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广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
1．国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：在为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
3．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大.某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米
C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10-6.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于从小数点开始数，一直数到第一个不为零为止时的位数.
4．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：B．
【分析】根据蓄水池的下窄上宽可得水的深度与进水时间之间的关系为先陡后缓，从而得解.
5．在中，若，则是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
，即，
即是直角三角形，
故答案为：D
【分析】
根据三角形内角和定理，结合得出即可求出答案.
6．下列事件中为必然事件的是（　　）
A．明天晴天
B．天空出现3个太阳
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．三角形内角和为
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意；
B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
7．下列各点中，到两边距离相等的是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，
∴点Q到∠AOB两边距离相等，
故选：B．
【分析】利用角平分线的性质可得点Q到∠AOB两边距离相等，从而得解.
8．如图①，数学老师在黑板上画出两条直线a、b，并提出问题：如何测量直线a、b的夹角．小明给出如图②所示的测量示意图，沿着黑板底部作c∥a，测量b与c的夹角的度数就是a、b所成的角的度数．则小明得到这一结论的数学依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图2，a、b所成的角为，
，
，
这一结论的数学依据为两直线平行，同位角相等，
故答案为：C．
【分析】利用“两直线平行，同位角相等”并结合图形分析可得答案.
9．如果，，，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先分别求出a、b、c的最后，再比较大小即可.
10．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（　　）秒时，与全等．
A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
当，
则，
∴，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，
故选：D．
【分析】分类讨论： ①Q在上，点P在上时，作， 先求出， 再利用全等三角形的性质可得， 即， 再求出t的值；②当点P与点Q重合时，利用，可得，再求出t的值；③当点Q与A重合时， 利用全等三角形的性质可得， 即 ，再求出t的值即可.
11．已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是　 　
【答案】50°．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°
【分析】根据互为余角的和为90°可求出答案.
12．在中，，，则的度数为　 　°．
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴
又，
∴.
故答案为：75.
【分析】利用等边对等角的性质可得∠C=∠B，再利用三角形的内角和求出的度数即可.
13．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示．
每天运输的吨数 500 250 100 50 …
运输天数 1 2 5 10 …
用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示与的关系是　 　．
【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表知，
，
故答案为：．
【分析】根据表格中的数据及“ 每天运输的吨数运数的天数货物总量 ”可得，从而得解.
14．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得，垂直平分，
，
的周长为15，
，
，
即，
∴，
解得，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用垂直平分线的性质可得EB=ED，再利用三角形的周长公式及等量代换求出，最后结合AB的长求出AD的长即可.
15．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
即有，
，，
则的值是，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，，，再将a、b的值代入a+b计算即可.
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
17．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
18．一个口袋中放有190个涂有红、黑、白三种颜色的小球除颜色外，其它均相同若红球个数比黑球个数的2倍少60个，从袋中任意取一个球是白球的概率为
（1）袋中白球的个数为______；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【答案】（1）10
（2）解：红、黑两种球的个数和为（个，
黑球个数为（个，
则从袋中任取一个球是黑球的概率是．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：白球的个数为（个，
故答案为：10.
【分析】（1）利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可；
（2）先求出总球数，再求出黑球的数量，最后求出概率即可.
（1）解：白球的个数为（个，
故答案为：10；
（2）红、黑两种球的个数和为（个，
黑球个数为（个，
则从袋中任取一个球是黑球的概率是．
19．如图，在中，点在边上．
（1）若，，求的度数；
（2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）19
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的中线
【解析】【解答】（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长．
【分析】（1）先利用三角形的外角求出∠3的度数，再利用三角形的内角和求出∠DAC的度数即可；
（2）利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出，最后求出△ACD的周长即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长．
20．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F，连接，作于点D，且D为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证出：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用线段中点的性质可得BD=DE，再利用垂直平分线的性质可得AE=CE，再利用等量代换可得；
（2）先求出，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
（1）∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日正式对外开放，这是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
　
（1）上述过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）聪聪家与博物馆的距离是______千米，博物馆到姑妈家的距离是______千米；
（3）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
【答案】（1）离开家的时间；离开家的距离
（2）15；25
（3）解：（千米时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米时．
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离．
故答案为：离开家的时间，离开家的距离；
（2）由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25.
【分析】（1）利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可；
（2）根据函数图象中的数据直接分析求解即可；
（3）利用“速度、路程和时间”的关系式分析求解即可.
22．如图，点E、D、C、F在一条直线上，与交于点O，，平分．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）与的位置关系如何？为什么？
（3）若平分，试说明：．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，．
∴．
∴．
（2）证明：，
理由如下：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）证明：∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等可得，从而可证出；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，即可证出；
（3）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后求出即可.
（1）解：，
理由如下：
∵，．
∴．
∴．
（2），理由如下：
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴
23．如图，已知平分，定点在射线上，与射线交于点，与射线交于点，且，当时，的长为．
（1）试说明：
①，
②；
（2）如图，当点在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图，当点在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式．
【答案】（1）①证明：如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
②证明：∵，
由①可知：，
∴.
（2）解：仍然成立，理由如下：过点作于点，于点，如图所示：
∴，
由题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴.
（3）不成立，新的数量关系是：.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：不成立，新的数量关系是：，理由如下：
过点作于点，于点，如图所示：
∴，
依题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）①先利用角平分线的定义可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可；
（2）过点作于点，于点，先求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出；
（3）过点作于点，于点，先证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1）①证明：如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
②证明：∵，
由①可知：，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：过点作于点，于点，如图所示：
∴，
由题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：不成立，新的数量关系是：，理由如下：
过点作于点，于点，如图所示：
∴，
依题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
1 / 1广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
1．国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车
3．细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大.某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　）
A．25×10﹣5米 B．25×10﹣6米
C．2.5×10﹣5米 D．2.5×10﹣6米
4．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．在中，若，则是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
6．下列事件中为必然事件的是（　　）
A．明天晴天
B．天空出现3个太阳
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．三角形内角和为
7．下列各点中，到两边距离相等的是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
8．如图①，数学老师在黑板上画出两条直线a、b，并提出问题：如何测量直线a、b的夹角．小明给出如图②所示的测量示意图，沿着黑板底部作c∥a，测量b与c的夹角的度数就是a、b所成的角的度数．则小明得到这一结论的数学依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
9．如果，，，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（　　）秒时，与全等．
A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12
11．已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是　 　
12．在中，，，则的度数为　 　°．
13．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示．
每天运输的吨数 500 250 100 50 …
运输天数 1 2 5 10 …
用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示与的关系是　 　．
14．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为　 　．
15．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是　 　．
16．计算：
17．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
18．一个口袋中放有190个涂有红、黑、白三种颜色的小球除颜色外，其它均相同若红球个数比黑球个数的2倍少60个，从袋中任意取一个球是白球的概率为
（1）袋中白球的个数为______；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
19．如图，在中，点在边上．
（1）若，，求的度数；
（2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____．
20．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点E、F，连接，作于点D，且D为的中点．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
21．太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日正式对外开放，这是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
　
（1）上述过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）聪聪家与博物馆的距离是______千米，博物馆到姑妈家的距离是______千米；
（3）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
22．如图，点E、D、C、F在一条直线上，与交于点O，，平分．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）与的位置关系如何？为什么？
（3）若平分，试说明：．
23．如图，已知平分，定点在射线上，与射线交于点，与射线交于点，且，当时，的长为．
（1）试说明：
①，
②；
（2）如图，当点在射线上，且与不垂直时，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图，当点在射线的反向延长线上时，，其他条件不变，则（）中的结论②是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义：在为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
2．【答案】B
【知识点】函数的概念；自变量、因变量
【解析】【解答】解：由题意可知，在这个变化过程中，自变量是温度，
故答案为：B．
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量。题中“ 随着温度降低，电池中的化学物质活性降低 ”，即温度数值的变化导致电池中化学物质活性发生变化，因此温度是自变量。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10-6.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于从小数点开始数，一直数到第一个不为零为止时的位数.
4．【答案】B
【知识点】函数的图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：B．
【分析】根据蓄水池的下窄上宽可得水的深度与进水时间之间的关系为先陡后缓，从而得解.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在中，，
∵，
，即，
即是直角三角形，
故答案为：D
【分析】
根据三角形内角和定理，结合得出即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意；
B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用必然事件的定义及特征（必然事件是指在一定的条件下，某些事件在每次试验中必然会发生）逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，
∴点Q到∠AOB两边距离相等，
故选：B．
【分析】利用角平分线的性质可得点Q到∠AOB两边距离相等，从而得解.
8．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图2，a、b所成的角为，
，
，
这一结论的数学依据为两直线平行，同位角相等，
故答案为：C．
【分析】利用“两直线平行，同位角相等”并结合图形分析可得答案.
9．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先分别求出a、b、c的最后，再比较大小即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；异侧一线三垂直全等模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
当，
则，
∴，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，
故选：D．
【分析】分类讨论： ①Q在上，点P在上时，作， 先求出， 再利用全等三角形的性质可得， 即， 再求出t的值；②当点P与点Q重合时，利用，可得，再求出t的值；③当点Q与A重合时， 利用全等三角形的性质可得， 即 ，再求出t的值即可.
11．【答案】50°．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°
【分析】根据互为余角的和为90°可求出答案.
12．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴
又，
∴.
故答案为：75.
【分析】利用等边对等角的性质可得∠C=∠B，再利用三角形的内角和求出的度数即可.
13．【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表知，
，
故答案为：．
【分析】根据表格中的数据及“ 每天运输的吨数运数的天数货物总量 ”可得，从而得解.
14．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得，垂直平分，
，
的周长为15，
，
，
即，
∴，
解得，
∴．
故答案为：5．
【分析】利用垂直平分线的性质可得EB=ED，再利用三角形的周长公式及等量代换求出，最后结合AB的长求出AD的长即可.
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
即有，
，，
则的值是，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，，，再将a、b的值代入a+b计算即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
17．【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
18．【答案】（1）10
（2）解：红、黑两种球的个数和为（个，
黑球个数为（个，
则从袋中任取一个球是黑球的概率是．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：白球的个数为（个，
故答案为：10.
【分析】（1）利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可；
（2）先求出总球数，再求出黑球的数量，最后求出概率即可.
（1）解：白球的个数为（个，
故答案为：10；
（2）红、黑两种球的个数和为（个，
黑球个数为（个，
则从袋中任取一个球是黑球的概率是．
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）19
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的中线
【解析】【解答】（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长．
【分析】（1）先利用三角形的外角求出∠3的度数，再利用三角形的内角和求出∠DAC的度数即可；
（2）利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出，最后求出△ACD的周长即可.
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长为22，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴的周长．
20．【答案】（1）证出：∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用线段中点的性质可得BD=DE，再利用垂直平分线的性质可得AE=CE，再利用等量代换可得；
（2）先求出，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
（1）∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）离开家的时间；离开家的距离
（2）15；25
（3）解：（千米时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米时．
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离．
故答案为：离开家的时间，离开家的距离；
（2）由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25.
【分析】（1）利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可；
（2）根据函数图象中的数据直接分析求解即可；
（3）利用“速度、路程和时间”的关系式分析求解即可.
22．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，．
∴．
∴．
（2）证明：，
理由如下：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）证明：∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等可得，从而可证出；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，即可证出；
（3）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后求出即可.
（1）解：，
理由如下：
∵，．
∴．
∴．
（2），理由如下：
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴
23．【答案】（1）①证明：如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
②证明：∵，
由①可知：，
∴.
（2）解：仍然成立，理由如下：过点作于点，于点，如图所示：
∴，
由题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴.
（3）不成立，新的数量关系是：.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：不成立，新的数量关系是：，理由如下：
过点作于点，于点，如图所示：
∴，
依题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）①先利用角平分线的定义可得，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，；
②利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可；
（2）过点作于点，于点，先求出，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出；
（3）过点作于点，于点，先证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得．
（1）①证明：如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
②证明：∵，
由①可知：，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：过点作于点，于点，如图所示：
∴，
由题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：不成立，新的数量关系是：，理由如下：
过点作于点，于点，如图所示：
∴，
依题意得：，
同（）①证明：，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
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