纸片(不得把每个正方形纸片剪开) 你知道她可能拼出什么样的图形吗 请你试着画一画.
解：∵正方形纸片大小相同，
∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍，
∴需要正方形的纸片是3×2×（1×2）=12张．
拼图如下：
9. 如果=，那么= ，= . 你
认为这个结论正确吗？为什么？
解： 正确。理由：
∵ = +1， = +1 ， ，
∴ = ，同理可得 = 。
问题解决
10.找一张地图，结合图示中的比例尺，编制一道数学题。
11. 如果 = = =k，那么k的值是多少？
解： 设 =k，则
==2
≠0时，解得k=
＝0时，解得k=－1
， k的值为或－1
12.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折(EF为折痕)，得到两个形状、大小完全相同的小矩形。
(1)如果小矩形长边与短边的比等于原矩形长边与短边的比，那么原矩形的长边与短边的比是多少
设原矩形ABCD 中，AB 为长边，AD 为短边。
由折叠性质可知 AE= AB。
∵小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，
∴ = 。
将 AE= AB 代入到=中，得到 = 。
交叉相乘可得 =2 =2，
等式两边同时除以2再乘以2 得： =2。
因为边长 AB>0，AD>0，两边同时开平方可得=，即原矩形的长边与短边的比是 :1。
12.如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折(EF为折痕)，得到两个形状、大小完全相同的小矩形。
(2)原矩形的长边与短边的比为多少时，小矩形与原矩形是相似的
若小矩形与原矩形相似，则对应边成比例，
即= 。
由折叠性质 AE= AB ，代入比例式，交叉相乘整理得 =2AD，因为边长为正，所以=，
即原矩形的长边与短边的比为 :1 时，小矩形与原矩形相似。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine(共17张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
习题3.3
知识技能
1. 如图，两条直线被三条平行线所截 ，DE = 6, EF = 7 ，AB=5，求AC的长 .
解：∵=，
则==
=
2.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC .
（1）如果AD = 3.2cm， DB = 1.2cm ，AE=2.4cm，那么 EC 的长是多少？
（2）如果 AB = 5cm, AD = 3cm，AC = 4cm ，那么 EC的长是多少？
A
B
C
D
E
解（1）EC=0.9 cm
（2）EC=1.6 cm
3. 如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.
△ABC∽△DEF
证明：等边三角形ABC中， AE=BF=CD
则BE=CF=AD，∠A=∠B=∠C
∴△AED≌△BFE≌△CDF
∴DE=DF=EF
∴△EFD是等边三角形
∴∠EDF=∠A=60°，∠EFD=∠B=60°
∴△ABC∽△DEF
4. 已知：如图， = = 求证：AB＝AE.
证明：∵ = =
∴△ADE∽△CAB
∴∠B=∠AEB
∴AB=AE
5.已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE=AB。
求证：AE2=AD AC。
∵BE平分∠CBD，∴∠DBE=∠CBE。
又∵ AE=AB，可得∠ABE=∠AEB。
由于∠ABD=∠ABE ∠DBE，∠ACB=∠AEB ∠CBE，
∴ ∠ABD=∠ACB。
∴ ∠BAD=∠CAB（公共角）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可知△ABD∽△ACB。
由相似三角形对应边成比例，可得，
即AB2=AD AC。
∵ AE=AB， ∴ AE2=AD AC。
6.如图，在△ABC 中，D，E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC， =， ，求.
问题解决
解：由题意可知证明： =
∵=
∴=
∴=
7.如图，在△ABC 中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥BC， EF∥AB， AD∶DB = 2∶3 ，BC=20 cm，求BF的长.
解 ∵ DE∥BC， EF∥AB，
∴=
解得BF=8(cm)
8.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s。如果P，Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
设经过t秒时，△QBP与△ABC相似。
∵动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，
∴ AP=2tcm，则BP=(8 2t) cm ；
又∵动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，
∴ BQ=4tcm。
∵ ∠PBQ=∠ABC，根据两组对应边的比值相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况讨论：
当= 时，△BPQ △BAC，
即= ，解得t=2s。
当= 时，△BPQ △BCA，
即=，解得t=0.8s。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine(共24张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第3章 图形的相似
习题3.2
知识技能
1.在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，∠E＝50°，这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似.
根据三角形内角和定理，
可得∠C＝50°，即∠C＝∠E，
又已知∠A＝∠D，
所以△ABC∽△DEF.
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由.
A
B
C
D
O
解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC
∴△ABO∽△CDO.
3. 一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm， 4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm，6cm，这两个直角三角形是否相似 为什么
它们对应边的比为： = ， = ，即两组直角边对应成比例。
这两个三角形相似，因为两个直角三角形的两组直角边对应成比例且夹角（直角）相等。
在△ABC中，∠B=39°，AB=1.8 cm，BC=2.4 cm；在△DEF中，∠D=39 ，DE=3.6 cm，DF=2.7 cm。这两个三角形相似吗？为什么？
解：相似。
理由：∵= ， =
∴ = 又∠B=39°，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似定理，可得△ABC∽△DEF
5. 一个三角形三边的长分别为6 cm， 9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，l0 cm，l2 cm，这两个三角形相似吗？为什么？
① 将三角形的边按大小顺序排列：
6 cm， 7.5 cm，9 cm
8 cm， 10 cm，12 cm
② 分别计算它们对应边的比：
=
=
=
③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例：
=
这两个三角形相似
6. 如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？
①与⑤相似
数学理解
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D。
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流。
解： （1）在△ABC与△DBA中，
∵∠BAC=∠ADB=90°，∠B=∠B（公共角），∴△ABC∽△DBA；
在△ABC与△DAC中， ∵ ∠BAC=∠ADC=90 ° ，∠C=∠C（公共角）， ∴ △ABC∽△DAC；
∵ △ABC∽△DBA且△ABC∽△DAC，
∴ △DBA∽△DAC。
因此图中相似三角形为
△ABC∽△DBA、△ABC∽△DAC、
△DBA∽△DAC。
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D。
（2）以此图为背景编制一道与三角形相似有关的题目，并与同伴进行交流。
解： （2）已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BD=4，DC=9，求AD的长。
8.将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由.
解：△ABE∽△DAE.
理由：∠BEA＝∠AED，
∠B＝∠DAE＝45°，
△ADC∽△EDA.
理由：∠CDA＝∠ADE，
∠DCA＝∠DAE＝45°.
9.如图，P是△ABC的边AB上的一点.
（1）如果∠ACP=∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？
解：相似. 理由如下：
∵∠ACP=∠B，∠A=∠A ，
∴△ACP∽△ABC.
（两角分别相等的两个三角形相似）
9.如图，P是△ABC的边AB上的一点.
（2）如果= ，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果 = 呢？
A
B
C
P
解：如果= ，则△ACP∽△ABC
如果 = ，则无法判断△ACP与△ABC是否相似.
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
在一张 8×88×8的方格纸上任意连接不在同一条直线上的三个格点，便可画出一个三角形。请用这种方式画出三对两两相似、大小不同的三角形，并指出它们的相似比。
如图，已知一个等腰三角形和一条线段，以这条线段为边画三角形，使之与已知等腰三角形相似。你能画出几个符合要求的三角形？
2个
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B固定在乐器面板上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点，支撑点 D是靠近点 A的黄金分割点。试确定支撑点 C到端点 B的距离以及支撑点 D到端点 A的距离。
∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴ =
已知AB=80cm，那么AC=BD=80×=40()cm。
∴ BC=AB AC=80 40()= (120 40) cm.
∴ AD=AB BD=80 40()=(120 40) cm.
支撑点 C到端点 B的距离为(120 40) cm，支撑点 D到端点 A的距离为(120 40) cm
13.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，位于峡谷一侧的地质勘探人员在对面的岩石上观察一个特别明显的标志点O，再在他们所在这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C.测得AC＝120m，CB＝60m，BD＝50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
问题解决
解：由AB⊥AO，DB⊥AB，
得∠OAC＝∠DBC＝90°，
又∠ACO＝∠BCD，
所以△ACO∽△BCD.
∴
A
O
C
B
D
)
14. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为1:2.
A
B
C
F
E
①取AB、BC的中点E、F，连接EF.
则△ABC∽△EBF，且相似比为1:2
A
B
C
F
E
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
则△ABC∽△EBF，且相似比为1:2
14. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为1:2.
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑