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青海海南州高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
2．已知函数，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．数列满足，，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A．0 B． C． D．
5．已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．等比数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的倍，天共织尺，若该女子欲织满尺，则至少需要（ ）日
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．在处取得极小值 B．有3个零点
C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为
11．已知首项为3的数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等比数列
B．
C．是等比数列
D．的前项和小于1
三、填空题
12．直线是曲线的一条切线，则实数___________．
13．函数，则______．
14．设等差数列的前项和为，若，则使取得最小值的n的值为__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程.
16．已知函数，当时，取得极值.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值.
17．已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知数列的前n项和为，且，且.
(1)证明数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求正整数k的所有取值.
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调递增区间；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】函数在上的平均变化率为.
2．C
【详解】由，则.
3．A
【详解】因为，，
所以，，，，，…
所以数列是周期数列，周期为3，
所以.
4．C
【详解】设等差数列的公差为，
由，即，
解得.
5．D
【详解】数列是等差数列，且，，
所以，
则.
6．A
【详解】因为为等比数列，所以，解得或，
因为等比数列，所以，
则，所以，设公比为，则，
所以．
7．B
【详解】因为，是方程的两根，
所以由韦达定理可得，所以，.
因为为等比数列，所以，解得.
若，则，不符合要求，故.
8．C
【详解】设女子第天织布尺，由于每天织布量是前一天的倍，
因此第天的织布量为尺，前天织布量的总和为尺，
由题意得，
要使织布总尺数达到尺，即，
代入得，所以最小的是，
因此该女子欲织满尺，则至少需要日，故C正确.
9．BCD
【详解】对于选项A： ，所以选项A错误.
对于选项B：，所以选项B正确.
对于选项C：，所以选项C正确.
对于选项D：，所以选项D正确.
故选:BCD.
10．ABD
【详解】由，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
又，，，，
，所以函数在有且仅有一个零点，
同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点，
即函数共有3个零点，故B正确；
由前面得在上值域为，故C错误；
设，，，
所以函数是奇函数，图象关于对称，
又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】由，得，
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
由，得，所以，故B正确；
当时，，
又不符合上式，
则，
所以不是等比数列，故C错误；
设的前项和为，
因为，
所以，故D正确.
12．
【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．
13．/
【详解】因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以.
14．4或5
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以，
令，得，解得，
由，可知数列是递增数列，
所以当或时，取得最小值.
故答案为：4或5.
15．(1)或
(2)或
【详解】（1），由题意可得，故，
当时，，当时，，
故点P的坐标为或；
（2）设切点坐标为，则有，
故，整理得，
即，故或，
当时，有，即，
当时，有，即，
故此切线的方程为或.
16．(1)
(2)最大值为1，最小值为.
【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值，
所以，即，解得，经验证符合题意，
所以.
（2）可知，.
令，则得或
0 2
+ 0 - 0 +
极大值1 极小值
，，所以在区间上的最大值为1，最小值为.
17．(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，，则.
，故，
由可得，消去，可得，
即.
因为且，所以.
故数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）根据题意得：，
由（1）得.
故
18．(1)证明见解析
(2)
(3)，，
【详解】（1）证明：因为，两边同时除以得，，
化简得，所以，
又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，所以，
则①，
又②，
①②得，
所以.
（3）解：由（1）（2）可知，，.
所以，.
由可得，，整理可得.
令，易知在上单调递增，
在上单调递增，所以，在上单调递增.
又，，
，，
所以，当时，有，即，在，时不成立.
所以k可取，，.
19．(1)当时，的单调增区间为，
当时，的单调增区间为和；
(2)
【详解】（1）由题，，
则，
①当时，，在上恒成立，则的单调递增区间为，
②当时，在上恒成立，
则的单调递增区间为，
③当时，时，，
时，，
时，，
所以的单调递增区间为和，
综上：当时，的单调增区间为，
当时，的单调增区间为和；
（2），
设，则，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，且，
①当时，，又在区间上单调递增，
所以对任意，都有，
所以在区间上单调递增，所以满足条件；
②当时，，，
所以，使得，
所以当时，单调递减，
即当时，，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．

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