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湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．108 B．62 C．56 D．54
2．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B．120 C． D．240
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
4．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则，，.
A．6636 B．8186 C．8400 D．9759
5．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ）
A． B． C． D．
6．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ）
A．280 B．420 C．720 D．1680
7．已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
8．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B．随机变量
C．随机变量的数学期望为
D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ）
A．的离心率为2 B．的渐近线方程为
C． D．若，则
11．如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．函数有两个极值点
C．当时先减后增且恒为负
D．
三、填空题
12．在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______
13．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．
14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________．
四、解答题
15．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；
(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.
某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．
（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的值．
（参考数据：；若，则有，，）
18．如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点．
（ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标：
（ⅱ）求面积的最大值．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求的最大值；
(3)若函数有零点，证明：．
参考答案
1．D
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
2．D
【详解】由题意，时，所以二项式为，
其中的展开式通项为，，
所以，则，此时，
，则不是整数，故该项不存在，
综上，展开式中含项的系数为.
3．B
【详解】设公比为，
当时，不符合题意；
当时，
又，
所以，解得.
故选：B
4．C
【详解】由已知，
所以，
故数学分数介于75到115之间的人数为.
5．C
【详解】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为：
正、次、正：概率为；
次、正、正：概率为；
．
6．A
【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字，
将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列，
捆绑后共 个元素，
由重复元素的排列公式得，
因此符合要求的十位数个数为280.
7．B
【详解】圆，圆心，半径是圆的两条切线，
，由圆的知识可知四点共圆，且，
.
又当的值最小，即时，取得最小值.
的最小值为.
8．B
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，解得，
故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为．
9．AC
【详解】根据分层抽样的方法，可得：
从甲社团抽取的人数为；
从乙社团抽取的人数为；
从丙社团抽取的人数为；故A正确；
由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，
用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有，
则，
此时服从超几何分布，故B错误，
则随机变量的数学期望为，
故C正确；
若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误；
故选：AC.
10．ABD
【详解】双曲线：的渐近线方程为，即.
圆：的圆心为，半径为.
由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以.
对于A：，故A正确.
对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.
对于C：，，因为，所以点的横坐标为，
代入双曲线方程，解得.
取，则，，
所以，故C错误.
对于D：若，则，，，，.
直线方程为，即.
圆心到直线的距离，
由垂径定理可得，，故D正确.
11．ACD
【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解.
令，则，令，.
极大值
又，，的取值范围，A选项正确.
，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误.
由，得.
当，，单调递减；时，，单调递增.
是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确.
在递增，在递减，，又.
，，同理，.
，D正确.
12．
【详解】在第一次取到不合格品后，在余下9件产品中有5件合格品，4件不合格品，
所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为.
13．2025
【详解】解：因为，所以，，
令，得，又，
所以的对称中心是，所以，
所以．
14．6
【详解】如图所示，
设过F的直线AB的方程为，

联立直线与抛物线方程，可得，整理得，
设，，由韦达定理，
所以AB的中点M满足，，
即，又垂直平分线EM的斜率为，
所以EM的方程为，
展开整理，则EM与y轴的交点满足，
即，所以，
根据梯形中位线可得，
所以，解得，所以，
所以．
15．(1)，
(2) ，
【详解】（1）因为，
则，且，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，
所以.
（2）因为,
所以，
设,
则，
两式相减可得：
，
所以，
又，
所以,
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，故，故.
因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故.
（2）由（1）可得平面，而，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，
故，所以，故，
而，设平面的法向量为，
则即，取，
故到平面的距离为.
17．(1)
(2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.
【详解】（1）因为，
所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即．
所以，
由，得
，即.
（2）（i）由题意知，且，
又，所以二项分布可近似看作泊松分布，
所以，
所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为.
（ii）因为最大，所以，
即，解得，
又，所以当为整数时，最大时的值为或；
当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析，定点坐标为（ⅱ）
【详解】（1）由已知可得：，解得：，，
所以，椭圆的方程为．
（2）（ⅰ）易知点，设点、，则，
若直线轴，则，，
所以，，不合乎题意，
设的直线方程为，
联立，整理得，
，
由韦达定理可得，．
因为，且，，
所以，
，，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直线的方程为，故恒过.
（ⅱ），
则．
令，则，
由对勾函数单调性知，函数在上为增函数，
则．
所以，当且仅当时，即时等号成立，此时最大值为．
19．(1)答案见解析
(2)．
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，则由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）法1：由，即，得．
当，时，，下面证明此时成立，
此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以成立．
综上，的最大值为．
法2：①若，则
当时，，
当时，，
所以当且时，，不合题意．
②若，则的值域为，
所以，所以．
③若，则结合（1）得，，
即，即，所以，
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，
当时，．
综上，的最大值为．
（3）法1：若有零点，设零点为，
则，
即，
即，
这说明点在直线上，
设点到直线的距离为，
则，即，
由（2）知，，仅当时，“=”成立，
所以
所以．
法2：若有零点，设零点为，
则，
即，
即，
设，则，
即，其中，
所以，
所以，
由（2）知，，仅当时，“=”成立，
所以
所以．

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