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广东深圳市盐田高级中学2026届高考适应性考试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ）
A．24 B．54 C．72 D．120
5．已知数列为等差数列，它的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（ ）
A．对于任意给定的点，存在点，使得
B．对于任意给定的点，存在点，使得
C．对于任意给定的点G，存在点F，使得
D．对于任意给定的点F，存在点G，使得
8．设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好
B．若随机变量满足，则
C．若随机变量，则
D．若事件满足，则
10．已知前项和为的数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列的前18项和为
D．不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，则下列结论正确的是（ ）
A．坐标原点O到直线AB的距离为
B．若，则的取值范围为
C．的面积最大值为
D．四边形的面积为定值
三、填空题
12．设，若复数是纯虚数，则_____.
13．已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________．
14．为了减轻教师阅卷负担，我校在一次高三数学考试中尝试采用AI辅助阅卷，阅卷后，成绩分布如下：
分数
人数 20 55 75 375 0 325 125 25
为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于90分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于90分而低于120分，则复批的概率为；若抽到试卷分数不低于120分，则复批的概率为．若某同学试卷被复批，则AI批阅该同学试卷不低于120分的概率是________.
四、解答题
15．在中，角的对边分别为．
(1)证明：；
(2)若，，，求的面积．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.
(1)求的标准方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
17．如图，在三棱柱中，平面平面，，，且，
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
18．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄都位于，得到如下直方图：
(1)利用直方图中的数据，求的值，并估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列及其期望；
(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，当t变化时，要使得恰好答对3个问题的概率取到最大值，求此时的取值．
19．已知.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若有大于零的极值点，比较与的大小；
(3)若有且只有唯一整数，使，求的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】，则，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误．
2．D
【详解】令，解得，
时，，则是的一个对称中心．
3．C
【详解】由对数函数 在上单调递减，
得 ，即；
由对数函数在上单调递增，
得 ，即，因此.
由幂函数在上单调递减，
得，即.
综上，且.
4．B
【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.
5．D
【详解】，解得，
．
6．A
【详解】为二次函数，对称轴为，
所以时，单调递减，
令，，
所以在单调递增，
则函数的图象如下：
函数仅有一个零点，即只有一个交点，
．
7．B
【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的边长为1，可得，，，
且点分别是线段和上的动点，
得到，，，
而，，则，设，可得，
则，解得，得到，
可得，，，
若，则，解得，
此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确，
对于CD，若，则，
，方程组无解，故与不可能平行，CD错误．
8．A
【详解】对于A，若，则，即，又不共线，
，整理得，故A正确；
对于B，，
，故B错误；
对于C，若，
则
，故C错误；
对于D，
，故D错误．
9．ACD
【详解】对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，
说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确；
对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有，
本题中，因此，B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由条件概率性质，，
因此，故D正确．
10．ABD
【详解】，
，()
，则，
又时，满足上式，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；
，则，故B正确；
，
则数列的前18项和为，故C错误；
，则，
若，，成等差数列，
则，即，，
即，又，，为正整数，
，即与题干矛盾，
即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，故D正确．
11．ACD
【详解】椭圆，得，
则，
第一象限椭圆上，满足，即.
对于A：直线过，方程为，即，
原点到的距离，A正确；
对于B：，代入 ，
得：，
即，不是，B错误；
对于C：，到直线的距离 ，
则，
令，
得，，最大值为，
因此：，C正确；
对于D：直线方程：，
令得，则，
直线方程：，令得，
则，
，代入，
得 ，
所以四边形的面积等于 ，D正确.
12．1
【详解】，
又为纯虚数，所以，
解得．
13．45
【详解】，
，
，又展开式的通项为，
当，解得，
，即展开式中的含项的系数为．
14．
【详解】设该同学得分在为事件，该同学得分在为事件，
该同学得分在为事件，该同学试卷被复批为事件．
根据已知表格中数据可得，，，.
所以，，.
又由已知得,
所以
．
15．(1)在中，由正弦、余弦定理得
.
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）得，又，
则，而，于是（*），
即，由余弦定理得，因，故，
又由（*）可得，因，，则，
所以的面积为.
16．(1)
(2)或.
【详解】（1）由题可知，则，即，
解得，，
所以双曲线；
（2）由直线与双曲线联立方程组消可得：
，又直线与双曲线交于两点，
所以 ，即，
设，则，

因为以为直径的圆过点，所以，
即
，
化简得： ，
解得或，都满足，
所以直线的方程为或.
17．(1)在平面内作交于点，连接，
由，，得，
所以，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，，则，即，
在中，由，，，所以，故，
又，且，、平面，
故平面，因为平面，所以；
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）知平面，，
故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
故、、、、，
得到，，，则，
设为平面的一个法向量，
则，取，
解得，得，
因为，设点到平面的距离为,
由点到平面的距离公式得.
18．(1)，
(2)
0 1 2 3 4
(3)
【详解】（1）根据频率直方图的性质可得，解得,
利用中点值可估计平均年龄为；
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内有 人，年龄在第三组内有 人，
年龄在第四组内有 人，年龄在第五组内有 人，
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
所以；
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，所以．
19．(1)
(2)
(3)．
【详解】（1）由 可得： ，
所以不是的零点，则令 ，
分离参变量可得，构造函数，则，
当时， ，则在上单调递增，
当或时， ，
则在，上单调递减，
当时， ，则在上单调递增，
根据单调性和极值点作出函数图象：
所以要满足方程有两个解，则 ；
（2）求导得：，设为的导数，
则 ，
当时， ，所以在上单调递增，
要使得有大于零的极值点，则方程 在上有解，
即当， 在上必存在唯一正根，
满足 ，且为函数的极小值，
则
令 ，求导得： ，
当时， ，
则 在上单调递增，
当时， ，
则 在上单调递减，
所以 ，即 .
（3），当时，不等式显然不成立；
当时，由得，，根据图象：
因为，且，
所以要满足有且只有唯一整数，使，即，
则，此时存在唯一整数；
当时，由得，，根据图象：
因为，，
所以要满足有且只有唯一整数，使，即，
则，此时存在唯一整数；
综上所述，的取值范围为．

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