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2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
2．子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：数据用科学记数法表示应为．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意
4．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个，
由题意得，
故选：C．
5．下列命题中：
相等的角是对顶角；
直角三角形两个锐角互余；
如果，则；
如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．
逆命题是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键．
【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真；
命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真；
命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假；
命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假；
综上，逆命题为真的有个，
故选：．
6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（ ）
A．9 B．6 C．12 D．8
【答案】B
【分析】根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解．
【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为．
7．如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查三角尺，图形的旋转，大于90度小于180度的角是钝角，分，，三种情况，分别判断即可．
【详解】解：由题意知，旋转前，，，，
当时，，是钝角；
当时，，是锐角；
当时，，是钝角；
故当是钝角时，旋转角度α的取值范围是或，
故选D．
8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
【答案】B
【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型．
第二部分（非选择题 共106分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．比较大小：_____（填“”“>”或“”）．
【答案】
【详解】解：根据零指数幂运算法则可得，
根据负整数指数幂运算法则可得，
因为正数大于负数，可得，
因此．
10．下列命题中，假命题是__________（填序号）．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直；
③小于平角的角是钝角；
④同位角相等；
⑤若，则．
【答案】①②③④
【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；
②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题；
③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题；
④两直线平行，同位角相等，故④是假命题；
⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题．
故①②③④是假命题，
故答案为：①②③④
11．已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________．
【答案】9
【详解】解：∵（为常数）是关于的多项式的完全平方式，
∴原式，
∴ ．
12．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】两式相减可得到，然后解不等式即可．
【详解】解：，
得：，
，
，
，
解得．
13．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
根据甲、乙两人购买纪念币共100枚，可得方程；根据甲给乙10枚纪念币后，乙的纪念币数量是甲的4倍，可得方程，从而组成方程组．
【详解】解：设甲原有枚纪念币，乙原有枚纪念币，
由题意得：．
故答案为：．
14．已知，，则____________________．
【答案】
【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是根据已知条件，得到，再根据幂的运算，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______．
【答案】16210
【分析】由旋转的性质可得，，，从而可得，，由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加，由此计算即可得出结果．
【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，
∴，
∵将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，
∴，
∴，
∵将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③得到直线l上的点，
∴，
∴，
…，
∴由题图可知，每旋转次为一个循环组一次循环，每循环一次（为正整数）的长度增加，
∵，
∴．
16．定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________．
【答案】且
【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，解题关键是理解新定义，并正确求解含参方程．
根据新定义，仿照示例，得到二元一次方程与“移变方程”系数之间的关系，列出不等式组，求出的范围，并注意二元一次方程的系数不为0，即可求解．
【详解】解：根据“移变方程”的定义，知的移变方程为：
，
又也是的移变方程，
∴，
由②得，，
代入①，得，
∵，
∴，
解得，
又是二元一次方程，则：
且，
∴
解得且，
又，
∴的取值范围为且．
故答案为：且．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算与化简：
(1)计算：；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可．
（2）先计算多项式的乘法，再合并即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
18．（5分）解方程组或不等式（组）
(1)
(2)
(3)解不等式组
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据解不等式的基本步骤求解即可；
（3）根据解不等式组的基本步骤求解即可；
【详解】（1）解：
整理，得
得，
解得；
把代入①解得，
故方程组的解为．
（2）解：，
去括号，得，
整理，得，
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
19．（6分）已知，求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式得到，据此计算即可；
（2）先将式子展开，再利用完全平方公式化简展开式进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
21．（6分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③．
(1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
(2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义；
（1）根据题意写出命题，并判断真假即可；
（2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行．
【详解】（1）命题一：已知，
若，，则；真命题．
命题二：已知，
若，，则；真命题．
命题三：已知，
若，，则；真命题．
（2）选择命题一．
证明：，，
，
，
．
又，
，
，
．
选择命题二：延长、交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择命题三：延长、交于点，
，，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．（8分）如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
(1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出；
(2)将绕点旋转得到，请画出点和；
(3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN；
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
(3)见解析．
【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到．
（）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可．
（）平移使其经过即可．
【详解】（1）解：
∴即为所作图形．
（2）解：
∴点和如图所作；
（3）解：
∴线段如图所作．
23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表：
信息一 信息二
型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件；型机器人每台每天可分拣快递万件．
(1)求，两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？
【答案】(1)型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元
(2)当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，利用总价单价数量，结合信息一的信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：．
答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元；
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
根据题意得：，
解得：，
，均为正整数，
可以为，，，，，
该企业共有种购买方案，
方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件；
方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件；
方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件；
方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件；
方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件，
，
该企业选择购买方案，能使每天分拣快递的件数最多，最多为万件．
答：当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件．
24．（8分）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为．
(1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）；
(2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)试比较与的大小．
【答案】(1)；；
(2)不存在正数，使得；
(3)
【分析】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可；
（2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可；
（3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，
则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为；
（2）解：不存在正数，使得，
若，
则，
，
，
解得：，
为正数，
不存在；
（3）解：
，
，
25．（10分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，．
(1)求图1中的度数．
(2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数．
【答案】(1)；
(2)旋转角的度数为或．
【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解；
（2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设的平分线为射线，
∴，
根据题意，分两种情况讨论：
①当边平分时：
此时，
∵初始位置时，
∴旋转角；
②当边平分时：
此时．
∵初始位置时与重合，
∴旋转角．
综上所述，旋转角的度数为或．
26．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为．
(1)解方程组．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可；
（2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可；
（3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项整理得，，
令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为；
（2）解方程组，
移项整理得，，
令，，原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为；
（3）将关于x、y的方程组，
移项为，
整理得，
令，，原方程组化为，
根据题意得，
把代入，，
得，解得或，
原方程组的解为或．
27．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案．
【详解】（1）解：①，
整理得：，
解得：；
②，
解得：；
③，
解得：；
，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
所以不等式组的解集为：；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得：；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：，，，，，
，
∴，
则，
解得：，而为整数，则或0，
当时，，
∴，
因为，
解得：，
根据“相依方程”的含义可得：，
解可得：，
解可得：，
所以不等式组的解集为：；
当时，，
∴，
综上：．
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2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材苏科版七年级数学下册全部。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中：
相等的角是对顶角；
直角三角形两个锐角互余；
如果，则；
如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．
逆命题是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（ ）
A．9 B．6 C．12 D．8
7．如图，是我们平常所用的两把三角尺，将绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周．在旋转过程中，当是钝角时，旋转角度α的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
第二部分（非选择题 共106分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．比较大小：_____（填“”“>”或“”）．
10．下列命题中，假命题是__________（填序号）．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直；
③小于平角的角是钝角；
④同位角相等；
⑤若，则．
11．已知多项式（为常数）是关于的多项式的完全平方式，则的值为__________．
12．关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______．
13．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________．
14．已知，，则____________________．
15．如图所示的中，，，，点C、A在直线l上，将绕着点A顺时针旋转到位置①得到直线l上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线l上的点，．．．按此规律旋转至点，则______．
16．定义：关于的二元一次方程（其中是常数）叫做方程的“移变方程”．例如：的“移变方程”为．已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为_________．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算与化简：
(1)计算：； (2)化简：．
18．（5分）解方程组或不等式（组）
(1) (2) (3)解不等式组
19．（6分）已知，求下列各式的值：
(1)
(2)
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③．
(1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
(2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
22．（8分）如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
(1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出；
(2)将绕点旋转得到，请画出点和；
(3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN；
23．（8分）某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表：
信息一 信息二
型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件；型机器人每台每天可分拣快递万件．
(1)求，两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？
24．（8分）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为．
(1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）；
(2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)试比较与的大小．
25．（10分）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，．
(1)求图1中的度数．
(2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数．
26．（10分）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为．
(1)解方程组．
(2)解方程组
(3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________．
27．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
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