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四川省德阳市旌阳区2026年二模考试数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，比-1小的数是（　　）
A．-2 B． C．0 D．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．“”是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，“”全球月活跃用户数量突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、设计精巧，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成．图1为折叠电动车实物图，图2为设计示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
5．若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的进步和发展，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧时的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何体组合．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元，则买油毡纸要花费的费用至少为（　　）
A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元
7．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知平行四边形中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　）
A．8 B．14 C．18 D．38
10．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
11．如果，，那么　 　．
12．若某圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为　 　．
13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为18的纸条，则　 　．
14．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．即“如图，已知，，是上一点，，，，在处测得点的俯角为，那么　 　．”
15．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是　 　．（填写番号）
三、解答题：（本大题共7小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算及解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
17．2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对、两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：
【收集数据】
班学生的成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89．
班学生的成绩：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
A 92 95 34.2
B 89 88.5 24.4
根据以上信息，解决下列问题．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；
（3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率．
18．如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）求的最小值．
19．如图，在中，，，分别为，的中点，连接并延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）过点作交于点，若，，求的长．
20．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货．
（1）每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的、的值；
②若型无人机运费为40元/次，型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点．点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差；
（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围．
22．如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
（3）猜想，，间的数量关系，并证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴比小的数是，
故选：A ．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较大小解答即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：对选项A：，A错误；
对选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误；
对选项C：，C错误；
对选项D：∵，∴等式成立，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为，
∴舍去，得46000000，
∴，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出，然后利用外角求出，然后根据平行线的性质求出解答即可．
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴，两点不在同一象限，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解不等式组得．
故答案为：D.
【分析】先得到反比例函数的增减性，再结合得到两点中点A在第二象限，点D在第四象限列不等式组求出a的取值范围即可.
6．【答案】C
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：过点作于点，
由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∴买油毡纸要花费的费用（元）．
故答案为：C.
【分析】过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出AB长，然后求出圆柱和圆锥的侧面积，进而求出油毡的费用解答即可．
7．【答案】A
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故选：A．
【分析】根据题目所给方法构造方程的正方形即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∴
由作图得，平分，平分
∴，
∴
∴
同理可得，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据作图可得平分，平分，根据角平分线的定义求出，即可得到，同理可得，根据线段的和差求出，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可．
9．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
【分析】先解不等式，根据不等式组的解集 ，根据 至少有两个正整数解可得，然后解分式方程求出，再根据题意得到为大于等于6的偶数求出a的所有整数解求和解答即可.
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，， ，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵矩形，
∵，
又∵
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即的值为定值1，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，
故选：．
【分析】根据正方形的性质得到四边形是矩形，再根据得到是正方形判定；连接，根据矩形的对角线相等可得，然后根据SAS得到，即可得到，然后推理得到，可得，判定；得到，，即可得到判定；根据，即当最小时，最小，所以当时，最小， 然后根据△BCD的面积求出CG的最小值，进而求出线段的最小值判定解答即可．
11．【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平方差公式分解因式，然后整体代入计算即可.
12．【答案】.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作 于点G.
在 中，
∴这个正六边形的面积为
故答案为：
【分析】本题以圆内接正六边形为背景，考查了正多边形的边心距、中心角、三角函数及面积计算。连接半径和边心距，利用直角三角形中余弦值求出半径，再根据正六边形面积等于6个等边三角形面积之和求解。
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分为：，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以长方形纸条叠合为背景，考查了一元一次方程的应用及代数式求值。根据叠合部分长度相等建立等式，设重叠部分为k，用k表示a、b，再根据叠合后总长度等于各部分长度之和减去重叠部分，列方程求解k，最后计算a+b的值。
14．【答案】．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
在中，，
，
，
在中，，则，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到，根据余弦和正切的定义求出，即可得到，然后根据勾股定理求出，再根据线段的和差解答即可．
15．【答案】①④⑤．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点，
∴，
∴①正确；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∵对称轴为，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴②不正确；
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且，
∴，
∴③不正确；
∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，
∴方程无实根，
∴④正确；
对，令，则，
∴二次函数的图象交y轴于点，
∴，
∵，
∴
把代入，
得．
∴，
即．
∴⑤正确．
∴正确的有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【分析】根据图象与轴交点个数可得，判断①；利用对称轴为可得，把点代入解析式得，即可得到，判断②；根据二次函数的对称性得到的对称点为，再利用时，y随x的增大而增大，得到，判断③；根据直线在二次函数的图象上方时二次函数图象不相交，即方程无实根，判断④；根据二次函数的图象与y轴的交点可得，根据求出，再根据顶点求出，求出内的取值范围判断⑤解答即可．
16．【答案】（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
解得，．
【知识点】负整数指数幂；配方法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算乘方、算术平方根、负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可；
（2）先移项，然后添加一次项系数一半的平方，再把左边写成完全平方形式，然后开平方解一元二次方程即可.
17．【答案】（1）93.5；87
（2），
将班成绩按照从大到小排列为：100，100，99，98，97，95，95，95，94，94，93，93，90，89，89，87，86，85，83，78，其中94分位于第9名和第10名，
故班的小宁同学本次测试成绩为94分，她有机会参与航天知识竞赛；
（3）根据题意，列表可得：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （丁，丁）
由表格可得，其中甲、乙两个视频恰好同时被播放的情况有2种，
故甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）将A班学生的成绩按照从小到大排列为：78，83，85，86，87，89，89，90，93，93，94，94，95，95，95，97，98，99，100，100，处在中间位置的两个数为93，94，故中位数；
B班学生的成绩中出现的次数最多，故；
故答案为：93.5；87；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）由题意可得A班学生的成绩在前名有机会参加，将A班学生的成绩按照从大到小排列，根据94分成绩的排名判断解答即可；
（3）列表得到所有等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
18．【答案】（1）由，解得或，
由图形可知，
；
（2）设点的坐标为，则，，
，，
，
当有最大值时，有最小值，
，
当时，有最大值为4，
有最小值为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）联立两解析式求出交点的坐标即可；
（2）设点的坐标为，即可得到点的纵坐标为，点的横坐标为t，求出点E、F的坐标，即可求出、的长度，进而可得，然后利用二次函数的最值求出的最小值即可．
19．【答案】（1）证明：在中，
是中点，为中点
为的中位线
又
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，点为的中点，
，，
平行四边形为矩形
（2）如图，过点作于，
，，
，，
，
．
，
设，则，，则，
，
，
，
，，
，
，
，
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得DE=，进而得到哦啊DE=EF，证明ADBF是平行四边形，再根据AD⊥BC，证明结论即可；
（2）过点作于，根据正切的定义设，即可得到 ，根据勾股定理得，求出x的值；然后根据平行线可得，根据对应边成比例解答即可．
20．【答案】（1）设每台型无人机的单次最高载货量是，则每台型无人机的单次
最高载货量是，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台型无人机的单次最高载货量是，每台型无人机的单次最高载货量是
（2）①由题意得：，
整理得：，
，，为正整数
或；
②由①可知，有2种运送方案：，
方案1的运费为：（元）；方案2的运费为：（元）；，
为了节省成本，该公司应使用种型号的无人机4台，种型号的无人机4台
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据题意列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）①根据题意得，然后求出m，n的正整数解，即可得到方案；
②根据①的结论，分别求出各方案的总费用，比较解答即可．
21．【答案】（1）（1）点，是抛物线上的点，
，解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线顶点的坐标为
（2）抛物线顶点的坐标为，
当时，随的增大而减小，
当时，在处，取得最大值，
在处，取得最小值，
当时，二次函数的最大值与最小值的差为；
（3）设直线的解析式为，
点，，，解得：，
直线的解析式为，
设点（且），则点，
当点在点的下方，即时，；
时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
当时，线段的长随的增大而增大，
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据函数的增减性得到 的最大值和最小值，然后求差解答即可；
（3）先求出直线AD的解析式，然后设点，则，分点在点的下方和点在点的上方两种情况，列函数关系式，根据二次函数的增减性求出n的取值范围即可．
22．【答案】（1）连接，如图，
是的直径，，
，
为的中点，
，
，
，
，
的长度；
（2）证明：，
，
，
，
．
是的直径，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（3）解：，，间的数量关系为：．
证明：延长至点，使，连接，，，，，如图，
由（1）知：，，
为等边三角形，
同理：为等边三角形，
，，
．
为圆内接四边形的外角，
．
在和中，
，
，
，
过点作于点，
则．
，
，
，
．
，
．
【知识点】切线的判定；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，根据正弦的定义求出∠OCE=30°，进而求出∠COE的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据两边成比例得到△FBA∽△FPB，再根据对应角相等得到，即可证明结论；
（3）延长至点G，使，连接，根据（1）可得为等边三角形，然后根据SAS得到△GDA≌△PCA，根据对应边相等得到，过点A作于点H，利用然后根据三线合一和余弦的定义求出，然后根据线段的和差解答即可．
1 / 1四川省德阳市旌阳区2026年二模考试数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，比-1小的数是（　　）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴比小的数是，
故选：A ．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，负数比较大小，绝对值大的反而小，据此比较大小解答即可．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：对选项A：，A错误；
对选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误；
对选项C：，C错误；
对选项D：∵，∴等式成立，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可.
3．“”是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，“”全球月活跃用户数量突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为，
∴舍去，得46000000，
∴，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、设计精巧，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成．图1为折叠电动车实物图，图2为设计示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义求出，然后利用外角求出，然后根据平行线的性质求出解答即可．
5．若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴，两点不在同一象限，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解不等式组得．
故答案为：D.
【分析】先得到反比例函数的增减性，再结合得到两点中点A在第二象限，点D在第四象限列不等式组求出a的取值范围即可.
6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的进步和发展，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧时的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何体组合．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元，则买油毡纸要花费的费用至少为（　　）
A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元
【答案】C
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：过点作于点，
由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∴买油毡纸要花费的费用（元）．
故答案为：C.
【分析】过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出AB长，然后求出圆柱和圆锥的侧面积，进而求出油毡的费用解答即可．
7．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故选：A．
【分析】根据题目所给方法构造方程的正方形即可．
8．如图，已知平行四边形中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∴
由作图得，平分，平分
∴，
∴
∴
同理可得，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据作图可得平分，平分，根据角平分线的定义求出，即可得到，同理可得，根据线段的和差求出，然后根据平行线得到，根据对应边成比例解答即可．
9．若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
【分析】先解不等式，根据不等式组的解集 ，根据 至少有两个正整数解可得，然后解分式方程求出，再根据题意得到为大于等于6的偶数求出a的所有整数解求和解答即可.
10．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，， ，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵矩形，
∵，
又∵
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即的值为定值1，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，
故选：．
【分析】根据正方形的性质得到四边形是矩形，再根据得到是正方形判定；连接，根据矩形的对角线相等可得，然后根据SAS得到，即可得到，然后推理得到，可得，判定；得到，，即可得到判定；根据，即当最小时，最小，所以当时，最小， 然后根据△BCD的面积求出CG的最小值，进而求出线段的最小值判定解答即可．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
11．如果，，那么　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平方差公式分解因式，然后整体代入计算即可.
12．若某圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为　 　．
【答案】.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作 于点G.
在 中，
∴这个正六边形的面积为
故答案为：
【分析】本题以圆内接正六边形为背景，考查了正多边形的边心距、中心角、三角函数及面积计算。连接半径和边心距，利用直角三角形中余弦值求出半径，再根据正六边形面积等于6个等边三角形面积之和求解。
13．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为18的纸条，则　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分为：，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以长方形纸条叠合为背景，考查了一元一次方程的应用及代数式求值。根据叠合部分长度相等建立等式，设重叠部分为k，用k表示a、b，再根据叠合后总长度等于各部分长度之和减去重叠部分，列方程求解k，最后计算a+b的值。
14．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．即“如图，已知，，是上一点，，，，在处测得点的俯角为，那么　 　．”
【答案】．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
在中，，
，
，
在中，，则，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到，根据余弦和正切的定义求出，即可得到，然后根据勾股定理求出，再根据线段的和差解答即可．
15．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是　 　．（填写番号）
【答案】①④⑤．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点，
∴，
∴①正确；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∵对称轴为，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴②不正确；
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且，
∴，
∴③不正确；
∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，
∴方程无实根，
∴④正确；
对，令，则，
∴二次函数的图象交y轴于点，
∴，
∵，
∴
把代入，
得．
∴，
即．
∴⑤正确．
∴正确的有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
【分析】根据图象与轴交点个数可得，判断①；利用对称轴为可得，把点代入解析式得，即可得到，判断②；根据二次函数的对称性得到的对称点为，再利用时，y随x的增大而增大，得到，判断③；根据直线在二次函数的图象上方时二次函数图象不相交，即方程无实根，判断④；根据二次函数的图象与y轴的交点可得，根据求出，再根据顶点求出，求出内的取值范围判断⑤解答即可．
三、解答题：（本大题共7小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．计算及解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
解得，．
【知识点】负整数指数幂；配方法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算乘方、算术平方根、负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可；
（2）先移项，然后添加一次项系数一半的平方，再把左边写成完全平方形式，然后开平方解一元二次方程即可.
17．2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对、两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：
【收集数据】
班学生的成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89．
班学生的成绩：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
A 92 95 34.2
B 89 88.5 24.4
根据以上信息，解决下列问题．
（1）填空：　 　，　 　；
（2）已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；
（3）A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率．
【答案】（1）93.5；87
（2），
将班成绩按照从大到小排列为：100，100，99，98，97，95，95，95，94，94，93，93，90，89，89，87，86，85，83，78，其中94分位于第9名和第10名，
故班的小宁同学本次测试成绩为94分，她有机会参与航天知识竞赛；
（3）根据题意，列表可得：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） （丁，丁）
由表格可得，其中甲、乙两个视频恰好同时被播放的情况有2种，
故甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）将A班学生的成绩按照从小到大排列为：78，83，85，86，87，89，89，90，93，93，94，94，95，95，95，97，98，99，100，100，处在中间位置的两个数为93，94，故中位数；
B班学生的成绩中出现的次数最多，故；
故答案为：93.5；87；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）由题意可得A班学生的成绩在前名有机会参加，将A班学生的成绩按照从大到小排列，根据94分成绩的排名判断解答即可；
（3）列表得到所有等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
18．如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、．
（1）求点的坐标；
（2）求的最小值．
【答案】（1）由，解得或，
由图形可知，
；
（2）设点的坐标为，则，，
，，
，
当有最大值时，有最小值，
，
当时，有最大值为4，
有最小值为
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）联立两解析式求出交点的坐标即可；
（2）设点的坐标为，即可得到点的纵坐标为，点的横坐标为t，求出点E、F的坐标，即可求出、的长度，进而可得，然后利用二次函数的最值求出的最小值即可．
19．如图，在中，，，分别为，的中点，连接并延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）过点作交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：在中，
是中点，为中点
为的中位线
又
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，点为的中点，
，，
平行四边形为矩形
（2）如图，过点作于，
，，
，，
，
．
，
设，则，，则，
，
，
，
，，
，
，
，
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得DE=，进而得到哦啊DE=EF，证明ADBF是平行四边形，再根据AD⊥BC，证明结论即可；
（2）过点作于，根据正切的定义设，即可得到 ，根据勾股定理得，求出x的值；然后根据平行线可得，根据对应边成比例解答即可．
20．某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货．
（1）每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的、的值；
②若型无人机运费为40元/次，型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
【答案】（1）设每台型无人机的单次最高载货量是，则每台型无人机的单次
最高载货量是，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台型无人机的单次最高载货量是，每台型无人机的单次最高载货量是
（2）①由题意得：，
整理得：，
，，为正整数
或；
②由①可知，有2种运送方案：，
方案1的运费为：（元）；方案2的运费为：（元）；，
为了节省成本，该公司应使用种型号的无人机4台，种型号的无人机4台
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据题意列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）①根据题意得，然后求出m，n的正整数解，即可得到方案；
②根据①的结论，分别求出各方案的总费用，比较解答即可．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点．点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）当时，求二次函数的最大值与最小值的差；
（3）若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围．
【答案】（1）（1）点，是抛物线上的点，
，解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线顶点的坐标为
（2）抛物线顶点的坐标为，
当时，随的增大而减小，
当时，在处，取得最大值，
在处，取得最小值，
当时，二次函数的最大值与最小值的差为；
（3）设直线的解析式为，
点，，，解得：，
直线的解析式为，
设点（且），则点，
当点在点的下方，即时，；
时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
当时，线段的长随的增大而增大，
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据函数的增减性得到 的最大值和最小值，然后求差解答即可；
（3）先求出直线AD的解析式，然后设点，则，分点在点的下方和点在点的上方两种情况，列函数关系式，根据二次函数的增减性求出n的取值范围即可．
22．如图，在中，是的直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
（3）猜想，，间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）连接，如图，
是的直径，，
，
为的中点，
，
，
，
，
的长度；
（2）证明：，
，
，
，
．
是的直径，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（3）解：，，间的数量关系为：．
证明：延长至点，使，连接，，，，，如图，
由（1）知：，，
为等边三角形，
同理：为等边三角形，
，，
．
为圆内接四边形的外角，
．
在和中，
，
，
，
过点作于点，
则．
，
，
，
．
，
．
【知识点】切线的判定；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接，根据正弦的定义求出∠OCE=30°，进而求出∠COE的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据两边成比例得到△FBA∽△FPB，再根据对应角相等得到，即可证明结论；
（3）延长至点G，使，连接，根据（1）可得为等边三角形，然后根据SAS得到△GDA≌△PCA，根据对应边相等得到，过点A作于点H，利用然后根据三线合一和余弦的定义求出，然后根据线段的和差解答即可．
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