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湘教版七年级下册数学 第五章 对称轴与旋转 章节测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　）
A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动
C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行
3．中国第十四届冬季运动会开幕式于2024年2月17日在内蒙古举行，会徽的标志如下图所示，以下通过平移这个标志可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）。
A． B．
C． D．
6． 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，将三角形纸片 ABC剪掉一角变为四边形BCDE，下列说法正确的是(　　)
A．内角和变大 B．内角和变小 C．外角和变大 D．外角和变小
9．在如图所示的正方形ABCD中，点E在边AB上，把△BCE绕点C顺时针旋转得到△DCF，且∠BCE=25°，则旋转角的度数是（　　）
A．25° B．65° C．90° D．115°
10．如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如图，与关于直线对称，，，则的度数为　 　°．
12．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=58°，∠C=90°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，则Rt△ABC旋转的度数为　 　 .
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．
15．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种．
16．在长方形、正方形、等边三角形、等腰三角形中，对称轴条数最多的是　 　.
17．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC。点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E。点G与点E关于直线BD对称，连接BG、CG。若CG=2，则线段AD的长为　 　.
18． 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图中方式叠放在一起（其中），绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，当　 　时，边．
三、解答题（共8题，共66分）
19．如图，直线l1，l2，l3相交于一点O，每两条直线之间所成的锐角均为60°。
（1）先以直线l2为对称轴，作与图形Y成轴对称的图形 Y'；再以直线l1为对称轴，作与图形Y'成轴对称的图形Y'”。
（2）以直线l3为对称轴，作与图形Y成轴对称的图形。你发现了什么
（3）设计一组图形的轴对称，使图形Y最终回到原来的位置，并描述这个过程。
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；
（2）直线l把线段　 　；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线l上找一点P，使得的长最小．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与ABC关于直线y成轴对称的A1B1C1；
（2）求ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
22．如图，下列网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可）
（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
23．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标）分别为，，，直线与轴平行且经过点．
（1）画出关于轴对称的；
（2）画出关于直线对称的图形；
（3）已知是内部一点，写出关于直线的对称点的坐标．
24．如图所示，四边形是正方形，旋转一定角度后得到，，．
（1）这个图形变换中，旋转中心是__________，旋转角度是__________，_________．
（2）求证：直线
25．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点 O.
图1 图2
（1）如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC 的度数.
（2）如图1，求∠BOD+∠AOC 的度数.
（3）如图2，若三角板 AOB 保持不动，将三角板 COD 的边OD 与边OA 重合，然后将其绕点O 旋转.试猜想在旋转过程中，∠AOC 与∠BOD 有何数量关系 请说明理由.
26．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于　 　（直接写出答案即可）．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”判断解答即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
B、 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意；
C、 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
D、电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题.
故答案为：B ．
【分析】旋转不会改变图形的形状、大小，只会改变图形的位置及方向；平移只会改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小及方向，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形可以通过旋转这个标志得到，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形可以通过旋转这个标志得到，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形可以通过平移这个标志得到，故此选项符合题意；
D、此选项中的图形可以通过旋转这个标志得到，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据平移不会改变图形的形状、大小和方向，只会改变图形的位置，即可逐项判断得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：因为甲经过旋转后得到乙，所以点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，
所以旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，
如图所示，
即旋转中心为M点．
故选：A．
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转前、后的图形全等，先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，再由旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，作出的垂直平分线和的垂直平分线，即可得出旋转中心，得到答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】∵将绕点C逆时针旋转得到
∴AC=CD，∠BAC=∠CDE=130°
∴∠CDA=∠CAD=50°
∴∠ACD=180°-∠CDA-∠CAD=60°
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得AC=CD，∠BAC=∠CDE=130°，根据等边对等角可得∠CDA=∠CAD=50°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，且点共线，
，
∴．
故选：．
【分析】根据旋转性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由三角形变成四边形，内角和变大了，外角和不变，
故答案为：A.
【分析】根据三角形变成四边形后内角和的变化情况求解即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
由旋转得△BCE≌△DCF，
∴∠ECB＝∠FCD，
∴∠ECB＋∠DCE＝∠FCD＋∠DCE，
∴∠FCE＝∠BCD＝90°，
∴旋转角的度数是90°，
故答案为：C．
【分析】利用旋转的性质可得△BCE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得∠ECB＝∠FCD，再利用角的运算和等量代换可得∠FCE＝∠BCD＝90°，从而得解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，涂黑每一个空格都会出现一种可能情况，共出现6种可能情况，
其中，涂左上角和右下角的方框所得到的黑色图案组成的图形是中心对称而不是轴对称，故一共有4种情形，
故选C．
【分析】根据题意，涂黑一个格共6种可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目．
11．【答案】110
【解析】【解答】解：与关于直线对称，，
，
∵∠A+∠B+∠C=180°，，
∴50°+∠B+20°=180°，解得，
故答案为：110．
【分析】利用轴对称的性质求出，再利用三角形内角和定理求出∠B．
12．【答案】140
【解析】【解答】解：由旋转的性质得AB=AD，∠ACB=∠E= 60°，∠BAD =α
∴∠ADB= ∠B =180°-∠BAC-∠ACB=20°
.：a=∠BAD=180°—20°一20°=140°.
故答案为：140.
【分析】先利用旋转性质得到相等的边和角，再通过三角形内角和定理求出△ABC中∠B的度数，最后在等腰△ABD中计算旋转角a的度数。
13．【答案】122
【解析】【解答】解：由旋转可得，∠B1AC1＝∠BAC＝58°，
∵要使得点C，A，B1在同一条直线上，
∴∠CAC1＝180° ∠B1AC1＝180° 58°＝122°，
即旋转角为122°，
故答案为：122°．
【分析】先利用旋转的性质可得∠B1AC1＝∠BAC＝58°，再利用角的运算求出∠CAC1＝180° ∠B1AC1＝180° 58°＝122°，从而可得旋转角为122°.
14．【答案】15°
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= （180°﹣∠BAD）=15°，
故答案为：15°．
【分析】根据旋转的性质得出∠BAD=150°，AD=AB，又点B，C，D恰好在同一直线上，故△BAD是顶角为150°的等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得出∠B的度数。
15．【答案】3
【解析】【解答】选择小正方形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处.
故答案为：3.
【分析】根据轴对称的概念作答.如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
16．【答案】正方形
【解析】【解答】解：长方形有两条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，
∴ 对称轴条数最多的是正方形，
故答案为：正方形.
【分析】数出各图形的对称轴条数解答即可.
17．【答案】2
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， AC=BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴
∵DE⊥AB于点E
∴∠BED=90°
∴△BED是等腰直角三角形
∴
∵点G与点E关于直线BD对称
∴BG=BE，∠CBG=∠ABD
∴
∵
∵∠ABD=∠CBG
∴△BAD∽△BCG
∴
∵CG=2
∴
故答案为：2
【分析】根据等腰直角三角形判定定理可得△ABC是等腰直角三角形，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得△BED是等腰直角三角形，则，根据对称性质可得BG=BE，∠CBG=∠ABD，则，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】或
【解析】【解答】解：①如图：
∵，
∴，
∴；
②如图：
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【分析】分类讨论，先分别画出图形，再利用平行线的性质求出角的度数，最后列出算式求出时间t即可.
19．【答案】（1）解：如图，与直线 和 关于 对称，在图形Y上取两点A、B，在 的上方截取 ， ，画出与图形Y全等的，这个图形就是所求的图形.同理可作出图形；
（2）解：以直线 为对称轴，图形Y经轴对称变换后的得图形就是图形；
（3）解：设计方案很多，例如，以直线 为对称轴，作图形经轴对称变换后的图形，就是图形Y.
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据图形关系解答即可；
（3）设计方案解答即可.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求.
.
（2）解：∵与为轴对称图形，∴直线l把线段垂直平分，故答案为：垂直平分.
（3）解：的面积为：
（4）解：如图，点P即为所求.
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质分别画出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称图形的性质即可知直线l把线段垂直平分，进而即可求解；
（3）利用割补法即可求解；
（4）连接BC'，与直线l的交点即可.
21．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
【解析】【分析】（1）依据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求的△A1B1C1；
（2）依据方格纸的特点及割补法进行计算，用△ABC外接矩形的面积分别减去△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
【解析】【分析】（1）本题考察轴对称图形的定义及作图，轴对称图形需满足沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，且不满足中心对称图形的定义（旋转 180°后不与自身重合）。已知已有 2 个阴影小正方形，需在空白处选取两个补充，使得 4 个阴影正方形符合要求。例如在第一行第二列和第三行第二列的位置补充阴影，此时图形沿竖直方向的直线 x=2（假设网格左上角为原点）折叠后，左右两侧的阴影完全重合，满足轴对称图形的定义；而将图形绕中心旋转 180°后，阴影位置无法与原图重合，因此不是中心对称图形。
（2）本题考察中心对称图形的定义及作图，中心对称图形需满足绕某定点旋转 180°后与自身重合，且不满足轴对称图形的定义（无折叠重合的直线）。在空白小正方形中选取两个补充，例如在第一行第四列和第三行第一列的位置补充阴影，此时图形绕网格的中心旋转 180°后，每个阴影小正方形都能与另一个阴影小正方形的位置重合，满足中心对称图形的定义；同时找不到一条直线，使得图形沿直线折叠后完全重合，因此不是轴对称图形。
（1）解：如图所示：
（2）如图所示．
23．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）．
【解析】【解答】（3）点关于直线对称点的横坐标为，纵坐标为，
点关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据对称性质即可求出答案.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）点关于直线对称点的横坐标为，纵坐标为，
点关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：．
24．【答案】（1）A，，，
（2）证明：延长交于点，如图：
由旋转的性质可得：
又∵
∴
∴．
【解析】【解答】（1）解：四边形是正方形，旋转一定角度后得到，
∴，，
由旋转的性质可得：旋转中心是A，旋转角度是，，
∴.
【分析】（1）利用图形旋转的特征，旋转中心和旋转角的定义及性质分析求解即可；
（2）先利用旋转的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出∠DME=90°，即可得到.
（1）解：四边形是正方形，旋转一定角度后得到，
∴，，
由旋转的性质可得：旋转中心是A，旋转角度是，，
∴；
（2）延长交于点，如图：
由旋转的性质可得：
又∵
∴
∴．
25．【答案】（1）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=35°，
（2）解：∵∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC，∴∠BOD+∠AOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°.
（3）解：∠AOC 与∠BOD 互补.
当∠AOB 与∠DOC 有重叠部分时，如图28-1-1，由（2）得，∠AOC+∠BOD=180°；
当∠AOB 与∠DOC 没有重叠部分时，如图 28-1-2，
∵∠AOB +∠COD +∠AOC +∠BOD = 360°，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°.
综上所述，在旋转过程中，∠AOC 与∠BOD 互补.
【解析】【分析】（1）（2） 根据角的和差即可得出结论；（3） 分∠AOB 与∠DOC 有重叠部分和没有重叠部分两种情况讨论求解.
26．【答案】（1）解：根据题意可知：∠EDC=90°，∠DEC=60°，
∴∠DCE=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-60°=30°，
∵AC是∠DCE的平分线，
∴∠ACE=∠ACD==15°，
∴t=15°÷5°=3 s.
（2）解： 当旋转至的内部时， ∠ECB-∠DCA=15°，
由旋转的性质可得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=30°-5t，∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-5t，
∴∠ECB-∠DCA=（45°-5t）-（30°-5t）=15°.
（3）或或或
【解析】【解答】解：（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：
①，如图4所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACB=30°+45°=75°，
此时旋转时间；
②，如图5所示：，
根据题意可知：，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°+45°=135°，
此时旋转时间；
③，如图6所示：
根据题意可知：，∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠DCB+∠ACB=30°+90°+45°=165°，
此时旋转时间；
④，如图7所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACD=∠D=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACD=30°+90°=120°，
此时旋转时间；
综上所述，此时旋转时间tt的值为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=∠ACD==15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，即可得出∠ECB-∠DCA=15°；
（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：、、、，分情况进行讨论，画出图形，求出t的值即可.
（1）解：如图2，，，
，
平分，
，
，
答：此时的值是；
（2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
（3）分四种情况：
①当时，如图4，，
；
②当时，如图5，则，
，
；
③当时，如图6，则，
，
；
④当时，如图7，
，
，
；
综上，的值是或或或．
故答案为：或或或．

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