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专题01 七年级下册数学期末真题训练
（126题42大易错题型）
题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型22 镜面对称
题型2 幂的乘方及其逆用 题型23 折叠问题
题型3 积的乘方及其逆用 题型24 旋转中心、旋转角、对应点
题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型25 根据旋转的性质求解
题型5 幂的混合运算 题型26 根据中心对称的性质求解
题型6 零指数幂与负整数指数幂 题型27 二元一次方程（组）的相关概念
题型7 科学记数法表示绝对值小于1的值 题型28 解二元一次方程组
题型8 单项式乘法 题型29 二元一次方程组的错解复原问题
题型9 单项式乘法的应用 题型30 方程组的相同解问题
题型10 多项式乘法 题型31 三元一次方程组的相关问题
题型11 多项式乘法的化简求值 题型32 二元一次方程组的实际应用
题型12 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型33 不等式的解集与性质
题型13 多项式乘多项式与图形面积 题型34 解一元一次不等式
题型14 乘法公式计算 题型35 一元一次不等式的整数解
题型15 乘法公式与几何图形 题型36 求不等式组的解集
题型16 求完全平方式中的字母系数 题型37 根据不等式组解集的情况求参数
题型17 利用平移的性质求解 题型38 列一元一次不等式（组）
题型18 平移作图 题型39 一元一次不等式（组）的实际应用
题型19 轴对称图形、旋转图形识别 题型40 定义、命题
题型20 根据轴对称图形的特征进行求解 题型41 证明
题型21 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线 题型42 补全证明过程
题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题）
1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知，，则（ ）
A．5 B．1 C．6 D．8
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴．
2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若a、b是正整数，且满足，则a与b的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知等式可得，则．
【详解】解：∵，
，
，
，即．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为___________．
【答案】8
【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解．
【详解】解：因为，所以；
因为，所以；
∴．
题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题）
4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算：__________．
【答案】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算计算即可．
【详解】解：．
5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么_____．
【答案】8
【分析】将已知等式整理得到的值，将所求式子转化为同底数幂的乘法，利用幂的乘方法则变形后，整体代入计算即可．
【详解】由 ，可得，
∴．
6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知，=2，求：
(1)+的值；
(2)的值．
【答案】(1)33
(2)2000
【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题．
（1）根据幂的乘方变形，代入计算即可；
（2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得．
【详解】（1）解：当，时，
；
（2）解：
．
题型三 积的乘方及其逆用（共3小题）
7．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________．
【答案】
12
【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算.
【详解】解：，
8．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示）
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算：
（1）利用积的乘方的逆运算，即可求解；
（2）利用积的乘方的逆运算，即可求解；
（3）利用积的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：；
（3）解：．
9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：．
解：原式．
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出n的值．
【答案】(1)①1；②；
(2)4
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．
（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【详解】（1）解：①；
②
（2）解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．
题型四 同底数幂的除法及其逆用（共3小题）
10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为_____．
【答案】3
【分析】利用同底数幂的除法法则对所求式子变形，再代入已知条件计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，计算：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)100
(2)81
【分析】本题考查了逆用幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用同底数幂的除法逆运算计算即可；
（2）先逆用幂的乘方，再运用同底数幂的除法计算即可．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵
∴，
∴．
12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______．
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方解答即可；
（2）根据同底数幂的除法法则解答即可；
（3），结合已知可得，再利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）解：∵，，，，
∴，
即，
∴．
题型五 幂的混合运算（共3小题）
13．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减；
（2）首先计算同底数的乘法，单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式；
．
题型六 零指数幂与负整数指数幂（共3小题）
16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零指数幂的定义，底数不能为0，据此求解即可．
【详解】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂有意义，零的零次幂无意义，
∵ 有意义
∴ 底数不为，即
解得．
17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么它们的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零指数幂、负整数指数幂和平方运算分别计算，再比较大小即可．
【详解】解：，
，
．
18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，，则、、三数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1求解，再根据有理数的大小比较，可得答案．
【详解】解：，，，
∴．
题型七 科学记数法表示绝对值小于1的值（共3小题）
19．（2026·江苏苏州·一模）2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，其形式为，且满足，为整数．
【详解】解：．
20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）2026年3月，武汉大学陈杰华教授团队宣布成功量产世界最小芯片原子钟，体积仅立方米，精度达三万年误差不到1秒．其中“”用科学记数法表示为_____________ ．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
【详解】解：．
21．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）近似数精确到了_____________位；
【答案】万分
【分析】本题主要考查了科学记数法和精确度，将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字的位置可确定精确度．
【详解】解：，最后一个有效数字7位于小数点后第四位，即万分位，
故精确到了万分位，
故答案为：万分．
题型八 单项式乘法（共3小题）
22．（2026·吉林四平·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用单项式乘法法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积即可得到结果.
【详解】解：．
23．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算：_______．
【答案】
【详解】解：．
24．（2026七年级下·江苏·期末）先化简：，并求出，时，代数式的值．
【答案】，8
【分析】本题考查了整式的化简求值，在化简过程中要注意运算顺序以及符号的改变．先算乘方，再算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
当， ，
原式
题型九 单项式乘法的应用（共3小题）
25．（2026七年级下·江苏·期末）已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积．
【答案】周长为，面积为
【分析】先求解长方形的宽，再求解长方形的周长与面积即可．
【详解】解：由题意可得：
这个长方形的宽为，
长方形的周长为，
长方形的面积为．
26．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）．
(1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________．
(2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关．
【答案】(1)
(2)说明见解析
【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案；
（2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积：
；
（2）解：空白部分的面积为
空白部分面积与无关．
27．（25-26七年级上·四川德阳·期末）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．
(1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为 ______米；
(2)用含的代数式来表示实验田的面积；
(3)当时，实验田面积为多少平方米？
【答案】(1)
(2)平方米
(3)
【分析】（1）根据，可得，整理可得答案；
（2）根据长方形的面积长宽可得答案；
（3）把代入可得实验田的面积．
【详解】（1）解：米，
故答案为：；
（2），，
平方米；
（3）当时，（平方米）．
【点睛】本题考查列代数式和代数式的值，根据题意列出代数式是解题关键．
题型十 多项式乘法（共3小题）
28．（24-25七年级下·江苏·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
29．（25-26七年级下·江苏·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式运算法则．
（1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
30．（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题：
(1)如果，求和的值；
(2)如果，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查多项式乘多项式，
（1）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据求出，即可；
（2）先根据多项式乘多项式法则计算，然后根据，求出、，然后把所求整式利用多项式乘多项式法则展开，再把和的值代入进行计算即可；
解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．
【详解】（1）解：∵
，
又∵，
∴，；
（2）∵
，
又∵，
∴，，
∴
．
题型十一 多项式乘法的化简求值（共3小题）
31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
32．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可．
【详解】解：，
，
原式．
33．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
将，代入得：原式．
题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题）
34．（25-26七年级下·湖南益阳·期中）若的结果中不含有的一次项，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键；
按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可．
【详解】
，
，
，
若的结果中不含有的一次项，则，
解得．
故答案为：．
35．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．
(1)求，的值．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可；
（2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
不含项，常数项是，
，，
，；
（2）原式
，
当，时，
原式
．
36．（25-26七年级上·重庆·期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为．
(1)当时，求多项式A的值；
(2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．
（1）将错就错，把与错误结果代入确定即可；
（2）化简，根据不含项和x项求出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
当时，原式；
（2）解：，，
，
结果不含x2项和x项，
，
．
题型十三 多项式乘多项式与图形面积（共3小题）
37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】先根据多项式乘多项式求出，根据甲、乙两个长方形周长相等，求出乙长方形的另外一条边长，根据多项式乘多项式再求出，求出，即可得出答案．
【详解】解：由题意得
，
图乙中长方形的长为：
，
，
．
38．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）为了更好地开展劳动教育，我校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区．
(1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简）
(2)若，，求出此时种植区的总面积S的值．
【答案】(1)
(2)112
【分析】（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积，再根据整式的混合运算法则计算；
（2）将数值代入，再计算可得答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：当时，
原式
．
39．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
(1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______；
(2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）．
(3)若，求出b与c满足的数量关系．
【答案】(1)20，28
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出，，，是解题的关键．
（1）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将代入计算，即可求解；
（2）先分别用含a，b，c的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可获得但；
（3）结合（1）（2）可得，，再代入进行运算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知，长方形的长为，宽为，
则，
，
当时，
，．
故答案为：20，28；
（2）由图形可知，长方形的长为，宽为，
则，
，
∴；
（3）由（1）（2）可知，，，，
∴，
将，代入，
可得，整理可得，
即，
∴b与c满足的数量关系为．
题型十四 乘法公式计算（共3小题）
40．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可；
（2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
41．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型十五 乘法公式与几何图形（共3小题）
43．（24-25八年级上·江苏南通·期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ；
(3)若，，则 ；（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；
（2）由（1）中计算过程可得答案；
（3）根据（2）中的等式可得答案．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为，则面积为．
故答案为：；
（2）解：左边图形的面积，
右边的大正方形面积，
则阴影部分的面积，
因此三个代数式，，之间的等量关系为：
；
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积．
44．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ，，
，
．
（2）解：设，，
，
，
，
．
（3）解：四边形是长方形，
，，
，
，，
设，，
，
长方形的面积为160，
，
正方形的面积正方形的面积
，
图中阴影部分的面积和为384．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键．
45．（25-26八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键.
（1）根据面积公式计算即可；
（2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可；
（3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可．
【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：.
故答案为：；
（2）由图可知：.
故答案为：；
（3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24
∴两个关于m，n的等式为：，．
题型十六 求完全平方式中的字母系数（共3小题）
46．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果是关于的完全平方式，则常数的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或
【答案】D
【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案．
【详解】解：∵是关于的完全平方式，
∴一次项为，
∴，
∴或．
47．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____．
【答案】7或
【分析】完全平方公式的展开式是，根据a的值确定一次项系数．
【详解】解：由题意得，
，
，
或．
48．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若是一个完全平方式，求A的值．
【答案】(1)
(2)3或27
【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可；
（2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）是一个完全平方式，
，
．
当时，；
当时，．
故所求的值为3或27．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键．
题型十七 利用平移的性质求解（共3小题）
49．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【分析】根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长=的周长代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵将沿方向平移3个单位得到，
∴，
∴四边形的周长
的周长
．
50．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为__________．
【答案】18
【分析】记平移后的两个正方形边长的交点为、，利用平移的性质可求得和，即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：如图，记平移后的两个正方形边长的交点为、，
根据题意可知，，，，
∴，，
∴阴影部分的面积为．
51．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键．
（1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解；
（2）由平移的性质结合得到；
（3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解．
【详解】（1）解：由平移的性质可得，
∴，
∴；
（2）解：由平移的性质可得，
又∵，
∴，
∴平移的距离为5；
（3）解：由平移的性质可得，
∴四边形的周长．
题型十八 平移作图（共3小题）
52．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题．
(1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）．
(2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____．
【答案】(1)作图见详解
(2)6
【分析】（1）先找到的三个顶点A、B、C在网格中的位置，根据平移的性质，分别将每个顶点向右平移5格，即每个顶点的水平方向移动5个网格单位，再向上平移2格，即每个顶点的垂直方向移动2个网格单位后以此得到A的对应点，B的对应点，C的对应点，最后用线段依次连接、、，画出平移后的；
（2）利用“割补法”构造出包含的矩形，再分析周围多余的小三角形后用矩形面积减去小三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图，连结，，
∴．
53．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末） 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C．
(1)画出平移以后的；
(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)32
【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，图形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由平移的性质得，，
∴这两条线段的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）解：如图所示，连接
∴线段在平移过程中扫过区域的面积为．
54．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形经过平移后得到三角形，其中点是点的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形；
(2)连接、，则线段、的关系为_________________；
(3)线段扫过的面积为_________________（平方单位）．
【答案】(1)见解析
(2)平行且相等
(3)
【分析】本题考查了平移变换，解题的关键是掌握平移的性质．
（1）直接利用平移的性质得到对应点的位置，然后依次连接即可；
（2）直接利用网格可得出线段、的位置关系和大小关系；
（3）线段扫过的面积为四边形的面积，求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求：
（2）线段、的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）线段扫过的面积为四边形的面积，
线段扫过的面积为：，
故答案为：．
题型十九 轴对称图形、旋转图形识别（共3小题）
55．（2026·江苏苏州·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念，求解即可，把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形．
【详解】解：根据图形可得，D的图形是轴对称图形，A、B、C的图形不是轴对称图形．D选项符合题意．
56．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张纸对折起来，用铅笔在上面扎个洞，图中的4张纸是四种可能的展开结果，其中只有一张与题目中实际展开后的图案完全相同，请找出这张纸，其编号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题．
【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有选项B符合．
57．（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
【详解】解：第一个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
第二个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
第三个不是旋转对称图形．
第四个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形．
∴是旋转对称图形有3个．
故选：C．
题型二十 根据轴对称图形的特征进行求解（共3小题）
58．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：，
∴的周长为．
59．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
【详解】解：和关于所在的直线成轴对称，
是的对称轴，
，
点，是边上的两点，
和关于直线对称，
，
由图可知，阴影部分的面积．
60．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长．
【详解】解：点，分别是点关于，的对称点，
、，
，
的周长为．
题型二十一 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线（共3小题）
61．（25-26八年级上·江苏·期中）已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)作的平分线，交于点D；
(2)在线段上求作一点E，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法进行解答即可；
（2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，点E即为所求．
62．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，．
(1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，轴对称的性质，正确作出直线l是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）根据轴对称图形的性质可得，再根据三角形轴对称计算公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为直线l；
（2）解：∵点B、C关于直线l对称，
∴，
∴的周长；
63．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键．
（1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图；
（2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图．
【详解】（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l，
则直线l即为所求．
（2）解：如图②，作的平分线，
则的平分线所在的直线m即为所求．
题型二十二 镜面对称（共3小题）
64．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ）
A．2653 B．5623 C．3562 D．3265
【答案】D
【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码．
【详解】
解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265．
故选：D．
65．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________．
【答案】3265
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265，
故答案为：3265．
66．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是___________．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【详解】
解：若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是，
故答案为：．
题型二十三 折叠问题（共3小题）
67．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，将一张长方形纸片沿，折叠，使顶点落在点处，顶点落在点处．若，则的度数为__________．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，关键是利用折叠找到相等关系；根据折叠可得，即可求得结果．
【详解】解：由折叠可知：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：（度）．
68．（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知长方形纸片，点E、F、G分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若，则的大小为________．
【答案】/105度
【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差运算，掌握折叠的性质是关键；由折叠知，，由题意得，即可求解．
【详解】解：由折叠知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
69．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，长方形纸片中，G、H分别是、边上的动点，连，将长方形纸片沿着翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
(3)已知和始终互补，若，请直接写出的度数（含α的代数式）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠得到，再根据平角的定义，利用计算可得；
（2）根据折叠得到，再根据平角的定义计算即可；
（3）根据互补得到，从而求出，继而可得结果．
【详解】（1）解：由折叠可得：，
∵，
∴；
（2）由折叠可得：，
∴；
（3）∵和始终互补，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平角的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．
题型二十四 旋转中心、旋转角、对应点（共3小题）
70．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．
连接，，，分别作，，的垂直平分线交点即为所求．
【详解】解：如图，连接，、，分别作，，的垂直平分线交点为点B，即点B是旋转中心，
故选：B．
71．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案．
【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等，
∴点为旋转中心，
故答案为：．
72．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、．
(1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 °
(2)延长交于F，交于M，求证：．
【答案】(1)C；90
(2)见解析
【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键．
（1）根据图形旋转的定义求出结果即可；
（2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证．
【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为．
（2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，，
在中，，
在中，，
而
，
即．
题型二十五 根据旋转的性质求解（共3小题）
73．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点．
(1)若，则旋转角的值为 ；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解；
（2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得．
【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴旋转角度为，
故答案为：；
（2）解：由旋转得，，，
∵点恰好为的中点，
∴，
∴．
74．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上．
(1)若，求的大小；
(2)若，的周长为9，求的长．
【答案】(1)20度
(2)3
【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度．
（1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求．
（2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长．
【详解】（1）解：，
，
将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，
，
，
；
（2）解：，
，
将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，
，
，
，即，
．
75．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度；
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数．
【答案】(1)45
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义以及角之间的和差关系，读懂题意是解题的关键．
（1）的度数就是旋转的角度；
（2）由得，由可得结论
【详解】（1）解：∵，
∴三角板旋转的角度为，
故答案为：45；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴,
∵
∴
题型二十六 根据中心对称的性质求解（共3小题）
76．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题主要考查中心对称的性质(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；关于中心对称的两个点，它们的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分)来分析点关于点的对称点．
【详解】解：正方形的对称中心是对角线的交点，
关于点成中心对称的两个点，需要满足连线经过且被平分，
观察图形，点在正方形的底边，其关于的对称点应在正方形的顶边，对应图中的点．
故选：C．
【点睛】
77．（25-26八年级上·广东深圳·期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可．
【详解】A、与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意；
B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，是对顶角，
∴，故该选项正确，不符合题意；
D、与不是对应角，是，
不成立，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
78．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，，
∴，，，
∴．
题型二十七 二元一次方程（组）的相关概念（共3小题）
79．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____．
【答案】0
【分析】根据二元一次方程的定义，可知含未知数的项的次数为，且含未知数的项的系数不为，据此求出与的值，再代入计算即可．
【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，
，
解得，
．
80．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）．
【答案】①②④
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义；
② ，符合二元一次方程组定义；
③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④ ，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．
81．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）关于，的二元一次方程，当每取一个不为0的值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程，题目要求找到关于x和y的二元一次方程在k取任意非零值时的公共解，通过将方程整理为关于k的表达式，分析其系数必须为零的条件，从而确定公共解，据此进行作答即可．
【详解】解：将方程整理为：，
由于该等式对任意非零k均成立，因此k的系数必须为零，即且
∴解得，，
经检验：把，分别代入，
得，即等式成立，
故选：C．
题型二十八 解二元一次方程组（共3小题）
82．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
将①代入②得，
解得，
将代入①得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组可化为
由得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为．
83．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由得，解得．
把代入得
解得．
原方程组的解为.
（2）整理得
得，解得．
将代入得，
解得．
故原方程组的解为.
84．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将原方程组化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
，得
，
将代入①，得
，
∴原方程组的解为．
（2）原方程组可化为，
，得
，
将代入①，得
，
∴原方程组的解为．
题型二十九 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题）
85．（25-26七年级下·江苏·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】解：把代入方程组得
把代入得： ，
联立得解得： ，
由，得到，
故选：．
86．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：将代入方程中可得，，
解得：，
将代入方程中可得，
解得：，
∴，
故答案为：．
87．（24-25七年级下·江西上饶·期末）一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，先把代入方程②，把代入方程①得出关于m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键．
【详解】解：把代入方程②，得③，
把代入方程①，得④，
联立③④，得，
解得．
题型三十 方程组的相同解问题（共3小题）
88．（24-25七年级下·江苏·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的同解方程组，先解方程组求出，然后代入方程中，得出关于m，n的方程组求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
把代入方程中，
得，
解得：，
∴．
89．（25-26七年级下·重庆·期末）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组一般方法，准确计算．
（1）把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解，从而可得答案.
（2）把的值代入求出代数式的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
①②：，
把代入①：，
把代入得
解得：；
（2）解：把代入得：
原式．
90．（25-26七年级下·江苏·期末）如果关于x，y的方程组与解相同，求的值．
【答案】
【分析】先解方程组得：，把代入和得求出,最后求出的值即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组得：，
∵关于x，y的方程组与解相同，
∴是和的解，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的一般方法，准确计算．
题型三十一 三元一次方程组的相关问题（共3小题）
91．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了方程组的求解，解题的关键是运用合适的消元方法化简方程组。
（1）通过去分母等操作化简后消元求解；
（2）三元一次方程组通过方程间的加减消元逐步化为二元一次方程组再求解。
【详解】（1）解：，
，得：，
③，
，得：，
将代入③，得：，
解得：，
故方程组的解为；
（2）解：
得：，
得：，
，
得：，
解得：，
将代入④得：；
将代入③得：，
则方程组的解为．
92．（25-26七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组，
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为，
（2）已知求的值．
解：，得，③
，得．
［类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）若求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可；
（2）利用整体的思想求出即可．
【详解】（1）把②代入①，
得，
解得．
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2），
得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想．
93．（2024七年级下·江苏·期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)11，5
(2)2
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值；
（2）由题意列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：，
①②可得：，
①②可得：；
（2）∵，，
∴，，
∴，
①②可得：．
题型三十二 二元一次方程组的实际应用（共3小题）
94．（2025八年级上·江苏·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
(1)该超市购进两种春联各多少副？
(2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副
(2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用．
（1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可．
（2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案．
【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联，
根据题意，得，
解得，
答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副．
（2）解：设购进A种春联副，B种春联副，
根据题意，得，
整理，得．
因为均为正整数，
所以满足题意的值为
所以有4种购买方案，
方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；
方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；
方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；
方案四：购买7副A种春联，80副B种春联．
95．（25-26七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？
(2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？
(3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？
【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子各15只和20只；
(2)①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个．
(3)n的最小值是35．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可；
（2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，利用有A型板材162张，B型板材340张，做这两种箱子共100个，建立不等式组求解即可；
（3）设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，再利用剩余的A板与B板之比为建立二元一次方程，再利用方程的正整数求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，设竖式做个，横式做个，则
，
解得，
答：制作出竖式和横式的箱子各15只和20只；
（2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，则
，
解得：，
∵为整数，
∴或或，
∴一共有三种方案：
①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，
②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，
③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个．
（3）∵竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板，
设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，
且一张的C型板可以切成张A型板或3张B型板，
∴板有张，板有张，
竖式箱子制作20只后剩余板张，剩余板张，
根据题意，得，
整理，得，
∵，
∴，
∵，都为正整数，
∴的最小值为，则的最小值为；
∴n的最小值是35．
96．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
(2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆
(3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润每辆利润数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（3）利用利用总利润每辆利润数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，
共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆.
（3）解：方案一获得利润：（万元；
方案二获得利润：（万元；
方案三获得利润：（万元．
，
购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元．
题型三十三 不等式的解集与性质（共3小题）
97．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案
【详解】解：对于选项A，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，
∵ ，
∴ ，A错误；
对于选项B，举反例，当 ， 时，满足 ，但 ，，，B错误；
对于选项C，若 ，当 时，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，可得 ，C错误；
对于选项D，∵ ，平方数非负，因此得 ，
不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，
∴ ，D正确
98．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______．
【答案】②④⑤
【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键．
利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答．
【详解】解：若,当时，,则①错误，
若，那么，那么,则②正确，
若,当，时，那么，则③错误，
若，那么
∵，两边同时除以得，则④正确，
若，，则，
整理得，由得，
那么，故异号，
那么，．则⑤正确，
故答案为：②④⑤．
99．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；
（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．
【详解】（1）证明：因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
故答案为：，；
（2）证明：，
，
．
题型三十四 解一元一次不等式（共3小题）
100．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：
解得．
解集在数轴上表示如下：
101．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
【答案】(1)
，见解析
(2)
，见解析
【分析】（1）按照解不等式的步骤求解即可；
（2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化.
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
在数轴上表示为：
（2）解：，
，
，
，
，
.
在数轴上表示为：
102．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程．
解：
…第一步
…第二步
…第三步
请你写出上述过程中每一步的依据：
第一步的依据： ；
第二步的依据： ；
第三步的依据： ．
【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可．
【详解】解：由题知，
第一步的依据是：不等式的基本性质2，
第二步的依据是：不等式的基本性质1，
第三步的依据是：不等式的基本性质3，
故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3．
题型三十五 一元一次不等式的整数解（共3小题）
103．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）求不等式的最小整数解．
【答案】不等式的最小整数解为
【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
；
故不等式的最小整数解为．
104．（25-26七年级下·上海·期末）求一元一次不等式的最小正整数解．
【答案】
1
【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴最小正整数解为：1．
105．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程．
(1)求x的值（用含a的式子表示）；
(2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围；
(3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）结合该方程的解不小于，可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案；
（3）结合（2）及正整数的定义，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵该方程的解不小于，
∴，
解得；
（3）由（2）可知，，
∴满足（2）的条件的所有a的正整数值．
题型三十六 求不等式组的解集（共3小题）
106．（2026·江苏连云港·二模）解不等式组：
【答案】
【分析】分别解出不等式组中的各不等式的解集，各解集的公共部分，就是不等式组中的取值范围．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
所以不等式组的解集为．
107．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和．
【答案】；3
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：，
非负整数解为：、、，
则所有非负整数解的和为．
108．（2026九年级下·江苏苏州·期末）解不等式组：．
【答案】
【分析】先求解不等式，再取公共部分即可得出不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，
解得；
解，
解得；
故不等式组的解集为．
题型三十七 根据不等式组解集的情况求参数（共3小题）
109．（25-26七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，则整数解为，
，
解得：．
故选：A．
110．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元一次方程和求一元一次不等式组的解集．根据题意求得方程的解为，结合非负可得，求得不等式解为，由于无解则，即可得到a的范围，结合x方程的解为非负整数，即可求得a的值，利用有理数的加减法计算即可．
【详解】解：，整理得，解得，
∵关于x的方程的解为非负整数，
∴，解得，
，解得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
则，
∵x的方程的解为非负整数，
∴满足条件的a只有，0，2和4，
则．
故选：C．
111．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围．
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解；
（1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案；
（2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可；
（3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可；
【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即；
解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得．
所以不等式组的解集为．
解方程①，得．
解方程②，得．
解方程③，得．
根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内，
故答案是②．
（2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以 3得．
解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1 得 ．
据“思梅方程”的定义，所以2a< ，解得．
综上，的取值范围是．
（3）解：解方程 ，得．
解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以．
因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合 ，可得．
综上，的取值范围是．
题型三十八 列一元一次不等式（组）（共3小题）
112．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据得分不低于70分，列出不等式即可．
【详解】解：小明答对了道题，则答错或不答的题目为道，根据题意得：
，
故选：C．
113．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键．
根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可．
【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，
∴，
故选：C ．
114．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式的能力，分析题意，找到关键描述语，得到合适的不等关系是解决问题的关键．抓住关键语句“不能迟于8：30到达”转换出行驶时间范围，已知速度，路程，可根据“时间＝路程速度”表示出时间再列出不等式，注意最后要转化成一元一次不等式．
【详解】解：根据题意时间不超过，
即，
为正数，
转化成一元一次不等式为：
故答案为：．
题型三十九 一元一次不等式（组）的实际应用（共3小题）
115．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元．
(1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)市绿化部门研究决定，购买树苗的费用不得超过34000元，应如何选购树苗？
【答案】(1)甲种树苗买了400棵，乙种树苗买了100棵
(2)甲种树苗至少购买200棵且不多于500棵，其余购买乙种树苗
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次方程与一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设甲种树苗买了棵，则乙种树苗买了棵，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）设甲种树苗买了棵，则乙种树苗买了棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：设甲种树苗买了棵，则乙种树苗买了棵，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴甲种树苗买了400棵，乙种树苗买了100棵；
（2）解：设甲种树苗买了棵，则乙种树苗买了棵，
由题意可得：，
解得：，
且解得：，
故
故甲种树苗至少购买200棵且不多于500棵，其余购买乙种树苗．
116．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）五一假日期间我市某旅游景点为了吸引更多的游客，特推出集体购票优惠票价的办法，其门票价目如表：
购票人数 1至50人 51至100人 101人以上
每人门票价 6元 5元 4元
某校七年级（1）（2）两班共104人（其中七（1）班人数多于七（2）班人数）准备在五一假日期间去游该景点．若两班都以班为单位购票，一共要支付570元．
(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，那么比以班为单位购票可以节约多少钱？
(2)试问两班各有多少名学生？
(3)如果七（1）班有10人因特殊情况不能前往旅游，那么又该如何购票才能最省钱？
【答案】(1)节约154元钱
(2)七（1）班人，七（2）班人
(3)购买张票
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式，有理数的四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
(1) 先计算团体购票费用，再用原费用减去团体费用得到节约金额；
(2)设两班人数，根据人数范围和票价列方程求解；
(3)比较不同购票方案的费用，选择最省钱方式．
【详解】（1）解：（元）
所以比以班为单位购票可以节约154元钱；
（2）解：设七（1）班有人，则七（2）班有人，
由题意得，
解得，
∴，
所以七（1）班大于52人，七（2）班小于人，
①当时，则由题意得：，
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
则：，方程无解，舍去；
：，解得，则，符合题意
答：七（1）班人，七（2）班人；
（3）解：（人），
方案一：（元）；
方案二：（元）；
方案三：（元），
∵，
∴购买张团体票能最省钱．
117．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞．
(1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险．
(2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________．
(3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒．
【答案】(1)无
(2)
(3)最多可以安全表演14秒．
【分析】（1）将，分别代入和求解比较判断即可；
（2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可；
（3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵
∴
∴无掉落的危险；
（2）解：∵要使安全表演时间超过16秒
∴当两车相遇时，表演时间超过16秒
当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度，
∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米
∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米
∴
解得
∴；
当时，同理可得，
解得
∴
综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为；
（3）解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒
∵两个表演轨道的交点分别为，
∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q
∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，
∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒）
∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒）
∵周长均为16米
∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒），
∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒），
∴当甲乙相遇于点P时，
∴整理得，
∵m，n都为正整数
∴当，时，等式成立
∴此时甲到达P点的时间为（秒）
∴最多可以安全表演14秒．
【点睛】此题考查了求代数式的值，不等式的应用，二元一次方程的解等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
题型四十 定义、命题（共3小题）
118．（2026七年级下·江苏·期末）下列句子中，是定义的是（ ）
A．在正数前面加上符号“”的数是负数
B．，两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角
D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意；
对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意；
对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意；
对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意．
119．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．对顶角相等
D．同旁内角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断．
【详解】解：、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真命题，该选项不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项不符合题意；
、对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意；
、平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，原命题是假命题，该选项符合题意．
120．（25-26七年级下·江苏南通·期中）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【详解】解：∵当时，若，则，即，
∴原命题是假命题．
题型四十一 证明（共3小题）
121．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设______．
【答案】
【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设，
故答案为：．
122．（25-26七年级下·江苏南京·期末）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得．
【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．
已知：如图1，，，
求证：，
证明：作直线分别于直线、、相交，
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，
如图2，，，而．
123．（25-26七年级上·江苏南京·期末）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案；
（2）根据三种情况进行分析，进而得出答案．
【详解】（1）解：总变化量：，
次数（至少）：，
故答案为：7；
（2）解：①两张由反到正，变化：；
②两张由正到反，变化：；
③一正一反变一反一正，变化，
要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
∵14无法由4，，0相加得到，
∴不能全正，故不能所有纸牌全正；
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可．
题型四十二 补全证明过程（共3小题）
124（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整．
解：，
．
，
① ．
又，可解得（ ② ）．
，
．
，
③ ．（④此处填推理的依据）
又，可解得（ ⑤ ）
（ ⑥ ）．
【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120
【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键．
（1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断；
②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明．
（2）根据推理过程填写所缺少内容即可．
【详解】解：（1）①如图，
命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题；
②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴∴，
∴，
∴该命题是真命题．
（2）解：，
．
，
．
又，可解得．
，
．
，
．（两直线平行，内错角相等）
又，可解得
．
故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120
125．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．求证：．
证明：假设________，
，
________，
________，
________，这和“平角的定义”矛盾，
假设________不成立，即．
【答案】，，，，
【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可．
【详解】证明：假设，
，
，
，
，这和“平角的定义”矛盾，
假设不成立，即，
故答案为：，，，，．
126．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．
解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等
【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明；
（1）根据上面的推理过程得出结论即可；
（2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题．
【详解】解：∵，（已知）
∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等），
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知），
∴∠EMN=∠AMN，
∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义），
∴∠EMN=∠FNM（等量代换）
∴，（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行．
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行；
故答案为：内错；平行．
（2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等 两直线平行；内错角相等 两直线平行；同旁内角互补 两直线平行．
1．已知，，则为_________．
【答案】9
【详解】解：∵，，
∴．
2．计算下面各题：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则计算；
（2）先统一底数为3，再根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则得到等式，进而求出a的值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵ ，
∴ ，
∴， 即，
∴，
解得．
3．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简即可，再代入值．
【详解】解：原式
当，时，原式．
4．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：
(1)的值为_____________；
(2)若是一个完全平方中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 七年级下册数学期末真题训练
（126题42大易错题型）
题型1 同底数幂的乘法及其逆用 题型22 镜面对称
题型2 幂的乘方及其逆用 题型23 折叠问题
题型3 积的乘方及其逆用 题型24 旋转中心、旋转角、对应点
题型4 同底数幂的除法及其逆用 题型25 根据旋转的性质求解
题型5 幂的混合运算 题型26 根据中心对称的性质求解
题型6 零指数幂与负整数指数幂 题型27 二元一次方程（组）的相关概念
题型7 科学记数法表示绝对值小于1的值 题型28 解二元一次方程组
题型8 单项式乘法 题型29 二元一次方程组的错解复原问题
题型9 单项式乘法的应用 题型30 方程组的相同解问题
题型10 多项式乘法 题型31 三元一次方程组的相关问题
题型11 多项式乘法的化简求值 题型32 二元一次方程组的实际应用
题型12 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型33 不等式的解集与性质
题型13 多项式乘多项式与图形面积 题型34 解一元一次不等式
题型14 乘法公式计算 题型35 一元一次不等式的整数解
题型15 乘法公式与几何图形 题型36 求不等式组的解集
题型16 求完全平方式中的字母系数 题型37 根据不等式组解集的情况求参数
题型17 利用平移的性质求解 题型38 列一元一次不等式（组）
题型18 平移作图 题型39 一元一次不等式（组）的实际应用
题型19 轴对称图形、旋转图形识别 题型40 定义、命题
题型20 根据轴对称图形的特征进行求解 题型41 证明
题型21 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线 题型42 补全证明过程
题型一 同底数幂的乘法及其逆用（共3小题）
1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知，，则（ ）
A．5 B．1 C．6 D．8
2．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若a、b是正整数，且满足，则a与b的关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为___________．
题型二 幂的乘方及其逆用（共3小题）
4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算：__________．
5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么_____．
6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知，=2，求：
(1)+的值；
(2)的值．
题型三 积的乘方及其逆用（共3小题）
7．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________．
8．（25-26七年级下·江苏常州·期末）已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示）
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算：．
解：原式．
(1)计算：
①；
②；
(2)若，请求出n的值．
题型四 同底数幂的除法及其逆用（共3小题）
10．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为_____．
11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，计算：
(1)的值；
(2)的值．
12．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接写出a、b、c之间的数量关系为______．
题型五 幂的混合运算（共3小题）
13．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)；
(2)
14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)
(2)
15．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算：
(1)
(2)
题型六 零指数幂与负整数指数幂（共3小题）
16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么它们的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，，则、、三数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型七 科学记数法表示绝对值小于1的值（共3小题）
19．（2026·江苏苏州·一模）2026年3月，中国科学院潘建伟院士团队成功构建了105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，量子比特相干时间达到秒，实现了对“量子随机线路采样”任务的快速求解．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）2026年3月，武汉大学陈杰华教授团队宣布成功量产世界最小芯片原子钟，体积仅立方米，精度达三万年误差不到1秒．其中“”用科学记数法表示为_____________ ．
21．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）近似数精确到了_____________位；
题型八 单项式乘法（共3小题）
22．（2026·吉林四平·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算：_______．
24．（2026七年级下·江苏·期末）先化简：，并求出，时，代数式的值．
题型九 单项式乘法的应用（共3小题）
25．（2026七年级下·江苏·期末）已知某长方形的长为，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积．
26．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）．
(1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________．
(2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关．
27．（25-26七年级上·四川德阳·期末）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．
(1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为 ______米；
(2)用含的代数式来表示实验田的面积；
(3)当时，实验田面积为多少平方米？
题型十 多项式乘法（共3小题）
28．（24-25七年级下·江苏·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
29．（25-26七年级下·江苏·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
30．（24-25八年级上·陕西西安·期末）红红学习完《多项式乘多项式》的知识后，打算练习习题巩固知识，请你帮红红解决下列问题：
(1)如果，求和的值；
(2)如果，求的值．
题型十一 多项式乘法的化简求值（共3小题）
31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中．
32．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中．
33．（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
题型十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共3小题）
34．（25-26七年级下·湖南益阳·期中）若的结果中不含有的一次项，则的值为_________．
35．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．
(1)求，的值．
(2)求的值．
36．（25-26七年级上·重庆·期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为．
(1)当时，求多项式A的值；
(2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值．
题型十三 多项式乘多项式与图形面积（共3小题）
37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由．
38．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）为了更好地开展劳动教育，我校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区．
(1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简）
(2)若，，求出此时种植区的总面积S的值．
39．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C（）将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为．
(1)若图1中阴影部分周长______，图2中阴影部分周长______；
(2)求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含a，b，c的代数式表示）．
(3)若，求出b与c满足的数量关系．
题型十四 乘法公式计算（共3小题）
40．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算：
(1)
(2)
41．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算：
(1)；
(2)．
42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：
(1)；
(2)．
题型十五 乘法公式与几何图形（共3小题）
43．（24-25八年级上·江苏南通·期中）图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 ；
(3)若，，则 ；（直接写出答案）
44．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因，所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若，，则的值为______；
(2)拓展：若，则______．
(3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
45．（25-26八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
题型十六 求完全平方式中的字母系数（共3小题）
46．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果是关于的完全平方式，则常数的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或
47．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____．
48．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若是一个完全平方式，求A的值．
题型十七 利用平移的性质求解（共3小题）
49．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
50．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为__________．
51．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求平移的距离；
(3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长．
题型十八 平移作图（共3小题）
52．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题．
(1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）．
(2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____．
53．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末） 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C．
(1)画出平移以后的；
(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？
54．（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形经过平移后得到三角形，其中点是点的对应点．
(1)画出平移后得到的三角形；
(2)连接、，则线段、的关系为_________________；
(3)线段扫过的面积为_________________（平方单位）．
题型十九 轴对称图形、旋转图形识别（共3小题）
55．（2026·江苏苏州·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
56．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张纸对折起来，用铅笔在上面扎个洞，图中的4张纸是四种可能的展开结果，其中只有一张与题目中实际展开后的图案完全相同，请找出这张纸，其编号是（ ）
A． B． C． D．
57．（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二十 根据轴对称图形的特征进行求解（共3小题）
58．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
59．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______．
60．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长．
题型二十一 尺规作垂直平分线、垂线、角平分线（共3小题）
61．（25-26八年级上·江苏·期中）已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)作的平分线，交于点D；
(2)在线段上求作一点E，使得．
62．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，．
(1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ．
63．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法）
题型二十二 镜面对称（共3小题）
64．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ）
A．2653 B．5623 C．3562 D．3265
65．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________．
66．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为 ，则这串数字实际是___________．
题型二十三 折叠问题（共3小题）
67．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，将一张长方形纸片沿，折叠，使顶点落在点处，顶点落在点处．若，则的度数为__________．
68．（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知长方形纸片，点E、F、G分别为线段、、上的一点，将纸片沿着、折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若，则的大小为________．
69．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，长方形纸片中，G、H分别是、边上的动点，连，将长方形纸片沿着翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
(3)已知和始终互补，若，请直接写出的度数（含α的代数式）．
题型二十四 旋转中心、旋转角、对应点（共3小题）
70．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
71．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______．
72．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、．
(1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 °
(2)延长交于F，交于M，求证：．
题型二十五 根据旋转的性质求解（共3小题）
73．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点．
(1)若，则旋转角的值为 ；
(2)若，求的长．
74．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上．
(1)若，求的大小；
(2)若，的周长为9，求的长．
75．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
(1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度；
(2)继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数．
题型二十六 根据中心对称的性质求解（共3小题）
76．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，正方形的对称中心为点，点均在正方形的边上，四点中有一点是点关于点的对称点，则该对称点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
77．（25-26八年级上·广东深圳·期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B．
C． D．
78．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________．
题型二十七 二元一次方程（组）的相关概念（共3小题）
79．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____．
80．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）．
81．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）关于，的二元一次方程，当每取一个不为0的值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A． B． C． D．
题型二十八 解二元一次方程组（共3小题）
82．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组：
(1)
(2)
83．（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组：
(1)
(2)
84．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）解方程组：
(1)
(2)
题型二十九 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题）
85．（25-26七年级下·江苏·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
86．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________．
87．（24-25七年级下·江西上饶·期末）一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值．
题型三十 方程组的相同解问题（共3小题）
88．（24-25七年级下·江苏·期中）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值．
89．（25-26七年级下·重庆·期末）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．
90．（25-26七年级下·江苏·期末）如果关于x，y的方程组与解相同，求的值．
题型三十一 三元一次方程组的相关问题（共3小题）
91．（24-25七年级下·江苏南京·期中）解方程组：
(1)
(2)
92．（25-26七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组，
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为，
（2）已知求的值．
解：，得，③
，得．
［类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）若求的值．
93．（2024七年级下·江苏·期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请根据上述思想解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
题型三十二 二元一次方程组的实际应用（共3小题）
94．（2025八年级上·江苏·期末）贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元．
A种春联 B种春联
进价（元/副） 15 12
售价（元/副） 18 14.5
(1)该超市购进两种春联各多少副？
(2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？
95．（25-26七年级下·福建泉州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？
(2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？
(3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？
96．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
题型三十三 不等式的解集与性质（共3小题）
97．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
98．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______．
99．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
题型三十四 解一元一次不等式（共3小题）
100．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
101．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
102．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程．
解：
…第一步
…第二步
…第三步
请你写出上述过程中每一步的依据：
第一步的依据： ；
第二步的依据： ；
第三步的依据： ．
题型三十五 一元一次不等式的整数解（共3小题）
103．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）求不等式的最小整数解．
104．（25-26七年级下·上海·期末）求一元一次不等式的最小正整数解．
105．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的方程．
(1)求x的值（用含a的式子表示）；
(2)若关于x的方程的解不小于，求a的取值范围；
(3)请直接写出满足（2）的条件的所有a的正整数值．
题型三十六 求不等式组的解集（共3小题）
106．（2026·江苏连云港·二模）解不等式组：
107．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解不等式组，并求出它所有非负整数解的和．
108．（2026九年级下·江苏苏州·期末）解不等式组：．
题型三十七 根据不等式组解集的情况求参数（共3小题）
109．（25-26七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
110．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
111．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围．
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围．
题型三十八 列一元一次不等式（组）（共3小题）
112．（2024·江苏南京·二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是（　　）
A． B．
C． D．
113．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
114．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于8：30到达植物园．设汽车的速度为千米/小时，则列一元一次不等式为_______．
题型三十九 一元一次不等式（组）的实际应用（共3小题）
115．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元．
(1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)市绿化部门研究决定，购买树苗的费用不得超过34000元，应如何选购树苗？
116．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）五一假日期间我市某旅游景点为了吸引更多的游客，特推出集体购票优惠票价的办法，其门票价目如表：
购票人数 1至50人 51至100人 101人以上
每人门票价 6元 5元 4元
某校七年级（1）（2）两班共104人（其中七（1）班人数多于七（2）班人数）准备在五一假日期间去游该景点．若两班都以班为单位购票，一共要支付570元．
(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，那么比以班为单位购票可以节约多少钱？
(2)试问两班各有多少名学生？
(3)如果七（1）班有10人因特殊情况不能前往旅游，那么又该如何购票才能最省钱？
117．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞．
(1)物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险．
(2)如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________．
(3)如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒．
题型四十 定义、命题（共3小题）
118．（2026七年级下·江苏·期末）下列句子中，是定义的是（ ）
A．在正数前面加上符号“”的数是负数
B．，两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角
D．过一点画已知直线的垂线
119．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．对顶角相等
D．同旁内角相等，两直线平行
120．（25-26七年级下·江苏南通·期中）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
题型四十一 证明（共3小题）
121．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设______．
122．（25-26七年级下·江苏南京·期末）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
123．（25-26七年级上·江苏南京·期末）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
题型四十二 补全证明过程（共3小题）
124（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整．
解：，
．
，
① ．
又，可解得（ ② ）．
，
．
，
③ ．（④此处填推理的依据）
又，可解得（ ⑤ ）
（ ⑥ ）．
125．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．求证：．
证明：假设________，
，
________，
________，
________，这和“平角的定义”矛盾，
假设________不成立，即．
126．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：．
解：∵，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（ ）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴（ ）
（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ．
（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．
1．已知，，则为_________．
2．计算下面各题：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，求a的值．
3．先化简，再求值：，其中，．
4．已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：
(1)的值为_____________；
(2)若是一个完全平方式，则_____________；
(3)已知，且，求的值．
5．如图，有A，B，C三种类型的卡片．
(1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形．
①请画出所拼大正方形的示意图；
②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________．
(2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由．
6．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到．
(1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长；
(2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数．
7．如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
(1)作边的中点；
(2)作的平分线，交边于点；
(3)作点关于直线的对称点；
(4)直接写出的长为________．
8．若方程组的解是，则方程组的解是______；则方程组的解是_________．
9．下面是小明同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．
解：得：③第一步
得：第二步
将代入②得：第三步
所以该方程的解是第四步
(1)第______步开始出现了错误；
(2)请你帮小明同学写出正确的解题步骤．
10．
如何配制食盐水溶液浓度？
素材一 实验室现有浓度为和的食盐水溶液各若干，两种浓度的食盐水溶液存储情况如表所示：
序号 食盐水浓度 规格（克/瓶） 库存（瓶）
1 500 20
2 250 20
素材二 溶液百分比浓度是指溶液中所含溶质的质量的百分比．计算公式为：溶液百分比浓度，其中溶液质量溶质质量溶剂质量．如在食盐水溶液中，溶质是盐，溶剂是水．
任务一 计算溶液浓度 若用食盐水溶液6瓶和食盐水溶液4瓶混合配制新的食盐水溶液，求配出的食盐水溶液浓度为：________．
任务二 填写任务清单 实验名称：配制浓度的食盐水溶液6千克．
序号 食盐水浓度 数量
1 ________千克
2 ________千克
通过计算填写实验任务单，并写出计算过程．
任务三 拟定设计方案 为了有效利用化学物品，避免浪费，每瓶开启的食盐水溶液都恰好用完，则配制浓度的食盐水溶液有几种方案，浓度为和的食盐水溶液各需几瓶？
11．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
12．若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________．
13．随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样．
(1)求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？
(2)图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？
14．阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号；
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围．
15．（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，，，分别平分和．
求证：．
证明：，分别平分和（已知），
_____，_____（_____________）．
（已知），
（_______________），
（___________），
（等式的性质），
（_____________）．
（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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