资源简介

甘肃省兰州市八校 2025-2026 学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解兰州白兰瓜的甜度情况
B．了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C．了解兰州市中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况
D．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
r r r r
2．已知 a = 1,2 ，b = -2, t ，若 a∥b，则实数 t的值为（ ）
A．-4 B．-1 C．2 D．4
3．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进
行调查．若高中需抽取 20 名学生，则小学与初中共需抽取的人数为
A．30 B．40 C．70 D．90
π π 4
4．已知角a , ÷，且 sin 2a = ，则cosa =（4 2 ）è 5
3 5 4A B C D 2 5． ． ． ．
5 5 5 5
5．已知 tana ， tan b 是方程 x2 - 4x - 3 = 0的两根，且a , b 0, π ，则a + b 的值为（ ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
uuur 1 uuur uuur uuur
6．如图，在平行四边形 ABCD中，点E 满足BE = EC ，点F 为CD的中点，则 （ ）
3 DE + AF =
3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 5 uuur 1 uuur 5 uuur
A． AB + AD B． AB + AD C． AB + AD D． AB + AD
2 3 2 4 2 4 2 4
7．在VABC 中，内角 A， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且-2c = c2 + 4 - b2， a = 2，则角B =（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
uuur uuuur uuur uuuur uuur
8．若 M 为VABC 所在平面内一点，且满足 | MB - MC |=| MB + MC - 2MA |，则VABC 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．有一组样本数据 x1, x2 ,L, xn ，由这组数据得到新样本数据 y1, y2 ,L, yn ，其中 yi = xi + c i =1,2,L,n ,c为
非零常数，则两组样本数据的样本（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同
C．标准差相同 D．极差相同
r r
10．已知向量 a = -4,3 ，b = 7,1 ，下列说法正确的是（ ）
r r r r r
A． a + b ^ a B． a - b = 5 5
r 4 3 r r
C．与向量a 平行的单位向量仅有 - , ÷ D．向量a 与向量b 的夹角为5 5 135
o
è
11．已知函数 f x 3= sin 2x - cos2 x 1+ （ x R ），则下列说法正确的是（ ）
2 2
A．函数 f x 的图象关于 y 轴对称
B．函数 f x 的最小正周期为 π
π
C ．点 ,06 ÷为函数
f x 图象的一个对称中心
è
D．函数 f x 的最大值为 1
三、填空题
12．数据 2,4,5,8, a,10,11的平均数是 7，则这组数据的第60 百分位数为______．
13． cos 70°sin 40° - sin110°sin 50°的值为______．
r r r r r r
14．已知 a
r
= 3, b = 3 ，向量a 在向量b 上的投影向量为 2b ，则a 与b 夹角的余弦值为______.
四、解答题
15．某校 100 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60) 与[60,70)中的学生人数；
(3)估计这次考试的众数、平均数及 78 分以上的人数．
r r r16．已知向量 a,b 满足 a
r
= 2 b =1 ar
r π
， ，且 与b 的夹角为 ．
3
r r r r(1)若 2a + b ^ a - lb ，求实数l 的值；
r r
(2) r求b 与 a + 2b 的夹角的大小．
uuur uuur
17．已知在VABC 中，点M 是BC 边上靠近点 B 的四等分点，点 N 在 AB 边上，且 AN = NB ，设 AM 与CN
uuur ur uuur r
相交于点 P ．记 AB = m ， AC = n．
ur r uuuur
(1)请用m， n表示向量 AM ；
r ur ur r 1 uuur uuur
(2)若 n = 2 m ，设m， n的夹角为q ，若 cosq = ，求证：CN ^ AB．4
18 ABC A B C a b c c sin B π 3．已知V 的内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ，且 + 3 ÷
= a．
è 2
(1)求角C 的大小；
(2)若VABC 的面积为6 3 ，中线CD = 19 ，求 c．
r r
19．已知向量 a = sin x,
3
÷ ，b = cos x, -1 ．
è 2
r r
(1)当a / /b 时，求 2cos2 x - sin 2x 的值；
r r r π p
(2)求 f x = a + b ×b é在 ê- ,0ù é ùú 的最小值及相应 x 的取值，并求出函数 f x 在 ê- ,02 ú 的单调递增区间． 2
参考答案
1．D
解析：切开白兰瓜具有破坏性，故 A 不符合题意；
测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故 B 不符合题意；
兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；
航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故 D 符合题意.
2．A
r r r r 1 2
解析：因为 a∥b，所以 a = lb ，则l = = ，解得 t = -4 .-2 t
故选：A
3．C
20 1
解析：由题意可得，抽样比为： =
1200 60
1
则小学和初中共抽取： 2400 +1800 = 70人
60
本题正确选项：C
4．B
sin 2a 4解析：由 = ，即 2sina cosa
4
= ，
5 5
a π π又由 ,

÷，可得 sina > cosa > 0，
è 4 2
则 (sina + cosa )2 = sin2 a cos2 a 2sina cosa 1
4 9
+ + = + = ，可得 sina cosa 3 5+ = ，
5 5 5
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa 1 4 1= - = ，可得 sina - cosa 5= ，
5 5 5
联立方程组，可得 cosa 5= .
5
故选：B.
5．C
ìtana + tan b = 4
解析：由题意， ítana tan b 3， × = -
则 tan(a + b )
tana + tan b 4
= = = 1 tana , tan b
1- tana × tan b 1- (-3) ，且 一正一负，
因a , b 0, π π 5π，则 < a + b < 2π ，故a + b = .
2 4
故选：C.
6．B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
解析：因为BE = EC ，所以DE = DC + CE = AB
3
- AD .
3 4
uuur uuur uuur uuur
AF AD DF AD 1
uuur
因为点F 为CD的中点，所以 = + = + AB，
2
uuur uuur 3 uuur 1 uuur
所以DE + AF = AB + AD .
2 4
故选：B.
7．D
解析：已知-2c = c2 + 4 - b2，
又因为 a = 2，所以 c2 + a2 - b2 = -2c，
2
cos B a + c
2 - b2 -2c 1
又由余弦定理 = = = - ，
2ac 4c 2
又因为B 0, π ，
2π
所以B = ，
3
故选：D.
8．A
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
解析：由 MB - MC = MB + MC - 2MA ，得 CB = MB - MA + MC - MA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 CB = AB + AC ，即 AB - AC = AB + AC ，
uuur uuur uuur uuur
两边平方并化简得 AB × AC = 0，则 AB ^ AC ，即 AB ^ AC ，故 BAC = 90°，
所以VABC 是直角三角形.
故选：A
9．CD
x x1 + x2 +L+ x解析：对于 A，原样本数据的平均数 = n ，新样本数据的平均数
n
y y1 + y2 +L+ y= n x= 1 + x2 +L+ xn + c（ c 0），所以 A 错误；
n n
xn + xn
对于 B,不妨设原样本数据 x1 x2 ... xn ,中位数为 xn+1 或 +12 2 ,则新样本数据 y1 y2 ... yn ,中位数为
2 2
yn+1 = xn+1 + c
yn + yn x1 n + xn或 + +12 2 = 2 2 + c ,B 错误;2 2 2 2
1 2 2 2
对于 C 2，原样本数据的方差 s é ùx = x1 - x + xn 2 - x +L+ xn - x ，新样本数据的方差为
s2 1
2 2 2
y = é x1 + c - x + c ù + é x2 + c - x + c ù +L+ én xn + c - x + c ù
1
= é x
2
1 - x + x
2
2 - x +L+ x - x
2 ù = s2n x ,所以 sx = sy ,C 正确；n
对于 D，不妨设样本数据 x1, x2 ,L, xn 中x1， xn分别为最小值和最大值，极差为 xn - x1，则新样本数据 y1，
y2 ，…， yn 中 y1， yn 分别为最小值和最大值，极差为 yn - y1 = (xn + c) - (x1 + c) = xn - x1 ，所以 D 正确.
故选：CD.
10．ABD
r r r r r r r r
解析：对于 A， a + b = 3,4 ， a + b × a = 3 -4 + 4 3 = 0，所以 a + b ^ a ，故 A 正确；
r r
对于 B， a
r
- b = -11,2 r，所以 a - b = -11 2 + 22 = 5 5 ，故 B 正确；
r a
r r
4 3 a 4 3
对于 C， a = -4 2 + 32 = 5，则有 ar = - ,5 5 ÷、- ar = ,- ÷ ，è è 5 5
r 4 3 4 3
即与向量a 平行的单位向量有 - , ÷、 ,- ，故 C 错误；
è 5 5 ÷ è 5 5
r r r
r
对于 D， cos a,b
a ×b -4 7 + 3 1 2
= r r = = -
r r
a b 5 49 +1 2 ，所以向量a 与向量b 的夹角为135
o，故 D 正确．
故选：ABD
11．BD
解析：由题意可得： f x 3= sin 2x 1 3 1 π- cos2 x + = sin 2x - cos 2x = sin 2x -
2 2 2 2 6 ÷
，
è
对于选项 A：因为 f 0 = sin π- 1 ÷ = - 不为最值，
è 6 2
所以函数 f x 的图象不关于 y 轴对称，故 A 错误；
对于选项 B：函数 f x 2π的最小正周期为T = = π ，故 B 正确；
2
π
对于选项 C：因为 f ÷ = sin 2
π π
-
π 1
÷ = sin = 0，
è 6 è 6 6 6 2
π
所以点 ,0 f x 6 ÷不为函数 图象的一个对称中心，故 C 错误；è
π
对于选项 D：当 2x - = 2kπ
π , k Z x kπ π+ ，即 = + ,k Z时，
6 2 3
函数 f x 取到最大值为 1，故 D 正确；
故选：BD.
12．9
解析：因为数据 2,4,5,8, a,10,11的平均数是 7，
1
所以 2 + 4 + 5 + 8 + a +10 +11 = 7 ，解得 a = 9，
7
因为7 60% = 4.2，
所以这组数据的第60 百分位数为第5位数，即9 .
故答案为：9 .
1
13．- / -0.5
2
cos 70°sin 40° - sin110°sin 50°
= cos 70o sin 90o - 50o - sin 180o - 70o sin 50o
= cos 70o cos50o - sin 70o sin 50o
解析：= cos 70o + 50o
= cos120o
1
= -
2
14 6．
3
r
r r r r a cosq r
解析：设a 与b 的夹角为q ，则向量a 在向量b 上的投影向量为 r bb ，
ar cosq
r 3cosq所以 = = 2 6b 3 ，所以 cosq = .3
15．(1) a = 0.005
(2)10，15
(3)众数：75 分；平均数：76.5 分； 47人
解析：（1）由题意得 (2a + 3a + 7a + 6a + 2a) 10 =1，解得 a = 0.005 .
（2）设 p1为成绩落在[50,60) 上的概率， n1为成绩落在[50,60) 的人数，
由题意得 p1 =10 2 0.005 = 0.1,n1 =100 p1 =10，
设 p2为成绩落在[60,70)上的概率，n2为成绩落在[60,70)的人数，
p2 =10 3 0.005 = 0.15,n2 =100 p2 =15 .
（3）由题意得众数为 75 分；
由（1）得成绩落在[50,60) 的频率为 0.1，落在[60,70)的频率为 0.15，
落在[70,80)的频率为 0.35，落在[80,90)的频率为 0.3，落在[90,100)的频率为 0.1，
则平均数为55 0.1+ 65 0.15 + 75 0.35 + 85 0.3 + 95 0.1 = 76.5，
设 p 为 78 分以上的频率， n 为 78 分以上的人数，
p 80 - 78则 = 7 0.005 10 + 6 0.005 10 + 2 0.005 10 = 0.47
10
n =100 p = 47 ，
故 78 分以上的人数为 47 人.
16．(1) l = 3
π
(2)
6
r r r r
解析：（1）由题意可得 a ×b = a b cos
π 1
= 2 1 =1，
3 2
r r r r r因为 2a + b ^ ar lb r r- ，所以 2a + b × a - lb = 0，
r r r
即 2ar2 - 2lar ×b + ar ×b - lb 2 = 2 4 - 2l 1+1- l 1 = 9 - 3l = 0，
解得l = 3．
r r r
（2）设b 与 ar + 2b 的夹角为q ，由（1）可知，ar·b = 1，
r
由题意可得b × r r r ra + 2b r= a ×b + 2b 2 =1+ 2 1 = 3，
r r 2 r r r r
由 a + 2b ar= 2 + 4ar ×b + 4b 2 = 4 + 4 + 4 =12，得 a + 2b = 2 3，
r
b × r ra + 2b
所以 cosq = r r
3 3
r = =
π
，所以q = .
b a + 2b 1 2 3 2 6
uuuur ur r
17．(1) AM
3 1
= m + n
4 4
(2)证明见解析
uuur uuur uuur r ur uuuur 1 uuur 1 r ur
解析：（1） BC = AC - AB = n - m ，由题意得BM = BC = n - m ，4 4
uuuur uuur uuuur ur 1 r ur 3 ur 1 r
所以 AM = AB + BM = m + n - m = m + n．4 4 4
uuur uuur uuur uuur 1 uuur ur r
（2）由题意，CN = CA + AN = -AC + AB
1
= m - n ．
2 2
r ur ur r ur r ur 2
∵ n = 2 m cosq
1
， = ，∴ m × n = m n cosq
1
× × = m ．
4 2
uuur uuur ur r ur ur2 r ur ur 2 ur 2
∴ CN × AB
1
= m - n

÷ ×m
1 1 1
= m - n × m = m - m = 0，
è 2 2 2 2
uuur uuur
∴ CN ^ AB．
π
18．(1)C =
3
(2) c = 2 7
解析：（1）在VABC 中， A = π - B + C ，则 sin A = sin B + C ，
c sin 因为 B
π
+
3
÷ = a，
è 3 2
则 c sin B + 3c cos B = 3a，
由正弦定理得： sin C sin B + 3 sin C cos B = 3 sin B + C ，
所以 sin C sin B + 3 sin C cos B = 3 sin B cosC + 3 cos B sin C ，
所以 sin C sin B = 3 sin B cosC ，
又0 < B < π ，得 sin B > 0，所以 sin C = 3 cosC ，即 tan C = 3，
π
由0 < C < π，解得C = .
3
（2）因为VABC 的面积为6 3 ，
1
所以 absin C = 6 3，
2
π
由（1）知C = ，故 ab = 24，
3
因为CD为中线，即D为 AB 中点，
uuur 1 uuur uuur则CD = CA + CB ，又2 CD = 19 ，
uuur2 1 uuur uuur 2
则CD = CA + CB =19，所以 a24 + b
2 + ab = 76 ，
解得 a2 + b2 = 52，
2 2 2 1
由余弦定理得 c = a + b - 2ab cosC = 52 - 2 24 = 28，
2
所以 c = 2 7 .
20
19．(1)
13
3π
(2) x
3π
= - f (x) 2
é ù
时， min = - ；当 x ê- ,0ú 时，函数单调递增8 2 8
r 3 r
解析：（1）解：由向量 a = sin x, ÷ ，b = cos x, -1 ，
è 2
r r 3
因为a / /b ，可得 cos x + sin x = 0
3
，所以 tan x = - ，
2 2
2cos2 x 2cos
2 x - 2sin× x cos x 2 - 2 tan x 20
则 - sin 2x =
sin2 x + cos2
= 2 = .x 1+ tan x 13
r r r
（2）解：由函数 f x = (a + b) ×b = sin x + cos x cos x 1 2- = sin 2x π +

÷，2 2 è 4
π
- x 0 3π 2x π π - + 1 sin 2x π 2因为 ，所以 ，所以- + ÷ ，2 4 4 4 è 4 2
2 1 2x π π 3π所以- f x ，所以当 + = - ，即 x = - 2时， f (x)min = - ，2 2 4 2 8 2
π 2kπ 2x π π 2kπ, k 3π π令- + + + （ Z)，可得- + kπ x + kπ, (k Z) ，
2 4 2 8 8
é π
因为 x ê- ,0
ù x é 3π- ,0ù
2 ú
，当 ê 时，函数单调递增， 8 ú
所以函数 f x é 3π ù的单调递增区间为 ê- ,0 8 ú .

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