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内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）种
A．24 B．14 C．10 D．9
4．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．120
5．正态分布，，（其中，，均大于0）所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最大，最大 B．最大，最大
C．最大，最大 D．最大，最大
6．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ）
A．22.5% B．30% C．40% D．45%
7．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多选）如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口随年份变化的折线图.根据该折线图判断近十年的情况，下列说法正确的有（ ）
A．城镇人口与年份呈正相关
B．乡村人口与年份的样本相关系数r接近1
C．城镇人口逐年增长量大致相同
D．可预测乡村人口仍呈下降趋势
10．若，则下列选项是正确的有（ ）
A．二项式系数之和为 B．展开式中含的系数为
C．系数之和为 D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．的极小值为1
C．设，，，则
D．若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是
三、填空题
12．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________.
13．某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________．
14．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个志愿者只能去一个国家馆，每个馆至少分配一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．
四、解答题
15．在的展开式中，______．
给出下列条件：①二项式系数和为64，②第三项的二项式系数为15，③各项系数之和为729，试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求n的值并求展开式中的常数项；
(2)求展开式中的系数．
16．小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到．
(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？
(2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数）
17．平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份
违章驾驶员人数
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（Ⅱ）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：，．
18．某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
(1)求随机变量的分布列和数学期望：
(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程：
(2)讨论函数的单调性；
(3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】由组合数公式和排列数公式可得.
故选：D
2．D
【详解】对于选项A：由余弦函数的导数可得，故A错误；
对于选项B：由复合函数可得，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：因为为常数，则，故D正确；
故选：D.
3．B
【详解】分两类：
第一类：选衬衣加裤子，共有种选法；
第二类：选连衣裙，共有种选法，
根据分类加法计数原理共有种选法.
4．C
【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种；
捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ，
分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 .
5．D
【详解】由正态分布，可知是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知最大，
表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以最大.
故选：D.
6．C
【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”，
由题意，，
.
7．A
【详解】甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，
其概率为．
故选：A
8．A
【详解】解：因为时，，所以C，D错误；
因为，
所以当时，，
所以在区间上单调递减，
所以A正确，B错误.
故选：A.
9．ACD
【详解】对于A选项，由折线图递增可知，城镇人口与年份呈正相关，故A正确；
对于B选项，因为乡村人口与年份成负线性相关关系，且线性相关性很强，
所以r接近，故B错误；
对于C选项，城镇人口y与年份x呈正相关，且线性相关性很强，近似可以看作线性相关，故城镇人口逐年增长量大致相同，故C正确；
对于D选项，乡村人口与年份成负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，
故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【详解】对于A，根据二项式系数之和为，
在中，，所以二项式系数之和为，故A正确.
对于B，在中，其展开式的通项为，
令，则，故B错误.
对于C，令，可得，故C正确，
对于D，由题意得表示的各项系数的绝对值之和，
即表示的各项系数之和，
令，可得，即，故D正确.
11．ACD
【详解】求导得，令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，A正确；
由的单调性知在处取得极大值，无极小值，B错误；
C选项，，，，
因为，在上单调递减，所以，即，C正确；
D选项，由得，
设，则，
令得，令得，所以，，
又显然当时，，
所以若曲线与曲线无公共点的充分必要条件是，D正确；
故选：ACD.
12．0
【详解】因为随机变量X服从两点分布，，
所以，
所以，
因为，所以
故答案为：0.
13．30
【详解】因为，所以均值，
由，根据正态分布曲线的对称性可得，
所以，
所以学生数学成绩在130分以上的总人数为.
故答案为：30
14．114
【详解】每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，
每一个馆的人数分别是2，2，1或1，1，3；
当按照2，2，1安排时，共有种不同情况；
当按照1，1，3安排时，有种不同情况；
其中包括甲和乙在一个馆里的情况，
当甲和乙在同一个馆里时，将甲、乙视为一个整体，
等价于将4个元素分配到3个馆且每个馆至少1个，
此时分组仅为2，1，1，分组数为，分配到3个馆的分配数为，
因此甲乙同馆的方案数为，
∴满足条件的排列法共有种.
15．(1)，展开式的常数项为
(2)展开式中的系数为
【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为；
若选②，易知，则，此时的常数项为；
若选③，令，则，
则，此时的常数项为；
（2）由上可知不论选①②③，都有，
则问题为求展开式中的系数，
先求展开式中含的项，易知该项为，
再求展开式中含的项，易知该项为，
所以展开式中含的项为，所以其系数为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路．
由全概率公式，得
．
所以小张从家到公司不迟到的概率是．
（2）．
所以他选择第一条路的概率约是．
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）人.
【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；，
，
，
所以与之间的回归直线方程为；
（Ⅱ）时，，
预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人．
18．(1)分布列见解析，
(2)应选择方案一，理由见解析
【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，
，，.
.
（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.
，，
，，.
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；
法二：的值可能为、、、，
，，
，，
则，
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，则，所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时函数的单调递增区间为，单调减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为.
（3）对任意的，，可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，解得，
因此实数的取值范围是.

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