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浙教版数学八年级下册期末模拟卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．下列各数中，能使 有意义的x的值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义
∴3-2x≥0，
解得x≤，
符合条件的数值为1，
故选：A.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，然后逐项判断解答即可.
3．数据0，-1，6，1，x的众数为-1，则这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： ∵数据0， - 1， 6， 1， x的众数为-1，
∴排序后为- 1， - 1， 0， 1， 6，
∴中位数为0，
故答案为：C.
【分析】首先根据众数的定义确定x的值，然后排序后找到中间位置的数即可.
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
5．用反证法证明“a，b至少有一个为0”，应该假设（　　）。
A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多有一个为0 D．a，b两个都为0
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：
“a、b没有一个为0”，
故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设
“a、b没有一个为0”，
故答案为：A.
【分析】根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容.
6．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（　　）
A．2 B． C．1或 D．2或
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴， 解得：，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据方程为一元二次方程，得出，再根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
7．如图，在 ABCD中，以BC和AD为斜边分别向内作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADG，延长BE和DG分别交AG和CE于点H和F，直线FH分别交AD和BC于点I和J。若四边形EFGH是正方形， ABCD的面积为S，下列能用S的代数式来表示的是（　　）。
A．△AHI的面积 B．正方形AEGH的面积
C．△ABH的面积 D．△AGD的面积
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在等腰和等腰中，和为斜边，且，
故，
∴；
∵，
∴．
在等腰和等腰中，和为斜边，
故，
在正方形中，，
∵，，，
∴，，
故和是等腰直角三角形，
∴，
即．
在等腰和等腰中，和为斜边，且，
故，
∴．
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
故平行四边形的面积．
对于A选项：的面积为，
即的面积不能用含的代数式表示，故A选项不符合题意；
对于B选项：正方形的面积为，
即正方形的面积不能用含的代数式表示，故B选项不符合题意；
对于C选项：在中，，
故的面积为，
即的面积不能用含的代数式表示，故C选项不符合题意；
对于D选项：的面积为，
∵，
∴的面积平行四边形的面积，
故的面积能用含的代数式表示，故D选项符合题意．
故答案为：
【分析】设，，则，根据正方形和平行四边形的性质得出，，根据等腰直角三角形得到，即可得到，进而得到和是等腰直角三角形，推出，然后得可得，根据勾股定理求出，，，即可得到，进而求出平行四边形的面积，根据三角形的面积公式逐项分析解答即可．
8．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意可知这一组数据为：8，6，9，6，11，
所以平均数为，故A选项正确；
根据众数的定义可知数据6出现2次，最多，故众数是6，B选项正确；
先将数据排序为：6，6，8，9，11，故处于中间位置的数为8，不是9，故C选项错误；
根据方差公式，故D选项正确。
故答案为：C.
【分析】先从方差公式提取样本数据：8，6，9，6，11，再依次计算平均数、众数、中位数、方差，判断正误。
9．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
10． 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 EF ∥AD，CE = EF.连结 AF，CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC.则下列结论：
① 是等边三角形；
②；
③ BG 垂直平分 AC；
④.
其中正确的结论有（　　）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠ABC=120°，AB//CD，AB=BC，∠ACD=∠ACB
∵EF//AD，
∴∠DEF=∠D=120°，
∴∠CEF=180°-120°=60°，
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形
故①符合题意；
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，CF=CE
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD =180°，
∴∠BCD=60°，
∴，
∴∠ACF=60°+30°= 90°，
∵G是AF的中点，
∴，
∴AG=CG，
故②符合题意；
∵AB=BC，AG=CG，
∴B和G在线段AC的垂直平分线上，
∴BG垂直平分AC，
故③符合题意；
∴H是AC的中点，
∴GH是△ACF的中位线，
∴CF=2GH，
∵，∠BHC =90°，
∴BC=2BH，
∴BC+CF=2(GH+BH)=2BG
∴2BG=AD+CE，
故④符合题意，
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质推出∠D=∠ABC=120°，AB//CD，AB=BC，∠ACD=∠ACB，由平行线的性质推出∠DEF=∠D=120°，由邻补角的性质得到求出∠CEF=60°，判定△CEF是等边三角形，得到∠ECF=60°，CF=CE，由平行线的性质求出∠BCD=60°，得到∠ACD=30°，因此∠ACF=90°，由直角三角形斜边中线的性质推出AG=CG，判定B和G在线段AC的垂直平分线上，推出BG垂直平分AC，由三角形中位线定理推出CF=2GH，由含30度角的直角三角形的性质得到BC=2BH，推出2BG=AD+CE.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出A+∠B=180°，结合∠A与∠B的关系可求出∠A的度数，最后根据平行四边形对角相等可得∠C=∠A，从而得出答案.
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13． 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14． 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE。若∠AED=∠BEC，DE=2，则 BE 的长为　 　.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴BC＝2DE，DE∥BC，
又∵DE＝2，
∴BC＝4．
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案为：4.
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE．
15．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下： 如 那么8 12=　 　。
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据所给的式子求出 的值即可.
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
18． 已知实数x，y满足 求 的值。
【答案】解：∵，解得：
∴
∴
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式的非负性可得x值，求出y值，再代入代数式即可求出答案.
19． 尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中，，D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！
（1）证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；
（2）请指出乙同学作法中存在的问题.
【答案】（1）证明：，D为BC中点，
，又为AB中点，
.
是的中位线，
.
由作图知：
.
四边形AEDF是平行四边形，
，
四边形AEDF是菱形.
（2）解：以D为圆心，DE为半径作弧，与AC可能会有两个交点，故存在问题.
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
(2)根据点F不唯一，判断出乙的方法有问题
20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF。
（2）若AD=1，求AB的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)
∴OE=OF
（2）解：连结OB，
∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF
由(1)知△AOE≌△COF，
∴OA=OC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1
又∵∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE
在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OBE=30°
∴∠BAC=30°
∴AB= BC=
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，进而求出△AOE≌△COF(AAS)，得出答案即可；
(2)首先求出∠BAC=30°，进而得出∠BEF=2∠OBE，证出∠BAC=30°，由直角三角形的性质即可得出结果.
21．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96.
（1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25，m50，m75；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中；
（2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛 请说明理由.
【答案】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数，
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数，
∴，
根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中；
（2）解：由题意可得：
小宝同学成绩的平均数为：；
小安同学成绩的平均数为：；
观察数据可得：
选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高；
选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【分析】（1）根据四分位数的定义计算，然后根据箱线图的特征解答即可；
（2）求出小宝和小安成绩的平均数，结合箱线图分析判断即可．
22．端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
【答案】（1）解：设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为 ×10=(800-100x)个，
依题意得：((x-2)(800-100x)=800，
整理得：
解得：
又∵物价局规定，商品最高零售价不得超过进价的240%，
答：这种粽子的售价应定为4元/个
（2）解：商场日盈利不能否达到1000元，理由如下：
设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为((y-2)元，日销售量为((800-100y)个，
依题意得：((y-2)(800-100y)=1000，
整理得：
∴该方程无解，
即商场日盈利不能否达到1000元
（3）解：当定价为3.9元时，商场的日盈利为( (800-100×3.9)=779(元)；
当定价为4.3元时，商场的日盈利为( (800-100×4.3)=851(元)。
∴定价为4.3元时，盈利较多.
答：当定价为3.9元时，商场的日盈利为779元；当定价为4.3元时，商场的日盈利为851元，定价为4.3元时，盈利较多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为(800-100x))个，利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商品最高零售价不得超过进价的240%，即可得出这种粽子的售价应定为4元/个；
(2)商场日盈利不能否达到1000元，设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y-2)元，日销售量为(800-100y)个，用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无解，即商场日盈利不能否达到1000元；
(3)利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，可分别求出定价为3.9元和4.3元时商场的日盈利，比较后即可得出结论.
23．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”。例如一元二次方程、 =0的两个根是 则方程. 是“倍根方程”。
（1）　 　（填“是”或“不是”)“倍根方程”。
（2）若关于x的方程（（x-2)（x-m)=0是“倍根方程”，求代数式 的值。
（3）已知关于x的一元二次方程. n是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值。
【答案】（1）是
（2）解：(x-2)(x-m)=0，
x-2=0或x-m=0，
解得
由条件可知2=2m或m=2×2，
∴m=1或m=4，
当m=1时，
当m=4时，
综上所述，代数式 的值为26或5
（3）解：设方程的两根分别为α、2α，
由根与系数的关系得α+2α=m-1， α·2α=32，
解得α=4， m=13或α=-4， m=-11，
所以m的值为13或-11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)原方程分解因式可得：
(x-2)(x-1)=0，
x-2=0或x-1=0，
所以
∴方程 是“倍根方程”.
故答案为：是；
【分析】(1)利用因式分解法解方程得到 然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到 再根据新定义解得m=1或m=4；然后把m=1或m=4分别代入所求的代数式中求值即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m﹣1， α·2α=32， ， 然后求出α，再计算对应的m的值即可.
24．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
1 / 1浙教版数学八年级下册期末模拟卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各数中，能使 有意义的x的值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．数据0，-1，6，1，x的众数为-1，则这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．-1 C．0 D．1
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．用反证法证明“a，b至少有一个为0”，应该假设（　　）。
A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多有一个为0 D．a，b两个都为0
6．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（　　）
A．2 B． C．1或 D．2或
7．如图，在 ABCD中，以BC和AD为斜边分别向内作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADG，延长BE和DG分别交AG和CE于点H和F，直线FH分别交AD和BC于点I和J。若四边形EFGH是正方形， ABCD的面积为S，下列能用S的代数式来表示的是（　　）。
A．△AHI的面积 B．正方形AEGH的面积
C．△ABH的面积 D．△AGD的面积
8．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
9．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
10． 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 EF ∥AD，CE = EF.连结 AF，CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC.则下列结论：
① 是等边三角形；
②；
③ BG 垂直平分 AC；
④.
其中正确的结论有（　　）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平行四边形中，，则　 　．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　．
13． 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
14． 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE。若∠AED=∠BEC，DE=2，则 BE 的长为　 　.
15．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下： 如 那么8 12=　 　。
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
17． 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
18． 已知实数x，y满足 求 的值。
19． 尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中，，D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！
（1）证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；
（2）请指出乙同学作法中存在的问题.
20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF。
（2）若AD=1，求AB的长。
21．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96.
（1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25，m50，m75；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中；
（2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛 请说明理由.
22．端午节前夕，某校八年级的三名同学到超市调研一种进价为每个2元的粽子的销售情况。调查获知，若粽子每个的定价为3元，每天能卖出500个，这种粽子的单价每上涨
0.1元，其销售量将减少10个（相关部门规定，商品最高零售价不得超过进价的240%)。
（1）若商场每天要获得800元的销售利润，该如何定价
（2）商场的日盈利能否达到1000元
（3）当单价定为3.9元和4.3元时，商场的日盈利分别为多少 定价多少时，盈利较多
23．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”。例如一元二次方程、 =0的两个根是 则方程. 是“倍根方程”。
（1）　 　（填“是”或“不是”)“倍根方程”。
（2）若关于x的方程（（x-2)（x-m)=0是“倍根方程”，求代数式 的值。
（3）已知关于x的一元二次方程. n是常数)是“倍根方程”，请直接写出m的值。
24．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义
∴3-2x≥0，
解得x≤，
符合条件的数值为1，
故选：A.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，然后逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： ∵数据0， - 1， 6， 1， x的众数为-1，
∴排序后为- 1， - 1， 0， 1， 6，
∴中位数为0，
故答案为：C.
【分析】首先根据众数的定义确定x的值，然后排序后找到中间位置的数即可.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：B．
【分析】
配方法解一元二次方程，若二次项系数为1，则先把常数项移到等号的右边，再给两同时加上一次项系数一半的平方，从而把方程转化成结果为一个常数的完全平方式的形式．
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：
“a、b没有一个为0”，
故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设
“a、b没有一个为0”，
故答案为：A.
【分析】根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴， 解得：，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据方程为一元二次方程，得出，再根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设，，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在等腰和等腰中，和为斜边，且，
故，
∴；
∵，
∴．
在等腰和等腰中，和为斜边，
故，
在正方形中，，
∵，，，
∴，，
故和是等腰直角三角形，
∴，
即．
在等腰和等腰中，和为斜边，且，
故，
∴．
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
故平行四边形的面积．
对于A选项：的面积为，
即的面积不能用含的代数式表示，故A选项不符合题意；
对于B选项：正方形的面积为，
即正方形的面积不能用含的代数式表示，故B选项不符合题意；
对于C选项：在中，，
故的面积为，
即的面积不能用含的代数式表示，故C选项不符合题意；
对于D选项：的面积为，
∵，
∴的面积平行四边形的面积，
故的面积能用含的代数式表示，故D选项符合题意．
故答案为：
【分析】设，，则，根据正方形和平行四边形的性质得出，，根据等腰直角三角形得到，即可得到，进而得到和是等腰直角三角形，推出，然后得可得，根据勾股定理求出，，，即可得到，进而求出平行四边形的面积，根据三角形的面积公式逐项分析解答即可．
8．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意可知这一组数据为：8，6，9，6，11，
所以平均数为，故A选项正确；
根据众数的定义可知数据6出现2次，最多，故众数是6，B选项正确；
先将数据排序为：6，6，8，9，11，故处于中间位置的数为8，不是9，故C选项错误；
根据方差公式，故D选项正确。
故答案为：C.
【分析】先从方差公式提取样本数据：8，6，9，6，11，再依次计算平均数、众数、中位数、方差，判断正误。
9．【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠ABC=120°，AB//CD，AB=BC，∠ACD=∠ACB
∵EF//AD，
∴∠DEF=∠D=120°，
∴∠CEF=180°-120°=60°，
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形
故①符合题意；
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，CF=CE
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD =180°，
∴∠BCD=60°，
∴，
∴∠ACF=60°+30°= 90°，
∵G是AF的中点，
∴，
∴AG=CG，
故②符合题意；
∵AB=BC，AG=CG，
∴B和G在线段AC的垂直平分线上，
∴BG垂直平分AC，
故③符合题意；
∴H是AC的中点，
∴GH是△ACF的中位线，
∴CF=2GH，
∵，∠BHC =90°，
∴BC=2BH，
∴BC+CF=2(GH+BH)=2BG
∴2BG=AD+CE，
故④符合题意，
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质推出∠D=∠ABC=120°，AB//CD，AB=BC，∠ACD=∠ACB，由平行线的性质推出∠DEF=∠D=120°，由邻补角的性质得到求出∠CEF=60°，判定△CEF是等边三角形，得到∠ECF=60°，CF=CE，由平行线的性质求出∠BCD=60°，得到∠ACD=30°，因此∠ACF=90°，由直角三角形斜边中线的性质推出AG=CG，判定B和G在线段AC的垂直平分线上，推出BG垂直平分AC，由三角形中位线定理推出CF=2GH，由含30度角的直角三角形的性质得到BC=2BH，推出2BG=AD+CE.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的邻角互补得出A+∠B=180°，结合∠A与∠B的关系可求出∠A的度数，最后根据平行四边形对角相等可得∠C=∠A，从而得出答案.
12．【答案】(-3，5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
13．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴BC＝2DE，DE∥BC，
又∵DE＝2，
∴BC＝4．
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案为：4.
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE．
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据所给的式子求出 的值即可.
16．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
17．【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
18．【答案】解：∵，解得：
∴
∴
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式的非负性可得x值，求出y值，再代入代数式即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：，D为BC中点，
，又为AB中点，
.
是的中位线，
.
由作图知：
.
四边形AEDF是平行四边形，
，
四边形AEDF是菱形.
（2）解：以D为圆心，DE为半径作弧，与AC可能会有两个交点，故存在问题.
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
(2)根据点F不唯一，判断出乙的方法有问题
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD
∴∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)
∴OE=OF
（2）解：连结OB，
∵BF=BE，OE=OF，
∴BO⊥EF
由(1)知△AOE≌△COF，
∴OA=OC
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=1
又∵∠BEF=2∠BAC，
∴∠BEF=2∠OBE
在Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OBE=30°
∴∠BAC=30°
∴AB= BC=
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质得出∠CAE=∠ACF，∠CFO=∠AEO，进而求出△AOE≌△COF(AAS)，得出答案即可；
(2)首先求出∠BAC=30°，进而得出∠BEF=2∠OBE，证出∠BAC=30°，由直角三角形的性质即可得出结果.
21．【答案】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数，
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数，
∴，
根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中；
（2）解：由题意可得：
小宝同学成绩的平均数为：；
小安同学成绩的平均数为：；
观察数据可得：
选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高；
选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【分析】（1）根据四分位数的定义计算，然后根据箱线图的特征解答即可；
（2）求出小宝和小安成绩的平均数，结合箱线图分析判断即可．
22．【答案】（1）解：设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为 ×10=(800-100x)个，
依题意得：((x-2)(800-100x)=800，
整理得：
解得：
又∵物价局规定，商品最高零售价不得超过进价的240%，
答：这种粽子的售价应定为4元/个
（2）解：商场日盈利不能否达到1000元，理由如下：
设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为((y-2)元，日销售量为((800-100y)个，
依题意得：((y-2)(800-100y)=1000，
整理得：
∴该方程无解，
即商场日盈利不能否达到1000元
（3）解：当定价为3.9元时，商场的日盈利为( (800-100×3.9)=779(元)；
当定价为4.3元时，商场的日盈利为( (800-100×4.3)=851(元)。
∴定价为4.3元时，盈利较多.
答：当定价为3.9元时，商场的日盈利为779元；当定价为4.3元时，商场的日盈利为851元，定价为4.3元时，盈利较多
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这种粽子的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为(x-2)元，日销售量为(800-100x))个，利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商品最高零售价不得超过进价的240%，即可得出这种粽子的售价应定为4元/个；
(2)商场日盈利不能否达到1000元，设这种粽子的售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y-2)元，日销售量为(800-100y)个，用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无解，即商场日盈利不能否达到1000元；
(3)利用商场销售粽子每天获得的利润=每个的销售利润×日销售量，可分别求出定价为3.9元和4.3元时商场的日盈利，比较后即可得出结论.
23．【答案】（1）是
（2）解：(x-2)(x-m)=0，
x-2=0或x-m=0，
解得
由条件可知2=2m或m=2×2，
∴m=1或m=4，
当m=1时，
当m=4时，
综上所述，代数式 的值为26或5
（3）解：设方程的两根分别为α、2α，
由根与系数的关系得α+2α=m-1， α·2α=32，
解得α=4， m=13或α=-4， m=-11，
所以m的值为13或-11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：(1)原方程分解因式可得：
(x-2)(x-1)=0，
x-2=0或x-1=0，
所以
∴方程 是“倍根方程”.
故答案为：是；
【分析】(1)利用因式分解法解方程得到 然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
(2)利用因式分解法解方程得到 再根据新定义解得m=1或m=4；然后把m=1或m=4分别代入所求的代数式中求值即可；
(3)设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α=m﹣1， α·2α=32， ， 然后求出α，再计算对应的m的值即可.
24．【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
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