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专题08 二元一次方程组、一元一次不等式含参问题
题型1 二元一次方程的定义求参 题型8 由不等式组的整数解的个数求参数
题型2 二元一次方程组符号与数字看错求参 题型9 由不等式组的整数解和求参数
题型3 二元一次方程组同解求参 题型10 由不等式组解集的最值求参数
题型4 已知二元一次方程组的整数解求参数 题型11 由不等式组有且只有几个解求参数
题型5 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型12 由不等式组的有解情况求参数
题型6 二元一次方组的新定义求参 题型13 由不等式组的无解情况求参数
题型7 不等式的整数解求参 题型14 方程与不等式组结合求参数
题型一 二元一次方程组的定义求参（共6小题）
1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若 是关于的二元一次方程，则_____
【答案】/
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于的一元一次方程，求解得到的值，再计算即可．
【详解】 是关于，的二元一次方程，
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为，
可得 ，解得
∴．
2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知是关于，的二元一次方程，则___________．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于和的关系式，求出、的值后代入代数式计算即可．
【详解】解：根据二元一次方程的定义可得，
解得，
．
3．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则________．
【答案】/
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴，且
由解得或，
即或
又∵，
∴，故，
由解得，
∴．
4．（25-26七年级下·江苏·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则______．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得
且
解，得
或，
即或，
由，得
，
因此．
5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，确定满足的条件，求解得到的值．
【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：，
由得，
解得或，
由得．
因此．
6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________．
【答案】0
【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴．
题型二 二元一次方程组符号与数字看错求参（共6小题）
7．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小华和小军两人共同计算一道整式乘法题：，由于小华抄错了a的符号、得到的结果为；由于小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式运算及二元一次方程组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．由题意得出方程组，解出方程组即可求出答案．
【详解】解：小华抄错了a的符号，得到的结果为，
，
①，同理小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，，
②，
联立①②可得，
解得，
故选A．
8．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为________．
【答案】0
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用，掌握运算法则是解题的关键．先根据题意得出，，建立关于的方程组求解出的值，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴；
∵，
∴；
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
9．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为 ；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为 ，则 __________．
【答案】10
【分析】本题主要考查了计算多项式乘以多项式， 解二元一次方程组以及代数式求值， 根据题意计算多项式乘以多项式得出，，联立方程组求出a和b的值，然后代入相乘即可得出答案．
【详解】解：∵甲抄错了第一个多项式中a的符号
∴甲计算的式子是
∴
∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数
∴乙计算的式子是
∴
解
解得∶
∴，
故答案为：10．
10．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知方程组，m等于_______时，x，y的符号相反，绝对值相等．
【答案】
【分析】由求解：，再求解，再根据x，y的符号相反，绝对值相等建立方程求解即可．
【详解】
解：，
得：，
把代入①，得，
解得：，
当x，y的符号相反，绝对值相等，可得，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解以及解法，掌握解二元一次方程的解法步骤是解本题的关键．
11．（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可．
【详解】解：根据题意可得出：，，
解得：，
∴，
故答案为：3．
12．（25-26七年级下·河南南阳·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为______．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果．
【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解，
∴，
即，
即第一个方程为；
乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，
因，
故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，
把代入中，得；
故答案为：5．
题型三 二元一次方程组同解求参（共6小题）
13．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______．
【答案】0
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法．联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：联立得：，
得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
∴方程组的解为，
把代入得：，
即，
得：，解得：，
把代入④得：，
∴，
故答案为：0．
14．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可．
【详解】解：解方程组得，
把代入得，
解得
∴．
故答案为：．
15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了方程组的解，先根据两个方程组的解相同得新的方程组，根据一个方程组求出相同的解，再代入求出的和．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴方程组和方程组也有相同的解，
解方程组，得，
方程组的①②，得即，
当时，，
∴．
故答案为：．
16．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值．
【答案】0
【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案．
【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解，
解得，
将代入，得，
解得，
．
17．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知方程组和有相同的解，求a、b的值．
【答案】，
【分析】将两个方程组的第一个方程联立求出x和y的值，再代入另外两个方程得到关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值．
【详解】解：∵方程组和有相同的解，
∴①和③联立方程组得：，
解得：，
将代入②和④，并联立方程组得：，
解得：，
即a、b的值分别为、7．
18．（24-25七年级下·江苏·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
把代入方程中，
得，
解得：，
∴．
题型四 已知二元一次方程组的整数解求参数（共6小题）
19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（ ）
A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10
【答案】C
【分析】先通过加减消元法解方程组，再根据为整数，m为正整数，确定是28和70的正公约数，进而求出m的值．
【详解】解：
∵ ①+②得
∴
将代入②得
∵ 方程组的解均为整数，为正整数
∴ 是28和70的正公约数，且
28和70的正公约数为
符合条件的或
当时，；当时，
∴ 正整数的值为2或9．
20．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ）
A．或0 B．或 C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式．
【详解】解：∵方程组 ，
由第二式得，代入第一式：，
即，
∴，
∴，
即方程组的解为 ，
∵方程组有正整数解，
∴和均为正整数，
即是5和10的正公约数，
5和10的正公约数有1和5，
∴或，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为0或，
故选：A．
21．（25-26七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______．
【答案】
【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数．
【详解】解：
将②得，③
①+③，得，
，
为整数，
是22的因数，
22的因数为，
当时，代入②得解得为整数，符合；
当时（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，，代入②得不是整数，舍去；
当时，（舍去）．
故答案为：．
22．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________．
【答案】3
【详解】解：，
由②得，
将代入①得，
整理得，即，
∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，
∴或，
解得或或13或，
∵k为正整数，
∴或或13，共3个．
23．（225-26）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值．
【答案】
【分析】根据加减消元法，可得，根据a是正整数、y的值是整数，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：，
式，得，
∵a是正整数，y为整数，且，
∴，则，，
解得：．
此时，，符合题意．
∴．
24．（2026七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组．
(1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解；
(2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解；
（）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值．
【详解】（1）解：，
整理得，
∵该方程的解与的取值无关，
∴且，
解得：，
即固定的解为；
（2）解：方程组，
得：，
∴，
∴，
∵恰为整数，也为整数，
∴或，
故或．
题型五 已知二元一次方程组解的情况求参数（共6小题）
25．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程变形后，消掉a即可得，再结合不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，进行分析，可得出结论．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
∴
则
∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，
∴，
∴，
故k的值为，
故选：B．
26．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可．
【详解】解∶
，得，
∵方程组有无数组解，
∴，，
∴，，
故选∶D．
27．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x、y的方程的解满足，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，通过将原方程组中的两个方程相减，直接得到关于的表达式，结合已知条件，建立关于的方程求解即可．
【详解】解：
得：
∵，
∴
解得：，
故选：A．
28．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为______．
【答案】
【分析】先解二元一次方程组，利用加减消元法得到与的关系式，再结合已知条件列一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
得：
整理得：
两边同除以得：
，
，解得：．
29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键．
将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值．
【详解】解：将两方程相加得，
整理得，
由题知，
，
解得．
30．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含的式子表示）；
(2)若方程组的解也满足方程，求的值；
(3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)7
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可；
（2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值；
（3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：∵方程组的解也满足方程，
∴，
解得；
（3）解：∵
，
∵是个定值，
∴，
∴，
∴
．
∴这个定值为7．
题型六 二元一次方组的新定义求参（共6小题）
31．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)具有
(2)或
(3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”
【分析】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系．
（2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值．
（3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系．
【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①-②得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组的解为，
∴，
∴方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
（2）解：，
②-①得，
∴
∵方程组的解与具有“友好关系”，
∴，
解得或，
∴的值为或；
（3）解： ，
得，，
解得，
与，都是正整数，
当时，，
则，
此时方程组的解具有“友好关系”；
当时，，
则，
此时方程组的解不具有“友好关系”；
当时，（不合，舍去）；
当时，（不合，舍去）；
综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”．
32．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是．
(1)二元一次方程的“搭档数”是______；
(2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________
(3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化为一般式得，根据定义确定二元一次方程的“搭档数”即可；
（2）根据方程的“搭档数”为，得这个二元一次方程为，把代入方程求解即可；
（3）根据关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，不妨设这个二元一次方程为，根据，是该方程的两组解，构造关于m、n的方程组求解即可．
【详解】（1）解：化为一般式得，
根据定义，得二元一次方程的“搭档数”为；
（2）解：因为方程的“搭档数”为，
得这个二元一次方程为，
把代入方程，得，
去括号，得，
整理，得，
解得，
故这个二元一次方程为；
（3）解：因为关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，
不妨设这个二元一次方程为，
因为，是该方程的两组解，
所以，
解得．
33．（25-26七年级下·浙江金华·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，且，，
∴，
∴；
（2）解：∵，且，
∴
得，解得，
把代入②得，解得，
∴关于x、y的方程组的解为，
∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，
∴，
∴，
∴．
34．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
(1)方程的“变更方程”为_____；
(2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____；
(3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；
（2）联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程的“变更方程”为，
故答案为：；
（2）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，
解得，
∴把代入可得，
即，
∴
．
35．（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：当两个实数x，y，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组中方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
【答案】(1)x与y具有“友好关系”，理由见解析
(2)a，b的正整数值为或
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值：
（1）用，得到，即可得出结论；
（2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可．
【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下：
由方程组，②－①得
∴方程组的解x与y具有“友好关系”；
（2）∵方程组的解x与y具有“友好关系”，
∴③
联立，解得
把代入中得
则a，b的正整数值为或．
36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， 　　；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解；
（2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得 ：，求解方程组即可．
【详解】（1）
当时，，
（2）
，
，
解得：，
∴a和b的值分别为，；
（3）
，
，
，
化简得：，
解得：，
∴a和b的值分别为，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
题型七 不等式的整数解求参（共6小题）
37．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题．
【详解】解：由得，，
∵该不等式的最小整数解为2，
∴，
解得，
选项中只有C符合题意．
38．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 不等式恰有两个负整数解
∴ 这两个负整数解为、，
∴ ，
结合选项，只有在该取值范围内；
故选：D
39．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】先将方程的解代入原方程，得到，根据非负整数的定义确定的所有可能取值，再计算对应的，比较得到最小值．
【详解】解：将代入得：，
整理得，
∵为非负整数，
∴，，
解得，
∵为非负整数，
∴的可能取值为．
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
，
∴的最小值为．
40．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式．
首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值．
【详解】解：，
移项得，
即，
所以．
由于根是正数，即，
因此，
两边乘以2得，
即．
所以a的取值范围是，
最大整数值为．
故答案为：．
41．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a．
【详解】解：解不等式 ，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴负整数解为，
将代入方程，
得，即，
解得．
故答案为：．
42．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程．
(1)求x的值（用含a的式子表示）；
(2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围；
(3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案；
（3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵该方程的解不小于，
∴，
解得；
（3）由（2）可知，，
∴满足（2）的条件的所有a的正整数值．
题型八 由不等式组的整数解的个数求参数（共6小题）
43．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍．
【详解】解∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0，
∴．
44．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据恰有3个整数解确定具体整数解，最后结合解集边界确定的取值范围，需注意边界值的取舍．
【详解】解：∵不等式组，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴这3个整数解为1、0、，
∴．
故选B．
45．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
不等式组的解集为．
不等式组有且只有三个整数解，
这三个整数解为2、3、4，
的取值范围是，
的最大值是5．
故选：D．
46．（25-26七年级下·江苏南京·期末）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________．
【答案】
【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围．
【详解】解：由不等式得：，
因此原不等式组的解集为，
不等式组只有4个整数解，
4个整数解为0、1、2、3，
可得，
不等式两边同时加2，得：．
47．（2025七年级上·江苏南京·期末）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定．
首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
此不等式组有3个整数解，
这3个整数解为3，4，5，
的取值范围是，
故答案为：．
48．（25-26八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查根据不等式组的解集情况，求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据不等式组只有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：由得：，
∵关于x的不等式组只有4个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
∴．
题型九 由不等式组的整数解和求参数（共6小题）
49．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
所有整数解的和是，
不等式组的整数解为、、、或、、、、、、、、，
则或，
故选：D．
50．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组中未知数满足，关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组，由一元一次不等式组的解的情况求参数，有理数的加法运算，先由方程组得，进而得到，即得，再解不等式组得到，由不等式组的解的情况可得，即得，再把所有满足条件的整数的值相加即可求解，一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：，
①②，得，
∵，
∴，
解得，
解不等式组，得，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴所有满足条件的整数的值为，，，，
∴所有满足条件的整数的和为，
故选：．
51．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．18
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题．
【详解】解：由方程得：，
∵关于的方程的解是非负整数，
∴，
解得，
解不等式组得：，
∵此不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得：，
∴，
∵关于的方程的解是非负整数，，
∴符合条件的所有整数的和是：，
故选：A．
52．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______．
【答案】4
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解，根据关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，可以求得a的值，然后即可求得所有满足条件的整数a的和．
【详解】解：由可得，
由不等式组可得，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴这三个整数解为2，1，0，
∴，
解得，
又∵关于x，y的方程组的解都为整数，
∴或3，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故答案为：4．
53．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为12，则a的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，以及数形结合思想，能够熟练应用数形结合思想是解决本题的关键．分别解出不等式，根据不等式组所有整数解之和为12可知，小于等于5的连续整数之和为12的情况为、、或、、、、、、、，得到或，解出解集即可．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组所有整数解的和为12，
不等式组所有整数解为、、或、、、、、、、，
或，
解得或；
故答案为：或．
54．（25-26八年级上·江苏南京·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出a的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式的解集为，
不等式组的所有整数解的和是，
不等式组的所有整数解，，，，，，0，1，2，3，4或，；
或，
故答案为：或．
题型十 由不等式组解集的最值求参数（共6小题）
55．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的最小整数解是，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集及整数解的应用。解题关键是掌握一元一次不等式组的解集．
首先分别求解两个不等式，确定的取值范围，再根据最小整数解的条件，反向推导的取值范围即可．
【详解】解第一个不等式：
解得：；
解第二个不等式：
解得：；
结合解集得：
，
根据最小整数解，
，
故答案为：．
56．（25-26七年级下·江苏南通·期末）关于的不等式的最小整数解是4，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式（组），先用含m的式子表示出x的取值范围，再根据最小整数解是4列出关于m的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．
【详解】解：解不等式，得：，
最小整数解是4，
，
解得，
故答案为：．
57．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的特殊解．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，即可求解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的最小整数解为2，
∴，
解得：，
故答案为：．
58．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，据此知不等式组的最大整数解为1，根据最大整数解与最小整数解的差为3得最小整数解为，进一步求解即可得出答案．本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组最大整数解与最小整数解的差得出最小整数解．
【详解】解：∵
∴由，得出，
由，得出，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为1，
∵最大整数解与最小整数解的差是3，
∴最小整数解为，
∴，
故选：A．
59．（25-26七年级下·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式组的特殊解．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于m的不等式组，即可求解．
【详解】解∶，
解不等式①，得，
解不等式②，
∵不等式组的最小整数解是3，
∴，
∴，
故选：B．
60．（25-26七年级下·重庆长寿·期末）如果关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先求出不等式组的解集，再根据最大整数解与最小整数解的差为来确定实数的取值范围．
【详解】解：，
由得，
，
，
，
由得，
，
解得：，
不等式组的解集是：，
最大整数为，则最小整数为，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及根据解的情况求参数的范围，解题的关键是：能准确求解出不等式组的解集．
题型十一 由不等式组有且只有几个解求参数（共6小题）
61．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值．
【详解】解：由不等式，解得，
由不等式，解得，
不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：；
所以满足条件的整数的值有、、共3个，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
62．（24-25八年级下·广东茂名·期中）已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组整数解有且只有3个，得出关于m的不等式是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可．
【详解】解：解不等式组，得，
∵该不等式组的整数解有且只有3个，
∴不等式组的整数解为，，，
∴，
故选：B．
63．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解集为：，
∴
解得：，则符合条件的所有整数的和为
故选：D．
64．（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________．
【答案】
【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和．
【详解】解：解不等式，得，即，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵有且只有4个整数解，整数解为，
故需满足，即
∴整数为和，和为．
65．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而得出不等式组的整数解，再根据整数解确定出的取值范围即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组只有一个整数解，
∴不等式组的整数解为，
∴，
故答案为：．
66．（24-25七年级下·福建福州·期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集．
先将a当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有5个整数解，得到关于a的不等式组，解不等式组可得出a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组有5个整数解，依次为：19，18，17，16，15，
∴，
解得．
故答案为：．
题型十二 由不等式组的有解情况求参数（共6小题）
67．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
故选：D．
68．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有解，
∴．
故选：C．
69．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键．
根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组有解，
，即，
故选：C．
70．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________．
【答案】/
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②：
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为，得
关于的不等式组有解
解得．
71．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元一次不等式组有解，则常数的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组有解得出m的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组有解，
∴，
解得：，
故答案为：．
72．（2025七年级下·江苏·期末）从，，0，1，2这5个数中，选一个数，使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数，求的值．
【答案】或0或1
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有解确定出的范围，再表示出方程的解，由方程的解为负数确定出的范围，找出的具体范围，进而确定出的值即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
要使不等式组有解，可得，
解得：，
不符合题意，舍去；
此时不等式组的解集为，
方程去分母得：，
解得：，
方程的解为负数，
，
解得：，
不符合题意，舍去，
的范围是，
的值可以为或0或1．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，正确根据不等式组的解集情况和一元一次方程解的情况求出的取值范围是解题的关键．
题型十三 由不等式组的无解情况求参数（共6小题）
73．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤．
先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
又∵不等式组无解，
∴，
解得．
故选：A．
74．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组，无解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键．先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
故选：A．
75．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（ ）
A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是
【答案】A
【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论．
【详解】解：解第一个不等式得，
原不等式组化为
∵不等式组无解，
∴
解得
∴ m的最大值是4．
76．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组的解，先解每个不等式，再根据一元一次不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”可得到a的取值范围．
【详解】解：解关于x的不等式组，得，
∵该不等式组无解，
∴．
故答案为：．
77．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确解不等式组是解题关键．分别解不等式，再根据不等式组无解，确定的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
不等式组无解，
，
故答案为：．
78．（25-26七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求 a的值；
(2)若该不等式组无解，求 a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得；
（2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得．
【详解】（1）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：；
（2）解：∵不等式组无解，
∴，
解得：．
题型十四 方程与不等式组结合求参数（共6小题）
79．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤．
先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：
解方程组得，
根据题意得，
解得，
∴整数的最小值为1，
故选：C．
80．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围．
【详解】解： ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：．
故选：B ．
81．（25-26七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，
故选：B．
82．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题．
求出，根据计算即可．
【详解】解：
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
83．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键．
先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可．
【详解】解：解二元一次方程组得，
∵x是非负数，y的值不大于，
∴，
解得：．
故答案为：．
84．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解；
（2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案；
（3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解．
【详解】（1）解：，
由得：，
∴，
得：，
∴，
∵该方程组的解满足，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∵该方程组的解满足为正数，为负数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（2）可得，
∴，
∴的整数值为0．
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专题08 二元一次方程组、一元一次不等式含参问题
题型1 二元一次方程的定义求参 题型8 由不等式组的整数解的个数求参数
题型2 二元一次方程组符号与数字看错求参 题型9 由不等式组的整数解和求参数
题型3 二元一次方程组同解求参 题型10 由不等式组解集的最值求参数
题型4 已知二元一次方程组的整数解求参数 题型11 由不等式组有且只有几个解求参数
题型5 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型12 由不等式组的有解情况求参数
题型6 二元一次方组的新定义求参 题型13 由不等式组的无解情况求参数
题型7 不等式的整数解求参 题型14 方程与不等式组结合求参数
题型一 二元一次方程组的定义求参（共6小题）
1．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若 是关于的二元一次方程，则_____
2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知是关于，的二元一次方程，则___________．
3．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，则________．
4．（25-26七年级下·江苏·期中）若方程是关于x，y的二元一次方程，则______．
5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______．
6．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________．
题型二 二元一次方程组符号与数字看错求参（共6小题）
7．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小华和小军两人共同计算一道整式乘法题：，由于小华抄错了a的符号、得到的结果为；由于小军漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为________．
9．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为 ；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为 ，则 __________．
10．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知方程组，m等于_______时，x，y的符号相反，绝对值相等．
11．（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则____．
12．（25-26七年级下·河南南阳·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为______．
题型三 二元一次方程组同解求参（共6小题）
13．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是______．
14．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组和的解相同，则______．
15．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为______．
16．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值．
17．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知方程组和有相同的解，求a、b的值．
18．（24-25七年级下·江苏·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值．
题型四 已知二元一次方程组的整数解求参数（共6小题）
19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（ ）
A．2或10 B．3或9 C．2或9 D．3或10
20．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ）
A．或0 B．或 C． D．0
21．（25-26七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______．
22．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________．
23．（225-26）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值．
24．（2026七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组．
(1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解；
(2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
题型五 已知二元一次方程组解的情况求参数（共6小题）
25．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
26．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
27．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知关于x、y的方程的解满足，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为______．
29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
30．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含的式子表示）；
(2)若方程组的解也满足方程，求的值；
(3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值．
题型六 二元一次方组的新定义求参（共6小题）
31．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由．
32．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是．
(1)二元一次方程的“搭档数”是______；
(2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________
(3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值．
33．（25-26七年级下·浙江金华·期末）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值；
34．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
(1)方程的“变更方程”为_____；
(2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____；
(3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
35．（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：当两个实数x，y，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组中方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， 　　；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
题型七 不等式的整数解求参（共6小题）
37．（2026七年级下·江苏·期末）已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
38．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（ ）
A．3 B．2 C． D．
39．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________．
40．（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________．
41．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________．
42．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程．
(1)求x的值（用含a的式子表示）；
(2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围；
(3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值．
题型八 由不等式组的整数解的个数求参数（共6小题）
43．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
46．（25-26七年级下·江苏南京·期末）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________．
47．（2025七年级上·江苏南京·期末）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______．
48．（25-26八年级下·河南郑州·期末）若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
题型九 由不等式组的整数解和求参数（共6小题）
49．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
50．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若方程组中未知数满足，关于的不等式组有且只有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A． B． C． D．
51．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．18
52．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______．
53．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为12，则a的取值范围是______．
54．（25-26八年级上·江苏南京·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____．
题型十 由不等式组解集的最值求参数（共6小题）
55．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的最小整数解是，则的取值范围为___________．
56．（25-26七年级下·江苏南通·期末）关于的不等式的最小整数解是4，则实数的取值范围是_____．
57．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是__________．
58．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
59．（25-26七年级下·广西南宁·期末）已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
60．（25-26七年级下·重庆长寿·期末）如果关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差为，则实数的取值范围是_______．
题型十一 由不等式组有且只有几个解求参数（共6小题）
61．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
62．（24-25八年级下·广东茂名·期中）已知关于的不等式组的整数解有且只有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
63．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
64．（25-26七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为________．
65．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______．
66．（24-25七年级下·福建福州·期中）若关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是_________．
题型十二 由不等式组的有解情况求参数（共6小题）
67．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
68．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
69．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
70．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________．
71．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元一次不等式组有解，则常数的取值范围是________．
72．（2025七年级下·江苏·期末）从，，0，1，2这5个数中，选一个数，使关于的不等式组有解，且使关于的一元一次方程的解为负数，求的值．
题型十三 由不等式组的无解情况求参数（共6小题）
73．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
74．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若不等式组，无解，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
75．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则m（ ）
A．最大值是4 B．最小值是4 C．最大值是 D．最小值是
76．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．
77．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是___________．
78．（25-26七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求 a的值；
(2)若该不等式组无解，求 a的取值范围．
题型十四 方程与不等式组结合求参数（共6小题）
79．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
80．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若方程组的解，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
81．（25-26七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
82．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______．
83．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______．
84．（25-26八年级下·河南郑州·期末）已知关于的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值．
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