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内蒙古赤峰第四中学2025-2026学年高一第二学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤3}
2．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知复数，其中是虚数单位，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
6．某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
8．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．函数的最小值是
C．“，恒成立”的充要条件是“”
D．若，则等于
10．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ）
A．与垂直
B．平面
C．异面直线与所成的角为
D．点到平面的距离为
11．在中，、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A．若的外接圆半径，且，则角
B．若，则为等腰三角形或直角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若有两解，，，则
三、填空题
12．已知向量，，则在上的投影向量为_________
13．已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的体积为_____________
14．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________
四、解答题
15．在中，已知.
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数的最小值，及取最小值时的取值集合；
(3)求不等式的解集.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小.
18．如图，在平面四边形中，，，．
(1)若面积是2，求；
(2)若，求．
19．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且．
(1)求证：∥平面；
(2)已知．
①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积；
②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】因为，
所以{0，1，2}，
故选：B.
2．B
【详解】由题意，．
故选：B
3．B
【详解】，
所以.
4．D
【详解】对于A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
对于B，因为，所以函数是偶函数，故错误；
对于C,在上单调递减，故错误；
对于D，因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确；
5．D
【详解】因为，，所以，，
由，所以，解得．
6．A
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得，
因为，所以，得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是.
故选：A.
7．C
【详解】选项A：平行于同一平面的两条直线的位置关系可以为平行、相交或异面，并非一定平行，故A错误；
选项B：若，，则则或，并非一定有，故B错误；
选项C：由面面平行的性质，若且，则；
又，则平面内存在直线满足，
由线面垂直的性质可得，因此，故C正确；
选项D：平行于平面的直线与平面内直线的位置关系可以为平行或异面，并非一定平行，故D错误.
8．C
【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设，
由正四棱锥的体积为8，即，解得，则，
又，所以，，
在中，，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
9．CD
【详解】由，得，则，解得，所以A错误；
令，则，即，
由对勾函数性质知在上单调递增，，
则函数的最小值不是，故B错误；
，恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，有，解得，
综上所述，“，恒成立”的充要条件是“”，故C正确；
由，则，
，
则，
故D正确.
10．BD
【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系：
则,,,,,
,,,,,
对于A，因为，,
所以,
所以不垂直，即与不垂直，故A错误；
对于B，因为轴平面，
所以取平面的法向量，
因为，
所以，
又因为平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为，,
所以,
又因为，
所以，
即异面直线与所成的角为，故C错误；
对于D，因为，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，
设点到平面的距离为，
则，故D正确．
11．BCD
【详解】由正弦定理，，故或，故A错误；
由正弦定理，代入得
，即，
则或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，故B正确；
若为锐角三角形，则，即,
则，由正弦函数性质知正弦函数在内单调递增，
，故C正确；
已知有两解，则，
已知，，
则,
，故D正确．
12．
【详解】设 为在上的投影向量，
则.
13．
/
【详解】设圆台上底面半径，下底面半径，高为，
圆台的轴截面为等腰梯形，
如图，过其上底面顶点作，垂足为，可得直角三角形，
此时

该直角三角形的水平直角边长，
母线与底面所成的角，即，
因此有，解得，即，
根据圆台体积公式，
代入、、计算得：
.
14．
【详解】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，
所以，同理可得，
因为，，
所以四边形是平行四边形，可得，
所以，同理可证，，
所以，，，，，共面，
因为，面，面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，则点轨迹长度为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设外接圆半径为，
由正弦定理，
可得，，，
将上述关系代入已知等式，
两边同乘得： ，整理得，
由余弦定理，代入得，
因为为三角形内角，即，故.
（2）将，，代入余弦定理，
得：，
整理为一元二次方程，
其判别式，解得，
因为边长为正，故，
所以.
16．(1)最小正周期为，单调递增区间为
(2)最小值为，对应的取值集合为
(3)解集为.
【详解】（1），
的最小正周期.
由，解得，
故的单调递增区间为.
（2）当，即时，取得最小值，
即，此时的取值集合为.
（3）由得：，
，解得：，
的解集为.
17．(1)证明见解析.
(2)
【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD，
∴.
如图，连接AC．
∵底面ABCD为正方形，∴，
∵M，N分别为棱AB，BC的中点，
∴，∴，
又平面PBD，
∴平面PBD，
∵平面MNE，
∴平面平面PBD．
（2）如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点.
易知平面平面，
由（1）知，平面PBD，平面PBD
∴，
∴∠EFB为二面角的平面角，
又底面ABCD，，，
∴，
∴，
即二面角的大小为.
18．(1)
(2)
【详解】（1），
所以，
由余弦定理可得，
所以；
（2），则，，
在中，即，所以，
在中，，即，所以，
所以，解得，
又，，解得，所以.
19．(1)证明见解析
(2)① ；②
【详解】（1）连接交于点，连接，
，，由相似三角形的性质，可得，
又，所以，
平面，平面，
平面．
（2）①取的中点，取的中点，连接，，，
则，，
，，
∵是边长为6的等边三角形，则，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，．
又，平面，平面，
∵平面，，所以为二面角的平面角．
在中，．
在中，，
，
．
②过作交于，连接，由于平面，
所以平面，
则为与平面所成角，即，．
点在棱上，且．
由，，，
由余弦定理得
，
，，，，
故的取值范围为．

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