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【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题 39 类型三 挖洞问题
一、考向1 挖洞中表面积的变化
1．如图，从一个长3cm，宽与高都是2cm的长方体上挖掉一个棱长为 1 cm的小正方体，它的表面积(　　)
A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定
【答案】A
【知识点】长方体的表面积；组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】解：原长方体表面积挖掉一个小正方体时，会减少 2个边长为1cm的小正方形面积，但同时新增 4个新的面（每个小面也是 1 cm2），所以表面积会增加。
故答案为：A。
【分析】本题考查立体图形挖洞后表面积的变化规律。关键知识点：长方体表面积公式：S = 2(ab + ah + bh)。挖掉一个小正方体，会减少2 个外露面，同时增加4个内侧面，总表面积一定增大。
2．如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，这个玩具的表面积是　 　平方厘米。
【答案】120
【知识点】正方体的表面积
【解析】【解答】解：原正方体表面积：S0 = 6 × 42 = 96 (cm2)
每个面挖去一个 1×1 的小正方体：
- 每个洞减少 1 个 1×1 的外表面：1 cm2
- 每个洞增加 5 个 1×1 的内表面：5 cm2
每个洞净增： 5-1 = 4 (cm2)
共有 6 个面各挖 1 个洞： 6 × 4 = 24 (cm2)
总表面积：S = 96 + 24 = 120 (cm2)
故答案为：120。
【分析】本题考查正方体多面挖洞的表面积计算。关键思路： 先算原表面积； 每个洞"减 1 加 5"； 注意是每个面都挖，不是只挖一次。

3．在一个棱长为8 的立方体上切去一个三棱柱(如图)，那么表面积减少　 　。
【答案】28
【知识点】组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】解：切去三棱柱后：原立方体表面积少了 2个矩形面、 2 个三角形面，增加一个矩形面（切掉的斜面）。
减少的两个矩形面积：，
减少的两个三角形面积：，
增加的矩形面积：
净减少的面积：24+32+12-40=28
故答案为：28。
【分析】本题考查切割立体图形对表面积的影响。关键知识点：切去一部分，不一定表面积减少；要比较"失去的面"和"新增的面"的面积大小。
4．如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米的正方体小洞，最后得到的立方体的表面积是　 　平方厘米。
【答案】116
【知识点】组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】把棱长为2厘米和1厘米的正方体底面上移，则最终物体的表面积为棱长为4厘米的正方体表面积+棱长为2厘米的正方体侧面积+棱长为1厘米的正方体侧面积。
（平方厘米）
故答案为：116.
【分析】棱长为4 厘米的正方体表面积：4×4×6=96(平方厘米)，棱长为2厘米的正方体侧面积：2×2×4=16(平方厘米)，棱长为1厘米的正方体侧面积：1×1×4=4(平方厘米)，立方体的表面积：96+16+4=116(平方厘米)。所以最后得到的立方体的表面积是116平方厘米。
5．用橡皮泥做一个棱长为4 cm的正方体。
（1）如图①，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面积；
（2）在图①打孔后，再在正面中心位置处(如图②中的实线)从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面积。
【答案】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积-2个小正方形的面积+孔中4个长方形的面积，即4×4×6-1×1×2+
答：打孔后的橡皮泥块的表面积是110 cm2。
（2）打孔后的表面积=图①的表面积-4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小长方形的面积，即110-4×1×1+8×1×[(4-1)÷2]=118(cm2)。
答：打孔后的橡皮泥块的表面积是118 cm2。
【知识点】正方体的表面积；组合体的表面积的巧算
【解析】【分析】（1）本题考查通孔对表面积的影响。 通孔贯穿，减少 2 个外表面；孔内新增 4 个侧面。
（2）本题考查交叉通孔的表面积计算。新孔与原孔相交部分不重复计算。
二、考向2 挖洞中体积的变化
6． 一个圆柱形金属零件上有9个圆柱形孔(如图)。这个零件的金属用量大约是多少立方分米 (π取3.14，得数保留两位小数)
【答案】解：大圆柱的体积： 中间大圆柱的体积： 中间小圆柱的体积：3 零件体积：1130.4-125.6-31.4×8=753.6(cm3)，
答：这个零件的金属用量大约是0.75立方分米。
【知识点】圆柱的体积（容积）；组合体的体积的巧算
【解析】【分析】本题考查组合体体积计算。
圆柱体积公式：V = πr2h；
挖孔相当于减去相应体积；
注意单位换算（1 dm3 = 1000 cm3）。
7．如图所示为一个5×5×5 的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔。
（1）剩余部分的体积是多少
（2）剩余部分的表面积为多少
【答案】（1）开了3×1×5 的孔，挖去3×1×5=15，开了1×1×5的孔，挖去1×1×5-1=4，开了2×1×5的孔，挖去2×1×5-(2+2)=6，剩余部分的体积是：5×5×5-(15+4+6)= 100。
答：剩余部分的体积是100。
（2）表面积可以看成外部和内部两部分，外部的表面积为5×5×6-12=138，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为2×(2×5+1×5-1×2-1×3)=20，2×(1×5+3×5-1×3-1)=32，2×(1×5+1×5-1×1-2)=14，所以总的表面积为138+20+32+14=204。
答：剩余部分的表面积为204。
【知识点】组合体的表面积的巧算；组合体的体积的巧算
【解析】【分析】（1）本题考查多方向挖孔的体积计算。剩余部分体积=原物体体积-挖去部分体积
（2）本题考查复杂挖孔后表面积的分块计算。外表面和内表面分别计算；内表面按方向分组求和。
1 / 1【小白鸥 分类卷】2026小升初数学专题 39 类型三 挖洞问题
一、考向1 挖洞中表面积的变化
1．如图，从一个长3cm，宽与高都是2cm的长方体上挖掉一个棱长为 1 cm的小正方体，它的表面积(　　)
A．比原来大 B．比原来小 C．不变 D．无法确定
2．如图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，这个玩具的表面积是　 　平方厘米。
3．在一个棱长为8 的立方体上切去一个三棱柱(如图)，那么表面积减少　 　。
4．如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米的正方体小洞，最后得到的立方体的表面积是　 　平方厘米。
5．用橡皮泥做一个棱长为4 cm的正方体。
（1）如图①，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面积；
（2）在图①打孔后，再在正面中心位置处(如图②中的实线)从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面积。
二、考向2 挖洞中体积的变化
6． 一个圆柱形金属零件上有9个圆柱形孔(如图)。这个零件的金属用量大约是多少立方分米 (π取3.14，得数保留两位小数)
7．如图所示为一个5×5×5 的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔。
（1）剩余部分的体积是多少
（2）剩余部分的表面积为多少
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】长方体的表面积；组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】解：原长方体表面积挖掉一个小正方体时，会减少 2个边长为1cm的小正方形面积，但同时新增 4个新的面（每个小面也是 1 cm2），所以表面积会增加。
故答案为：A。
【分析】本题考查立体图形挖洞后表面积的变化规律。关键知识点：长方体表面积公式：S = 2(ab + ah + bh)。挖掉一个小正方体，会减少2 个外露面，同时增加4个内侧面，总表面积一定增大。
2．【答案】120
【知识点】正方体的表面积
【解析】【解答】解：原正方体表面积：S0 = 6 × 42 = 96 (cm2)
每个面挖去一个 1×1 的小正方体：
- 每个洞减少 1 个 1×1 的外表面：1 cm2
- 每个洞增加 5 个 1×1 的内表面：5 cm2
每个洞净增： 5-1 = 4 (cm2)
共有 6 个面各挖 1 个洞： 6 × 4 = 24 (cm2)
总表面积：S = 96 + 24 = 120 (cm2)
故答案为：120。
【分析】本题考查正方体多面挖洞的表面积计算。关键思路： 先算原表面积； 每个洞"减 1 加 5"； 注意是每个面都挖，不是只挖一次。

3．【答案】28
【知识点】组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】解：切去三棱柱后：原立方体表面积少了 2个矩形面、 2 个三角形面，增加一个矩形面（切掉的斜面）。
减少的两个矩形面积：，
减少的两个三角形面积：，
增加的矩形面积：
净减少的面积：24+32+12-40=28
故答案为：28。
【分析】本题考查切割立体图形对表面积的影响。关键知识点：切去一部分，不一定表面积减少；要比较"失去的面"和"新增的面"的面积大小。
4．【答案】116
【知识点】组合体的表面积的巧算
【解析】【解答】把棱长为2厘米和1厘米的正方体底面上移，则最终物体的表面积为棱长为4厘米的正方体表面积+棱长为2厘米的正方体侧面积+棱长为1厘米的正方体侧面积。
（平方厘米）
故答案为：116.
【分析】棱长为4 厘米的正方体表面积：4×4×6=96(平方厘米)，棱长为2厘米的正方体侧面积：2×2×4=16(平方厘米)，棱长为1厘米的正方体侧面积：1×1×4=4(平方厘米)，立方体的表面积：96+16+4=116(平方厘米)。所以最后得到的立方体的表面积是116平方厘米。
5．【答案】（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积-2个小正方形的面积+孔中4个长方形的面积，即4×4×6-1×1×2+
答：打孔后的橡皮泥块的表面积是110 cm2。
（2）打孔后的表面积=图①的表面积-4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小长方形的面积，即110-4×1×1+8×1×[(4-1)÷2]=118(cm2)。
答：打孔后的橡皮泥块的表面积是118 cm2。
【知识点】正方体的表面积；组合体的表面积的巧算
【解析】【分析】（1）本题考查通孔对表面积的影响。 通孔贯穿，减少 2 个外表面；孔内新增 4 个侧面。
（2）本题考查交叉通孔的表面积计算。新孔与原孔相交部分不重复计算。
6．【答案】解：大圆柱的体积： 中间大圆柱的体积： 中间小圆柱的体积：3 零件体积：1130.4-125.6-31.4×8=753.6(cm3)，
答：这个零件的金属用量大约是0.75立方分米。
【知识点】圆柱的体积（容积）；组合体的体积的巧算
【解析】【分析】本题考查组合体体积计算。
圆柱体积公式：V = πr2h；
挖孔相当于减去相应体积；
注意单位换算（1 dm3 = 1000 cm3）。
7．【答案】（1）开了3×1×5 的孔，挖去3×1×5=15，开了1×1×5的孔，挖去1×1×5-1=4，开了2×1×5的孔，挖去2×1×5-(2+2)=6，剩余部分的体积是：5×5×5-(15+4+6)= 100。
答：剩余部分的体积是100。
（2）表面积可以看成外部和内部两部分，外部的表面积为5×5×6-12=138，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为2×(2×5+1×5-1×2-1×3)=20，2×(1×5+3×5-1×3-1)=32，2×(1×5+1×5-1×1-2)=14，所以总的表面积为138+20+32+14=204。
答：剩余部分的表面积为204。
【知识点】组合体的表面积的巧算；组合体的体积的巧算
【解析】【分析】（1）本题考查多方向挖孔的体积计算。剩余部分体积=原物体体积-挖去部分体积
（2）本题考查复杂挖孔后表面积的分块计算。外表面和内表面分别计算；内表面按方向分组求和。
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