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相似单元测试卷1
一．选择题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
2．下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
3．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（　　）
A．∠D＝∠B B． C． D．∠AED＝∠C
4．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 的值是（　　）
A． B．1 C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
6．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
7．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD＝2：1，点F在AC上，AF：FC＝1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．
第3题图 第4题图 第6题图 第7题图
8．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD
的延长线于H，若=2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；② ；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第8题图 第9题图 第10题图
二．填空题
11．已知≠0，则的值为　 　．
12．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　 　．
13．如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，则S△ADE：S△ECB＝　 　．
14．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为　 　．
15．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为　 　．
16．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为　 　．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥AC交BC于D，DE⊥AB于E，连接CE，DE＝2，CE＝10，BC的长度是　 　．
18．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是（　　）
19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠
AFE=∠B．若AB=5，AD=8，AE=4，则AF的长为　 　．
20．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是　 　．
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
三．解答题
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1；
（2）以图中的O为位似中心，在△A1B1C1的同侧将△A1B1C1
作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
22．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC＝15，BC＝10，求EG的长．
24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求：
（1）求 的值；
（2）线段GH的长．
25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
26．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求的值；
②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
27．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE＝CF；
①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
②若AE＝2，试求AP AF的值；
（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
28．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
一．选择题
1．A．2．D．3．C．4．A．5．D．6．A．7．B．8．D．9．B．10．D．
二．填空题
11．．12．4：9．13．4：15．14．．15．11.8米．16．7．17．．
18．．19．2．20． ．
三．解答题
21．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
22．解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ =，即 ，
解得OB=h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ，= ②，
把①代入②得，= ，
解得h＝9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米．
23．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，DE＝DC，
∴ ，
∵AC＝15，BC＝10，
∴ = ，
∴CD＝6，
即正方形CDEF的边长为6，
∵EF∥AC，
∴△EFG∽△DAG，
∴ ，
∴ ，
解得：EG=．
故EG的长是．
24．解：（1）∵EF∥BD，
∴ ，
∵BD＝12，EF＝8，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
∴ ；
（2）∵DF∥AB，
∴ ，
∴ ，
∵EF∥BD，
∴ ，
∴ ，
∴GH＝6．
25．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=6＝3，
∵AD＝4，
∴ ，
∴ ．
26．解：（1）①∵EF∥BC，
∴ ，
∴ ，
即的值是．
②∵EH＝x，
∴KD＝EH＝x，AK＝8﹣x，
∵ ，
∴EF =（8-x），
∴S＝EH EF=x（8﹣x）=+24，
∴当x＝4时，S的最大值是24．
（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
，
解得a=．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝12÷2＝6，
∴AB＝AC，
∴AB或AC边上的高等于：
AD BC÷AB
＝8×12÷10 =
∴ ，
解得a = ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是或．
27．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．
又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．
∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．
②∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴ ，即，所以AP AF＝12
（2）若AF＝BE，有AE＝BF或AE＝CF两种情况．
①当AE＝CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∴∠AOB＝120°，
又∵AB＝6，
∴OA=，
点P的路径是 L== =．
②当AE＝BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为： ．
所以，点P经过的路径长为或3．
28．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴ ，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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